易错易混06 平面向量与复数（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

易错易混06 平面向量与复数 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 1 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况（★★★★） 6 易错归纳02 忽略平面向量夹角的范围与方向性（★★★★） 7 易错归纳03 投影向量的求法（★★★★★） 8 易错归纳04 平面向量中的三角形“四心”问题（★★★★） 9 易错归纳05 复数的实部、虚部等基本概念混淆（★★★★★） 10 易错归纳06 复数的几何意义应用错误（★★★） 11 03 实战检测・易错通关验成效 11 一、向量的线性运算和向量共线定理 1、向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 2、共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得. 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 3、平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． 二、平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积记作，即= 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量 向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). 三、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③ 四、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 五、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 六、三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 七、三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 八、三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 九、三角形的垂心 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 十、复数的概念 1、复数集 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 2、复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 3、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 十一、复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 十二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （2）复数减法的几何意义 复数 向量 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况 【易错陷阱·避错攻略】 处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况. 1．与向量平行的单位向量为（      ） A． B． C． 或 D． 2．已知，与同向且，则（   ） A． B．或 C．或 D． 3．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 4．已知向量不共线，向量与共线，则 . 5．设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 易错归纳02 忽略平面向量夹角的定义与方向性 【易错陷阱·避错攻略】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为）． 1．（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）若向量 ，若与 夹角为钝角，则 的可能取值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ． 5．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 易错归纳03 投影向量的求法 【易错陷阱·避错攻略】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 易错归纳04 平面向量中的三角形“四心”问题 【易错陷阱·避错攻略】 1、重心. 若点是的重心，则0或（其中为平面内任意一点）.反之，若0，则点是的重心. 2、垂心. 若是的垂心，则或.反之，若，则点是的垂心. 3、内心. 若点是的内心，则有=0.反之，若=0，则点是的内心. 4、外心. 若点是的外心，则=0或.反之，若，则点是的外心. 1．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 2．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 3．（多选题）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 4．（多选题）设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 5．（多选题）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 易错归纳05 复数的实部、虚部等基本概念混淆 【易错陷阱·避错攻略】 1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. 2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0 3、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部是（   ） A． B．0 C．1 D． 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（多选题）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 5．（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 . 易错归纳06 复数的几何意义应用错误 【易错陷阱·避错攻略】 复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 1．（2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 6．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为 ． 1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 2．（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 6．（2025·湖北·模拟预测）复数在复平面内对应的点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广西·三模）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（    ） A． B． C．3 D．或3 9．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·山东泰安·月考）若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 14．设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 15．（多选题）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为 16．（多选题）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 17．已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 18．若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 19．设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 20．若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 21．（24-25高三下·海南海口·月考）知，，，则在上的投影向量是 ．（用坐标表示） 22．已知复数z满足，则的取值范围为 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错易混06 平面向量与复数 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 1 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况（★★★★） 6 易错归纳02 忽略平面向量夹角的范围与方向性（★★★★） 8 易错归纳03 投影向量的求法（★★★★★） 10 易错归纳04 平面向量中的三角形“四心”问题（★★★★） 13 易错归纳05 复数的实部、虚部等基本概念混淆（★★★★★） 19 易错归纳06 复数的几何意义应用错误（★★★） 21 03 实战检测・易错通关验成效 24 一、向量的线性运算和向量共线定理 1、向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 2、共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得. 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 3、平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． 