专题04 圆（期中复习讲义）九年级数学上学期人教版

专题04 圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与垂径定理 ①利用垂径定理及其推论求弦长，半径及其弦心距； ②证明线段相等、垂直关系 常考小题与综合题 圆心角、弧、弦的关系 ①能直接证明角、弧、弦的相等关系； ②能与其他定理（如圆周角定理）结合进行证明或计算 常考小题与综合题 圆周角定理 ①能利用定理求角度； ②证明角相等； ③利用内接四边形的性质求角度 常考小题与综合题（求角度最常考） 切线的性质与判定（绝对核心） ①证明切线； ②利用切线性质求长度或角度 常考小题与综合题（必考点） 切线长定理 ①求线段长度、角度； ②证明线段相等、角相等、线段垂直或平行； ③能够与三角形的内心、外心等知识点结合解决相应题目。 常考小题与综合题 弧长与扇形面积 ①能够直接套用公式计算； ②能与实际问题结合，如计算弯管长度、羊吃草的面积、零件面积等 ③能熟练求阴影部分面积（割补法） 常考小题 圆锥的侧面积和全面积 ①求侧面积或全面积 常考小题 知识点01 圆的定义及其相关概念 1. 圆的定义： 静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。 2. 圆的相关概念： (1) 弦的概念： 如图：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (2) 直径： 过圆心的弦叫做直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。 (3) 弧： 圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。 ① 半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。 ② 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为。读作弧AOC。表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。 ③ 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。读作弧AC。 (4) 等圆： 能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。 (5) 等弧： 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 知识点02 垂径定理及其推论 1. 垂径定理的内容： 垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。 即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，则：CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD。 注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。 在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。即：（） 2. 垂直定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 知识点03 弧、弦以及圆心角 1. 圆心角的认识： 顶点在圆心的角叫做圆心角。大小范围为0°＜α＜360°。 2. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）： 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3. 弧、弦、圆心角的关系的推论： （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等。 圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。 4. 弧的度数： 弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 知识点04 圆周角 1. 圆周角的定义： 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3. 圆周角定理的推论： （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。相等的圆周角所对的弧也相等。 如图：若＝，则∠ABC＝∠BAD；若∠ABC＝∠BAD，则＝。 （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝90°。 若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的直径。 4. 圆的内接四边形： （1）概念：如图：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。 （2）圆的内接四边形的性质： ①圆的内接四边形的对角互补。 即∠B＋∠D＝180°，∠C＋∠BAD＝180°。 ②圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） 即：∠EAD＝∠C。 知识点05 点与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在圆外。 （2）如图2：d＝r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在圆内。 2. 三角形的外接圆与外心： （1）外接圆：如图：若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角形的外接圆。 （2）外心： 三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。是三角形三条边的垂直平分线的交点。所以到三角形三个顶点的距离相等。 特别说明： ①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 知识点06 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图 （1）d＜r直线与圆相交，有2个交点，直线叫圆的割线。 （2）d＝r直线与圆相切，与圆只有1个交点，此时直线叫做圆的切线，交点叫做直线与圆的切点。 （3）d＞r直线与圆相离，与圆没有公共点。 2. 切线的判定： （1）判定定理：经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线叫做圆的切线。 （2）切线的判定的方法： ①直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。 证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。 ②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。 ③利用三角形的全等转换证明垂直。 ④利用平行线转换证明垂直。 ②直线与圆无公共点：作垂直，证半径。 3. 切线的性质： （1）圆的切线垂直于经过切点的半径。 （2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 （3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理： （1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。 （2）切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。 推广：由切线长定理的结论可得： ①△APO≌△BPO∠AOP＝∠BOP＝AB⊥OP。 5. 三角形的内切圆与内心： （1）内切圆 如图：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 （2）三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。 特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 （3）直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为或。 （4）三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为：。 6. 弦切角与弦切角定理： （1）弦切角： 如图，像∠ACP这样顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 （2）弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数的一半。 知识点07 正多边形与圆 1. 正多边形及其相关概念： （1）正多边形的概念： 各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。 （2）圆的内接正多边形： 把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 （3）圆的内接正多边形的相关概念： ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。 ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形的中心角。正多边形的中心角度数为。 ④边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂线即为边心距。 2. 正多边形的有关计算： (1) 正多边形的内角计算： 正n边形的每个内角计算公式为。 (2) 正多边形的中心角： 正n边形的中心角度数为。 (3) 正多边形的外角： 正n边形的外角度数为。 (4) 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系： 正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为。 (5) 正多边形的周长和面积： 边长为a的正n边形的周长为；面积为。 知识点08 弧长与扇形的面积 1. 扇形的弧长： （1）扇形弧长的定义： 扇形的弧长就是扇形两条半径间圆弧的长度。 （2）扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝。 2. 扇形的面积计算： 方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为：。 3. 圆锥的侧面积与全面积： （1）圆锥的认识： 如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的高。 （2）圆锥的母线长、高与底面半径的关系： 圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。 即：如图：。 （3）圆锥的侧面展开图的认识： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。扇 形的弧长等于圆锥底面圆的周长。 （4）圆锥的侧面积计算： 方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为a，弧长等于底面圆周长等于：，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：。 方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：。 题型一 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 解｜题｜技｜巧 在垂径定理中，利用勾股定理“弦心距2+半弦长2＝半径2”解决相关题目 【典例1】已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP＝4cm，PD＝2cm，则⊙O的半径为（　　） A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm 【答案】B 【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为R， ∵CD⊥AB， ∴∠APO＝90°， 在Rt△OAP中，∵OP＝OD﹣PD＝r﹣2，OA＝r，AP＝4， ∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5， 即⊙O的半径为5cm． 故选：B． 【变式1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　25cm　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OA，设圆的半径为r， 则：OA＝OC＝r m，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，（m）， ∵AO2＝AD2+DO2， ∴r2＝202+（r﹣10）2， ∴r＝25cm； ∴圆形工件的半径为25cm． 故答案为：25cm． 【典例2】如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3， ∴AC4， ∴AB＝2AC＝8． 故选：C． 【变式1】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E，则CE＝DECD， 设BE＝x，则CE＝x+2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， AE2＝AB2﹣BE2， 即AE2＝42﹣x2， 在Rt△ACE中，由勾股定理得， AE2＝AC2﹣CE2， 即AE2＝52﹣（x+2）2， 所以42﹣x2＝52﹣（x+2）2， 解得x， 即BE， ∴CE2， ∴CD＝2CE， ∴BD＝CD﹣BC， 故答案为：． 【典例3】（2025春•道县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则OE的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵直径AB⊥CD， ∴EDCD8＝4， ∵OD＝5， ∴OE3． 故选：B． 【变式1】日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　1cm　 ． 【答案】1cm． 【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F． ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∵AC＝BD， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵OG⊥CD， ∴OG⊥AB， ∴AE＝EB＝8cm， ∴OE6（cm）， ∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm）， ∵EG＝AC＝BD＝5cm， ∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm）， ∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm， 故答案为：1cm． 题型二 利用垂径定理证明线段相等以及垂直关系 解｜题｜技｜巧 【典例1】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径是5． 【典例2】已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）猜想OM和AB的位置关系，并说明理由； （3）求∠ACM的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接OM， ∵点M是弧AB的中点， ∴OM⊥AB，过点O作OD⊥MN于点D， 由垂径定理，得MDMN＝2． 在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2， ∴OD2 故圆心O到弦MN的距离为2cm． （2）猜想：OM⊥AB 连接OA、OB，由M是弧AB的中点， 得∠AOM＝∠BOM， 又因为OA＝OB，所以OM⊥AB． （3）cos∠OMD， ∴∠OMD＝30°， ∵OM⊥AB， ∴∠ACM＝60°． 题型三 垂径定理的应用 解｜题｜技｜巧 把实际问题抽象为数学问题，在利用垂径定理中的勾股定理解决问题。 易｜错｜点｜拨 注意实际问题中的量对应的数学问题中的量，不能混淆。 【典例1】（2025春•郓城县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【解答】解：连接OC，OC交AB于D， 由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝2（米），∠ADO＝90°， ∴OD（米）， ∴CD＝OC﹣OD＝（3）米， 即点C到弦AB所在直线的距离是（3）米， 故选：C． 【典例2】（2025春•石景山区校级期中）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2寸，AB＝8寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为　1　 尺．” 【答案】1． 【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸， ∵CD⊥AB，AB＝8寸， ∴AE＝BE＝4（寸）， ∵OA2＝OE2+AE2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴CD＝2r＝10寸＝1（尺）， 故答案为：1． 【典例3】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．8.4 【答案】C 【解答】解：由题意得：OC⊥AB， ∴AC＝BCAB，∠OCA＝90°， 由OA＝OD＝5cm，CD＝2cm可知： OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得： AC4（cm）， ∴AB＝2AC＝8（cm）． 故选：C． 题型四 弦、弧及圆心角之间的关系 易｜错｜点｜拨 在判断弦和弧的关系时，前提条件必须是同圆或等圆中，注意相等关系成立，加减运算关系不成立。涉及加减运算关系时，弦的大小关系要利用三角形的三边关系判断。 【典例1】下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等． （2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； （3）弧长相等的弧则所对的圆心角不一定相等．错误； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确； 故选：A． 【典例2】如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【答案】D 【解答】解：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD， 故选：D． 【典例3】如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 【答案】C 【解答】解：如图，取的中点H，连接AH、BH， 则， ∵弧AB长等于弧AC长的2倍， ∴， ∴AH＝BH＝AC， 在△ABH中，AH+BH＞AB， ∴AB＜2AC， 故选：C． 题型五 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 【典例1】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【答案】D 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【变式1】（2025春•江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　30°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 故答案为：30°． 【变式2】（2025春•濉溪县期中）如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 【答案】（1）；（2）100°． 【解答】解：（1）如图1，连接OB， ∵直径AC⊥弦BD， ∴， ∵， ∴， ∴AE＝BD＝4， ∴BG＝2． 设OG＝x， ∵AG＝1， ∴OA＝OB＝x+1． 在Rt△OBG中， OG2+BG2＝OB2， 即x2+22＝（x+1）2， 解得，即． （2）如图2，连接OB交AE于点H， 由（1）知AE＝BD， ∴OH＝OG． ∵AC⊥BD，OF＝OF， ∴Rt△OHF≌Rt△OGF， ∴∠GOF＝∠HOF＝20°， ∴∠AOH＝40°， ∴∠A＝50°， ∴∠COE＝2∠A＝100°． 【变式3】如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴BE＝EC＝4， ∴BC＝8， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝6， ∴， ∴OD＝OB＝5， ∴， ∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2． 题型六 圆周角定理 解｜题｜技｜巧 在解决圆周角相关的题目时，遇圆周角找到其对应的弧及其这段弧对应的其他圆周角；遇直径则找到其所对的直角；在复杂的图形中，学会化简剥离图形。 易｜错｜点｜拨 在运用圆周角定理时，同样要注意前提条件必须是同圆或等圆中应用。还要注意特殊的弦（直径）。 【典例1】（2025春•平舆县期中）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接CD．若，则AC的长为（　　） A．3cm B． C．6cm D．12cm 【答案】C 【解答】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵BD平分∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠CAD＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴ACCD36（cm）． 故选：C． 【变式1】（2025春•高州市期中）如图，在圆O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD等于（　　） A．40° B．60° C．50° D．45° 【答案】C 【解答】解：∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD+∠D＝90°， 又∵∠ABC＝40°， ∴∠D＝∠ABC＝40°， ∴∠CAD+40°＝90°， 解得：∠CAD＝50°， 故选：C． 【变式2】（2025春•北碚区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（　　） A．35° B．37° C．37.5° D．52.5° 【答案】C 【解答】解：如图，连接OD． ∵∠BOC＝35°， ∴∠OAC∠BOC35°＝17.5°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝17.5°， ∵∠ACD＝35°， ∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝17.5°+35°＝52.5°， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD＝52.5°， ∴∠COD＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣（52.5°+52.5°）＝75°， ∴∠DAC∠COD75°＝37.5°． 故选：C． 【典例2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠A＝∠2， 又∵OA＝OC， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝6， ∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3， 设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2， 在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32， 解得：， ∴⊙O的半径是． 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）证明：∠BCO＝∠ACD； （2）若AE＝2，BE＝8，求弦CD的长． 【答案】（1）见解析； （2）8． 【解答】（1）证明：∵AB⊥CD， ∴， ∴∠ACD＝∠B， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∴∠BCO＝∠ACD； （2）解：∵AE＝2，BE＝8， ∴OA＝5，OE＝3， 在Rt△OCE中，CE4， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE， ∴CD＝2CE＝8． 题型六 内接四边形的性质及其应用 【典例1】（2025春•前郭县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠B＝110°，则∠AOC的度数为（　　） A．70° B．100° C．110° D．140° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝110°， ∴∠D＝180°﹣110°＝70°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°， 故选：D． 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．120° D．132° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴180°＝∠A+∠BCD， ∵180°＝∠BCD+∠DCE， ∴∠DCE＝∠A＝64°， ∵所对的圆周角是∠A，所对的圆心角是∠BOD， ∴∠BOD＝2∠A＝2×64°＝128°， 故选：A． 【变式2】（2025春•泗县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥CD交AD于点E．若∠AEB＝73°，则∠ABC的度数为（　　） A．117° B．107° C．105° D．97° 【答案】B 【解答】解：∵BE∥CD， ∴∠ADC＝∠AEB＝73°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣73°＝107°， 故选：B． 题型七 切线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 在进行切线的判定时，通常情况下要么连半径，证垂直，要么你作垂直，证半径。注意证明垂直时可利用勾股定理证明垂直；利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直；利用三角形的全等转换证明垂直；利用平行线转换证明垂直。 在进行角度计算时，利用半径与切线垂直构造直角三角形解决问题。 【典例1】如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 【典例2】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°， 又∵∠DCB＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB， ∴OC2+CD2＝OD2， ∴OB2+42＝（OB+2）2， ∴OB＝3， ∴AB＝6， ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线， ∵CD是⊙O的切线； ∴AE＝CE， ∵AD2+AE2＝DE2， ∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2， 解得AE＝6． 【典例3】如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OA； ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝90°， ∴OA⊥OC； 又∵AD∥OC， ∴OA⊥AD， ∴AD是⊙O的切线． （2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2， 在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2， ∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4， 作OH⊥AB于H，如图，OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2， 则AH＝BH， ∵OH•AE•OE•OA， ∴OH， 在Rt△AOH中，AH， ∵OH⊥AB， ∴AB＝2AH． 题型八 切线长定理 解｜题｜技｜巧 回归切线长的概念以及切线长定理，注意圆心与圆外一点的连线，是平分两条切线形成的夹角的。 【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B． 