二、平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积记作，即= 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量 向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). 三、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③ 四、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 五、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 六、三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 七、三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 八、三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 九、三角形的垂心 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 十、复数的概念 1、复数集 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 2、复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 3、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 十一、复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 十二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （2）复数减法的几何意义 复数 向量 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况 【易错陷阱·避错攻略】 处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况. 1．与向量平行的单位向量为（      ） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】求出的模，再利用单位向量的定义求解. 【详解】向量，则， 所以与向量平行的单位向量为或． 故选：C 2．已知，与同向且，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，，利用模长可得，从而得解. 【详解】与同向， ，又， ，解得， . 故选：D. 3．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得. 【详解】因为与同向共线，所以存在使得， 即， 又向量不共线，所以，解得（舍去）或. 故选：A 4．已知向量不共线，向量与共线，则 . 【答案】 【分析】由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量不共线，向量与共线， 所以， 即，解得. 故答案为： 5．设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【答案】 【分析】由向量共线定理即可求出，但要注意是反向共线，要舍去同向共线的值. 【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得， 因为向量，的方向相反，所以， 又因为，， 则， 所以，解得或（舍去）， 故. 故答案为：. 易错归纳02 忽略平面向量夹角的定义与方向性 【易错陷阱·避错攻略】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为）． 1．（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）若向量 ，若与 夹角为钝角，则 的可能取值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为，又与的夹角为钝角， 所以且与不共线， 当与共线时，，则，此时两向量反向共线， 由可得，解得， 所以且， 故选：D． 3．（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量的夹角余弦公式以及向量共线的条件求出“向量与向量的夹角为钝角” 的等价条件，再结合充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】由向量与向量的夹角为钝角， 得，且向量与向量不共线， 所以，即， 由有，解得， 所以的取值范围是． 故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件， 故选：A． 4．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线， ，且，即且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 易错归纳03 投影向量的求法 【易错陷阱·避错攻略】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量方向上. 故选：A 2．（2025·陕西咸阳·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 3．（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的求法及已知得，进而有，即可求夹角. 【详解】由题设，即，又， 所以，又，则. 故选：D 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 5．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得又由在方向上的投影向量为，得，又，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 如图，在中，为边上的中线，为的中点， 则（*）， 由在方向上的投影向量为，得，则， 由（*）两边平方，可得： ，所以， 故选：D. 易错归纳04 平面向量中的三角形“四心”问题 【易错陷阱·避错攻略】 1、重心. 若点是的重心，则0或（其中为平面内任意一点）.反之，若0，则点是的重心. 2、垂心. 若是的垂心，则或.反之，若，则点是的垂心. 3、内心. 若点是的内心，则有=0.反之，若=0，则点是的内心. 4、外心. 若点是的外心，则=0或.反之，若，则点是的外心. 1．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 2．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 3．（多选题）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 【答案】AB 【分析】根据计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；由重心的性质可知可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D． 【详解】对于A选项，因为，又因为为的垂心，所以， 所以，故A正确； 对于B选项，因为且， 所以，整理得：，即， 如图所示，设为中点，则，所以三点共线， 又因为为锐角的外心，则，所以垂直平分，故，故B正确； 对于C选项，如图所示，设中点为，则，由重心的性质可知，故C错误； 对于D选项，因为 ， 如图所示，设中点为，则，所以， 所以， 所以，即， 所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D错误． 故选：ABC. 4．（多选题）设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性运算结合重心的性质可判断A的正误，对于B，将选项的向量关系式变形后平方求数量积，从而判断其正误，对于C，利用向量的线性运算结合角平分线的性质、平面向量基本定理可求的值，故可判断其正误，对于D，对选项中的向量等式分别乘以向量后结合数量积的定义可求，故可判断其正误. 【详解】对于A，延长，交与，则为的中点， 故，而为三角形重心，故， 故即，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 故，故，故B错误； 对于C，，则为等腰三角形， 延长交于，则为的中点，且， 由角平分线的性质可得，所以， 故， 而不共线，故，故，故C正确； 对于D，因为为垂心，故，故 ， 故，故，同理， 因为，所以， 所以，同理，故， 所以， 故D正确； 故选：ACD. 5．（多选题）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项. 【详解】A.由， 即，同理，，则点是的垂心，故A正确； B. 若，则点是垂直平分线的交点，则，故B正确； C.由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点在的中线上，则动点的轨迹经过的重心，故C错误； D. 设的中点为，， 所以， ， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 易错归纳05 复数的实部、虚部等基本概念混淆 【易错陷阱·避错攻略】 1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. 2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0 3、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】设，代入已知等式，化简计算求得，即得z的虚部. 【详解】设，代入可得：， 两边取平方，，即得， 故得，故复数z的虚部为1. 故选：C. 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘方、除法运算求得，进而求得的虚部. 【详解】由，得， 所以，所以的虚部为. 故选：D. 3．（2025·江西新余·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除法运算化简，再由虚部等于求解即可得答案. 【详解】由题意得，， ∵复数对应的点位于实轴上， ∴，解得. 故选：D. 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（多选题）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解. 【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 5．