【变式1】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（　　） A．12 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B， ∴PA＝PB， ∵C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E， ∴CD＝AD，CE＝BE， ∵△PDE的周长为12， ∴PD+DC+CE+PE＝PD+AD＝BE+PE＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6， 故选：B． 题型八 三角形的内切圆与外接圆 解｜题｜技｜巧 解决内切圆有关的题目时，抓住关键点“圆心到三边的距离相等”；解决外接圆有关的问题时，抓住关键点“圆心到三个顶点的距离相等” 【典例1】（2025春•沈丘县期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长度为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解答】解：如图，连接OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝2×45°＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝45°， ∴OA＝AB•cos∠OAB＝2， 故选：C． 【变式1】（2025春•宁江区期中）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC．射线CO与⊙O交于点D．若∠ABC＝76°，则∠DCB的度数为（　　） A．52° B．62° C．68° D．72° 【答案】B 【解答】解：如图，连接BD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝90°﹣76°＝14°， 由圆周角定理得：∠DCA＝∠DBA＝14°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝76°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCA＝76°﹣14°＝62°， 故选：B． 【典例2】（2025春•叶县期中）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】D 【解答】解：如图，连接AI，BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI， ∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合， ∴DI∥AC，EI∥BC， ∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB， ∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB， ∴DA＝DI，EB＝EI， ∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4． 所以图中阴影部分的周长为4． 故选：D． 【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】C 【解答】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴， ∴∠CAD＝∠CBD＝25°， 故选：C． 题型九 正多边形和圆 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用 【典例1】（2025春•泗阳县期中）学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延长线分别交CD、EF于点M，N，则∠HMC的度数是（　　） A．60° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【解答】解：∵正六边形ABCDEF， ∴∠ABC＝∠C120°， 又∵正方形ABHG，AH是对角线， ∴∠HAB＝45°， 在四边形ABCM中， ∠HMC＝360°﹣120°﹣120°﹣45°＝75°， 故选：B． 【变式1】（2025春•富顺县期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【答案】B 【解答】解：连接OA、OE， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠AOE360°＝72°， ∵P为上一点， ∴∠APE∠AOE72°＝36°， 故选：B． 【变式2】（2025春•固安县期中）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若CE＝2，则正六边形的周长为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F， ∵∠EBF是正六边形的外角， ∴∠EBF60°， ∵∠ECF是正八边形的外角， ∴∠ECF45°， 在Rt△ECF中，EC＝2，∠ECF＝45°， ∴EF＝FCEC， 在Rt△EBF中，EF，∠EBF＝60°， ∴BE， ∴正六边形的周长为6＝4． 故答案为：． 题型十 扇形的弧长与面积 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用 【典例1】（2025春•乌当区校级期中）如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧AC的长度为（　　） A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm 【答案】D 【解答】解：∵圆饼的直径为20cm， ∴圆饼的半径为10cm， ∵圆弧AC的圆周角为45°， ∴圆弧AC的圆心角为90°， ∴圆弧AC的长度为：， 故选：D． 【变式1】（2025春•宝山区校级期中）如图所示，将一个半径OA＝10cm，圆心角∠AOB＝90°的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上，则点O运动的路线长为　15π　 cm．（计算结果不取近似值） 【答案】15π． 【解答】解：点O运动的路径为：， 故本题答案为：15π． 【典例2】（2025春•重庆校级期中）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由圆周角定理可知∠AOB＝2∠ACB＝80°， 根据扇形面积公式计算可得： ， 故选：A． 【变式1】（2025春•新野县期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，OE＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 【答案】D 【解答】解：∵∠DAB＝30°， ∴∠DOE＝2∠DAB＝60°， ∴∠ODE＝30°． 又∵OE＝2， ∴OD＝4，DE， 则⊙O的半径为4， ∴△AOD的面积为：． ∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝DE，∠AOB＝∠BOD＝60°， ∴下面阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：D． 题型十一 圆锥侧面积与全面积的计算 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用，注意原图形与展开图之间的对应关系不能混淆。 【典例1】（2025春•杨浦区校级期中）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（　　） A．18πcm2 B．18cm2 C．24cm2 D．24πcm2 【答案】D 【解答】解：设底面圆的半径为rcm． 由题意：π•r2＝16π， ∴r＝4（负根已经舍弃）， ∴圆锥的侧面积•2π•4•6＝24π（cm2）， 故选：D． 【变式1】（2025春•祁东县期中）将圆心角为90°，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r． 根据题意，得2πr2π×16， 解得r＝4， ∴这个圆锥的底面圆半径为4． 故答案为：4． 【变式2】（2025春•杨浦区校级期中）如图，现有一个圆心角为120°，半径为10cm的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为　　 cm2． 【答案】． 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm 根据题意得， 解得r， 即该圆锥底面圆的半径为， ∴， 所以该圆锥的全面积为cm2． 故答案为：． 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 　4π　 cm．（结果保留π） 【答案】4π． 【解答】解：砝码被提起了：4π（cm）． 故答案为：4π． 【典例2】物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为 　60°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为n°， 由题意可知，点A转过的弧长为4πcm， ∴， 解得n＝60， ∴滑轮上点A转过的度数为60°， 故答案为：60°． 【典例3】苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则∠1的度数为 　120　 °． 【答案】120． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝∠AFE120°， ∴△BAF≌△AFE（SAS）， ∴∠ABF＝∠FAE， ∴∠1＝∠ABF+∠BAE ＝∠FAE+∠BAE ＝∠BAF ＝120°． 故答案为：120． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 【答案】D 【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确； B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； D、长度相等的弧是等弧，说法错误； 故选：D． 2．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB（AB所对的弦的长）约为36m，拱高CD（AB的中点到弦AB的距离）约为6m，则AB所在圆的半径OA为（　　） A．30m B．27m C． D．25m 【答案】A 【解答】解：如图，点O圆心，连接OA、OB， ∵CD＝6m，，OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°， 设圆的半径为x m，则OD＝（x﹣6）m，由勾股定理得： 182+（x﹣6）2＝x2， 解得x＝30， ∴OA＝30m， 故选：A． 3．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆心O到CD的距离是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，AB＝CD， ∴CD＝AB＝3+7＝10， 过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC，OB，则∠CNO＝∠BMO＝90°， ∵ON⊥CD，OM⊥AB，ON和OM斗过圆心O， ∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝5， ∵ON2＝OC2﹣CN2，OM2＝OB2﹣BM2，OC＝OB， ∴ON＝OM， ∵CD⊥AB，ON⊥CD，OM⊥AB， ∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°， ∴四边形ONEM是正方形， ∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝2， 故选：A． 4．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴AB， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 故答案为：5． 5．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 【答案】B 【解答】解：如图，取圆心点O，连接OA、OD、OE、OF． ∵∠AOD＝2∠1，∠DOE＝2∠2，∠EOF＝2∠3，∠BOF＝2∠4， ∴∠AOD+∠DOE+∠EOF+∠BOF＝2（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°． 故选：B． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长EB至F'，使BF′＝DF，连接AF′， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ABF′＝∠ADC， ∵∠EAF＝30°， ∴∠BAE+∠DAF＝30°， 在△ABF′和△ADF中， ， ∴△ABF′≌△ADF（SAS）， ∴AF′＝AF，BF′＝DF＝1，∠BAF′＝∠DAF， ∴∠BAF′+∠BAE＝30°， ∴∠EAF′＝∠EAF＝30°， 在△AEF′和△AEF中， ， ∴△AEF′≌△AEF（SAS）， ∴EF′＝EF＝3， ∴BE＝3﹣1＝2， 故选：B． 7．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝MF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径（AC+BC﹣AB）＝1， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6． 故选：C． 8．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（　　）个这样的正五边形． A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：如图，设正五边形的两边交于点O， 正五边形的外角为， ∴∠1＝180°﹣2×72°＝36°， ∵， ∴要完成这一圆环还需要10﹣3＝7个这样的正五边形． 故选：B． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【解答】解：连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴， 故选：A． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 10．如图AB，CD是⊙O中两条互相垂直的弦，BD＝6，AC＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：作直径AE、DF，连接CE、BF，如图， ∵AE、DF为直径， ∴∠ACE＝∠FBD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠AMD＝90°， ∴∠ADC+∠DAB＝90°， ∵∠ADC＝∠AEC，∠DAB＝∠DFB， ∴∠AEC+∠DFB＝90°， ∵∠AEC+∠EAC＝90°， ∠EAC＝∠DFB， 在△ACE和△FBD中， ， ∴△ACE≌△FBD（AAS）， ∴CE＝BD＝6， 在Rt△ACE中，AE2， ∴⊙O的半径为． 故选：A． 11．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝12， 设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x， ∵⊙O的直径为20， ∴DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102， 解得x1＝4，x2＝18． ∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去， ∴x＝4， ∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝12． 故选：B． 12．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 【答案】D 【解答】解：∵点O是△ABC的外心， ∴∠AOB＝2∠C， ∴∠C∠AOB， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA） ＝180°（∠CAB+∠CBA）， ＝180°（180°﹣∠C） ＝90°∠C， ∴2∠AIB＝180°+∠C， ∵∠AOB＝2∠C， ∴∠AIB＝90°∠AOB， ∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°． ∵∠AIB＝125°， ∴∠AOB＝140°． 故选：D． 13．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 【答案】D 【解答】解：如图所示，△ACB为四个全等的直角三角形其中之一，DH⊥AB，EG⊥AB，DI⊥EG，EF∥AB．DJ⊥AC，DK⊥CB． 易得四边形EFGB和DHGI均是矩形． 由于“弦图”为中心对称图形，故依次连接四个全等直角三角形的内切圆圆心，构成的四边形为正方形． 根据题意，EF＝DH＝IG＝6，OE＝OD，则DEOE． 根据对称性可得AH＝FB＝EG． 设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 在Rt△ACB中，⊙D为内切圆，易得四边形CJDK为边长等于6的正方形． 由切线长定理可得AJ＝AH，BK＝BH． ∴AB＝AH+BH＝AJ+BK+CJ+CK，即c＝a+b﹣12． 又∵AC＝AJ+CJ＝b，AB＝AH+GB+HG＝c， ∴HG＝DI＝c﹣（AH+GB）＝c﹣（AJ+CJ）＝c﹣b． ∴EI＝EG﹣DH＝AC﹣CJ﹣DH＝b﹣2×6＝b﹣12． 在Rt△DIE中，DE2＝EI2+DI2，即（c﹣b）2+（c﹣a）2＝340． 整理得：2c2+a2+b2﹣2c（a+b）＝340． ∵a2+b2＝c2，a+b＝c+12． ∴c2﹣24c﹣340＝0，解得c＝34． 故答案为：D． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长　4﹣2　 ． 【答案】4﹣2． 【解答】解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°， ∵DM＝CE， ∴CM＝BC， ∵的长为2π， ∴2π， 解得：R＝4， 即BM＝BE＝CD＝AB＝4， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2， BC＝CM＝2， ∴CE＝4﹣2， 故答案为：4﹣2． 15．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM长的最大值是 　22　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'， 因此C O′交⊙O'于点M，此时CM的值最大， 由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′O′M， 在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2， 2， ∴CM＝CO′+O′M＝22， 故答案为：22，． 16．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OA， 在△OBP和△OAP中， ， ∴△OBP≌△OAP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，A是切点， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB是半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）连接OC ∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°， 设OA＝r， 则r2+42＝（r+2）2， 解得，r＝3， 则OA＝3，BC＝6， 设BP＝x，则 AP＝x， ∵PB是圆O的切线， ∴∠PBQ＝90°， ∴x2+（6+2）2＝（x+4）2， 解得，x＝6， ∴BP＝6， ∴BD＝3， ∴QD， 即QD的值是． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在圆O上，AC交圆O于点M，BC与圆O交于点D，DM＝DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB． （1）求证：∠CAD＝∠DAB； （2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数； （3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）30°； （3）（2π）（cm2）． 【解答】（1）证明：∵DM＝DE， ∴， ∴∠CAD＝∠DAB； （2）解：连接OM，OD，作OH⊥MD于H， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠CAD＝∠DAB， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90， ∴AC⊥BC， ∴OD⊥BC， ∴∠MDC+∠MDO＝90°， ∵OM＝OD，OH⊥MD， ∴∠DOH∠MOD， ∵∠CAD∠MOD， ∴∠CAD＝∠DOH， ∵∠DOH+∠MDO＝90°， ∴∠DOH＝∠CDM， ∴∠CAD＝∠CDM， ∵DM平分∠ADC， ∴∠CDM＝∠ADM， ∵∠CAD+∠ADM+∠CDM＝90°， ∴∠CAD＝30°； （3）解：∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∵OD＝OA， ∴∠DAB＝∠ADO， ∴∠DOB＝∠DAB+∠ADO＝2∠B， ∵∠DOB+∠B＝90°， ∴∠B＝∠DAB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵AD＝6cm， ∴DFAD＝3cm， ∴OFFDcm， ∴OD＝2OF＝2cm， ∴扇形ODE的面积2π（cm2），△ODF的面积OF•DF3（cm2）， ∴阴影的面积＝扇形ODE的面积﹣△ODF的面积＝（2π）（cm2）． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 18．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 【答案】B 【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D， ∵∠COA＝60°， ∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°． ∴S扇形AOC； S扇形BOC． 在三角形OCD中，∠OCD＝30°， ∴OD，CD，BCR， ∴S△OBC，S弓形， ， ∴S2＜S1＜S3． 故选：B． 19．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小， 连接OA′，AA′，OB， ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′， ∵点B是弧的中点， ∴∠BON＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°， 又∵OA＝OA′＝1， ∴A′B． ∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B． 故选：C． 20．（2013秋•新洲区期中）如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC＝8，连AB． （1）求证：∠ABO1＝∠ABO； （2）求AB的长； （3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接O1A，则O1A⊥OA，又OB⊥OA， ∴O1A∥OB， ∴∠O1AB＝∠ABO， 又∵O1A＝O1B， ∴∠O1AB＝∠O1BA， ∴∠ABO1＝∠ABO； （2）作O1E⊥BC于点E， ∴E为BC的中点， ∵BC＝8，∴BEBC＝4， ∵A（﹣3，0）， ∴O1E＝OA＝3， 在直角三角形O1BE中， 根据勾股定理得：O1B5， ∴O1A＝EO＝5， ∴BO＝5﹣4＝1， 在直角三角形AOB中， 根据勾股定理得：AB； （3）①BM﹣BN的值不变，理由为： 证明：在MB上取一点G，使MG＝BN，连接AM、AN、AG、MN， ∵∠ABO1为四边形ABMN的外角， ∴∠ABO1＝∠NMA，又∠ABO1＝∠ABO， ∴∠ABO＝∠NMA，又∠ABO＝∠ANM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴AM＝AN， ∵∠AMG和∠ANB都为所对的圆周角， ∴∠AMG＝∠ANB， 在△AMG和△ANB中， ∵， ∴△AMG≌△ANB（SAS）， ∴AG＝AB， ∵AO⊥BG， ∴BG＝2BO＝2， ∴BM﹣BN＝BM﹣MG＝BG＝2其值不变． 21．（2024秋•西城区校级期中）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作+52米，逆时针跑出60米记作﹣60米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：（a+80）2+|b﹣40|＝0． （1）a+b＝ 　﹣40　 ； （2）定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 【答案】（1）﹣40； （2）①﹣50+400k或10+400k（k为任意整数）； ②t的所有可能取值为或或或． 【解答】解：（1）由（a+80）2+|b﹣40|＝0，可知a+80＝0，b﹣40＝0， ∴a＝﹣80，b＝40， ∴a+b＝﹣40． 故答案为：﹣40． （2）①设M在跑道上对应的有理数为x，则AM＝x﹣（﹣80）＝x+80，BM＝40﹣x， 根据定义，可得3AM＝BM或AM＝3BM， 可列方程为3（x+80）＝40﹣x或x+80＝3（40﹣x）， 解得：x＝﹣50或x＝10， 由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动， ∴x可加上任意n圈， 故M在跑道上对应的有理数为：﹣50+400k或10+400k（k为任意整数）． ②∵点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动， 同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动． 根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时， OQ必须为O、Q两点间的较短圆弧，如图所示，O'点与O点对称． 由于Q点运动到O点后停止，所以本题考虑两个主要情形： Ⅰ：Q点过O'点前； Ⅱ：Q点过O'点后． 先讨论Ⅰ情形： 由题意可得OQ＝40+20t， 此时OP较长的弧距＝80+40t， 所以OP较短的弧距＝400﹣（80+40t）＝320﹣40t， 则PQ＝OQ﹣OP较短的弧距＝40+2t﹣（320﹣40t）＝60t﹣280． ∴当OP＝3PQ时，即320﹣40t＝3（60t﹣280）， 解得：t； 当3OP＝PQ时，即3（320﹣40t）＝60t﹣280， 解得：t． 再讨论Ⅱ情形： 此时P点已第一次过O点， ∴OP＝40t+80﹣400＝40t﹣320， ∴PQ＝OQ﹣OP＝[400﹣（20t+40）]﹣（40t﹣320）＝﹣60t+680， 当3OP＝PQ时，即3（40t﹣320）＝﹣60t+680， 解得：t； 当OP＝3PQ时，即40t﹣320＝3（﹣60t+680）， 解得：t． 综上所述：t的所有可能取值为或或或． 68/68 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与垂径定理 ①利用垂径定理及其推论求弦长，半径及其弦心距； ②证明线段相等、垂直关系 常考小题与综合题 圆心角、弧、弦的关系 ①能直接证明角、弧、弦的相等关系； ②能与其他定理（如圆周角定理）结合进行证明或计算 常考小题与综合题 圆周角定理 ①能利用定理求角度； ②证明角相等； ③利用内接四边形的性质求角度 常考小题与综合题（求角度最常考） 切线的性质与判定（绝对核心） ①证明切线； ②利用切线性质求长度或角度 常考小题与综合题（必考点） 切线长定理 ①求线段长度、角度； ②证明线段相等、角相等、线段垂直或平行； ③能够与三角形的内心、外心等知识点结合解决相应题目。 常考小题与综合题 弧长与扇形面积 ①能够直接套用公式计算； ②能与实际问题结合，如计算弯管长度、羊吃草的面积、零件面积等 ③能熟练求阴影部分面积（割补法） 常考小题 圆锥的侧面积和全面积 ①求侧面积或全面积 常考小题 知识点01 圆的定义及其相关概念 1. 圆的定义： 静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。 2. 圆的相关概念： (1) 弦的概念： 如图：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (2) 直径： 过圆心的弦叫做直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。 (3) 弧： 圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。 ① 半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。 ② 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为。读作弧AOC。表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。 ③ 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。读作弧AC。 (4) 等圆： 能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。 (5) 等弧： 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 知识点02 垂径定理及其推论 1. 垂径定理的内容： 垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。 即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，则：CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD。 注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。 在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。即：（） 2. 垂直定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 知识点03 弧、弦以及圆心角 1. 圆心角的认识： 顶点在圆心的角叫做圆心角。大小范围为0°＜α＜360°。 2. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）： 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3. 弧、弦、圆心角的关系的推论： （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等。 圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。 4. 弧的度数： 弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 知识点04 圆周角 1. 圆周角的定义： 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3. 圆周角定理的推论： （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。相等的圆周角所对的弧也相等。 如图：若＝，则∠ABC＝∠BAD；若∠ABC＝∠BAD，则＝。 （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝90°。 若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的直径。 4. 圆的内接四边形： （1）概念：如图：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。 （2）圆的内接四边形的性质： ①圆的内接四边形的对角互补。 即∠B＋∠D＝180°，∠C＋∠BAD＝180°。 ②圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） 即：∠EAD＝∠C。 知识点05 点与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在圆外。 （2）如图2：d＝r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在圆内。 2. 三角形的外接圆与外心： （1）外接圆：如图：若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角形的外接圆。 （2）外心： 三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。是三角形三条边的垂直平分线的交点。所以到三角形三个顶点的距离相等。 特别说明： ①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 知识点06 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图 （1）d＜r直线与圆相交，有2个交点，直线叫圆的割线。 （2）d＝r直线与圆相切，与圆只有1个交点，此时直线叫做圆的切线，交点叫做直线与圆的切点。 （3）d＞r直线与圆相离，与圆没有公共点。 2. 切线的判定： （1）判定定理：经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线叫做圆的切线。 （2）切线的判定的方法： ①直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。 证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。 ②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。 ③利用三角形的全等转换证明垂直。 ④利用平行线转换证明垂直。 ②直线与圆无公共点：作垂直，证半径。 3. 切线的性质： （1）圆的切线垂直于经过切点的半径。 （2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 （3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理： （1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。 （2）切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。 推广：由切线长定理的结论可得： ①△APO≌△BPO∠AOP＝∠BOP＝AB⊥OP。 5. 三角形的内切圆与内心： （1）内切圆 如图：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 （2）三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。 特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 （3）直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为或。 （4）三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为：。 6. 弦切角与弦切角定理： （1）弦切角： 如图，像∠ACP这样顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 （2）弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数的一半。 知识点07 正多边形与圆 1. 正多边形及其相关概念： （1）正多边形的概念： 各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。 （2）圆的内接正多边形： 把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 （3）圆的内接正多边形的相关概念： ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。 ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形的中心角。正多边形的中心角度数为。 ④边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂线即为边心距。 2. 正多边形的有关计算： (1) 正多边形的内角计算： 正n边形的每个内角计算公式为。 (2) 正多边形的中心角： 正n边形的中心角度数为。 (3) 正多边形的外角： 正n边形的外角度数为。 (4) 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系： 正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为。 (5) 正多边形的周长和面积： 边长为a的正n边形的周长为；面积为。 知识点08 弧长与扇形的面积 1. 扇形的弧长： （1）扇形弧长的定义： 扇形的弧长就是扇形两条半径间圆弧的长度。 （2）扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝。 2. 扇形的面积计算： 方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为：。 3. 圆锥的侧面积与全面积： （1）圆锥的认识： 如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的高。 （2）圆锥的母线长、高与底面半径的关系： 圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。 即：如图：。 （3）圆锥的侧面展开图的认识： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。扇 形的弧长等于圆锥底面圆的周长。 （4）圆锥的侧面积计算： 方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为a，弧长等于底面圆周长等于：，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：。 