（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 . 【答案】 【分析】利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可. 【详解】， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 易错归纳06 复数的几何意义应用错误 【易错陷阱·避错攻略】 复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 1．（2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题设设，再由复数乘法运算求出复数即可求解. 【详解】复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则可设， ， 复数在复平面内所对应的点为，又， 复数在复平面内所对应的点位于第四象限． 故选：D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 4．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 5．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得. 【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 6．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，简化运算，不妨设，利用复数的几何意义转化为，根据加权费马定理求最小值即可. 【详解】设，因为， 所以，， 根据对称性，不妨取， 则，，的几何意义为复平面中到点的距离， ， 如图，将顺时针旋转得到，， 则，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的乘方运算和除法运算，以及实部和虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的实部为，虚部为，则实部与虚部和为. 故选：C. 2．（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算，再结合共轭复数运算，即可求解虚部. 【详解】因为， 所以，即复数的虚部为.   故选：D. 3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的运算和几何意义分析求解. 【详解】由题意可得：， 因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，解得. 故选：C. 4．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单位向量的意义及向量坐标运算求解判断. 【详解】与向量共线的单位向量是或. 故选：D 5．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求出坐标即可得出复数，进而求出模. 【详解】由题意可得，，则， 所以，得． 故选：D 6．（2025·湖北·模拟预测）复数在复平面内对应的点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将复数化简，再根据复平面内第二象限点的特征列出不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】 因为复数在复平面内的对应的点在第二象限， 所以.， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 7．（2025·广西·三模）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直向量的坐标表示建立方程，求得参数，结合投影向量的计算，可得答案. 【详解】由，则，解得，即， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 8．已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】由向量与同向，得， 即，而向量不共线，则，又，解得， 所以实数t的值为. 故选：A 9．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断. 【详解】“且”，即“且”，是“”的充分不必要条件， 故选:A． 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用向量的运算律，求得，得到，设，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由，可得，即， 可得，所以，即， 如图所示，设，则四边形为矩形，且， 则在上的投影向量为. 故选：A.    11．（24-25高三下·山东泰安·月考）若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：A 12．（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意且与不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不等式求解即可. 【详解】因为为锐角，则且与不共线． 由得，， 则，解得． 若与共线，则，即， 解得或，所以且，即x的取值范围是． 故选：A 13．已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】，到三个顶点的距离相等，所以为外心； ，，所在直线经过中点，与中线共线，同理可得，分别与，边的中线共线，是三角形中三条中线的交点，是重心； ，，，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心. 故选：C. 14．设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 15．（多选题）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为 【答案】AB 【分析】利用外心的定义判断A；利用正弦定理，结合中点向量公式判断B；利用数量积的定义计算判断C；取中点为，确定点的轨迹，再利用数量积的运算法则计算判断D. 【详解】对于A，由，得点是的外心，A正确； 对于B，由正弦定理得，则， 于是，为边的中点，因此点在边的中线所在直线上， 动点的轨迹一定通过的重心，B正确； 对于C，由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心，C错误； 对于D，设中点为，由，得点的轨迹是以为直径的圆， 而G为AC的中点，则该圆的圆心为，半径为，又，于是点在圆上， 因此 ， 当且仅当三点共线时取等号，因此的最大值为，D错误. 故选：AB 16．（多选题）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 【答案】ABD 【分析】根据为的外心，得到，结合，求得，可判定A正确；根据为的内心，延长交于，得到点为的中点，且，求得和的长度，得到，可判定B正确；由为的重心，得，根据题意，求得，可判定C不正确；由到三边距离为，结合三角形的面积公式和正弦的倍角公式，求得和，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为为的外心，可得， 因为，可得， 所以，所以， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且， 因为，，可得， 由三角形内心的性质，可得， 即，解得，， 所以， 因为， 所以，所以B正确； 对于C中，因为为的重心，可得，所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为向量与不共线的非零向量，所以且， 所以，此时不是等边三角形，所以，所以C不正确； 对于D中，设的外接圆的半径为， 因为到三边距离为，可得， 且， 所以，可得， 同理可得：，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略： 1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示，然后选择适当的基底向量，将相关的向量表示为基底向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题； 2、再将向量的运算的结果还原为几何关系，应用向量相关的知识，可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质，同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用； 3、向量的运算公式，若不含图形，可直接运用相应的运算法则求解；若含有图形，可将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的性质等，把未知向量用已知向量进行表示. 17．已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 【答案】 【分析】由向量共线定理、平面向量基本定理建立方程组即可求解. 【详解】由题意设，而、是两个不平行的向量， 从而，解得. 故答案为：. 18．若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据为平面内所有向量的一组基底，可知不共线，通过求共线时的值，即可得到不共线时的范围. 【详解】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底， 所以， 当时，，解得， 所以若，则，即的取值范围为， 故答案为： 19．设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 【答案】 【分析】由共线得到，比较系数即可求解； 【详解】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 20．若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 21．（24-25高三下·海南海口·月考）知，，，则在上的投影向量是 ．（用坐标表示） 【答案】 【分析】利用向量数量积、模的坐标运算求解即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量， 故答案为： 22．已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$