方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：。 题型一 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 解｜题｜技｜巧 在垂径定理中，利用勾股定理“弦心距2+半弦长2＝半径2”解决相关题目 【典例1】已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP＝4cm，PD＝2cm，则⊙O的半径为（　　） A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm 【变式1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　 　 ． 【典例2】如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为 　 　 ． 【典例3】（2025春•道县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则OE的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　 　 ． 题型二 利用垂径定理证明线段相等以及垂直关系 解｜题｜技｜巧 【典例1】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 【典例2】已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）猜想OM和AB的位置关系，并说明理由； （3）求∠ACM的度数． 题型三 垂径定理的应用 解｜题｜技｜巧 把实际问题抽象为数学问题，在利用垂径定理中的勾股定理解决问题。 易｜错｜点｜拨 注意实际问题中的量对应的数学问题中的量，不能混淆。 【典例1】（2025春•郓城县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【典例2】（2025春•石景山区校级期中）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2寸，AB＝8寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为　 　 尺．” 【典例3】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．8.4 题型四 弦、弧及圆心角之间的关系 易｜错｜点｜拨 在判断弦和弧的关系时，前提条件必须是同圆或等圆中，注意相等关系成立，加减运算关系不成立。涉及加减运算关系时，弦的大小关系要利用三角形的三边关系判断。 【典例1】下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【典例3】如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 题型五 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 【典例1】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【变式1】（2025春•江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ． 【变式2】（2025春•濉溪县期中）如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 【变式3】如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． 题型六 圆周角定理 解｜题｜技｜巧 在解决圆周角相关的题目时，遇圆周角找到其对应的弧及其这段弧对应的其他圆周角；遇直径则找到其所对的直角；在复杂的图形中，学会化简剥离图形。 易｜错｜点｜拨 在运用圆周角定理时，同样要注意前提条件必须是同圆或等圆中应用。还要注意特殊的弦（直径）。 【典例1】（2025春•平舆县期中）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接CD．若，则AC的长为（　　） A．3cm B． C．6cm D．12cm 【变式1】（2025春•高州市期中）如图，在圆O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD等于（　　） A．40° B．60° C．50° D．45° 【变式2】（2025春•北碚区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（　　） A．35° B．37° C．37.5° D．52.5° 【典例2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）证明：∠BCO＝∠ACD； （2）若AE＝2，BE＝8，求弦CD的长． 题型六 内接四边形的性质及其应用 【典例1】（2025春•前郭县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠B＝110°，则∠AOC的度数为（　　） A．70° B．100° C．110° D．140° 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．120° D．132° 【变式2】（2025春•泗县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥CD交AD于点E．若∠AEB＝73°，则∠ABC的度数为（　　） A．117° B．107° C．105° D．97° 题型七 切线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 在进行切线的判定时，通常情况下要么连半径，证垂直，要么你作垂直，证半径。注意证明垂直时可利用勾股定理证明垂直；利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直；利用三角形的全等转换证明垂直；利用平行线转换证明垂直。 在进行角度计算时，利用半径与切线垂直构造直角三角形解决问题。 【典例1】如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【典例2】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 【典例3】如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度． 题型八 切线长定理 解｜题｜技｜巧 回归切线长的概念以及切线长定理，注意圆心与圆外一点的连线，是平分两条切线形成的夹角的。 【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（　　） A．12 B．6 C．8 D．10 题型八 三角形的内切圆与外接圆 解｜题｜技｜巧 解决内切圆有关的题目时，抓住关键点“圆心到三边的距离相等”；解决外接圆有关的问题时，抓住关键点“圆心到三个顶点的距离相等” 【典例1】（2025春•沈丘县期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长度为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式1】（2025春•宁江区期中）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC．射线CO与⊙O交于点D．若∠ABC＝76°，则∠DCB的度数为（　　） A．52° B．62° C．68° D．72° 【典例2】（2025春•叶县期中）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 题型九 正多边形和圆 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用 【典例1】（2025春•泗阳县期中）学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延长线分别交CD、EF于点M，N，则∠HMC的度数是（　　） A．60° B．75° C．80° D．85° 【变式1】（2025春•富顺县期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【变式2】（2025春•固安县期中）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若CE＝2，则正六边形的周长为　 　 ． 题型十 扇形的弧长与面积 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用 【典例1】（2025春•乌当区校级期中）如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧AC的长度为（　　） A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm 【变式1】（2025春•宝山区校级期中）如图所示，将一个半径OA＝10cm，圆心角∠AOB＝90°的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上，则点O运动的路线长为　 　 cm．（计算结果不取近似值） 【典例2】（2025春•重庆校级期中）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025春•新野县期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，OE＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 题型十一 圆锥侧面积与全面积的计算 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用，注意原图形与展开图之间的对应关系不能混淆。 【典例1】（2025春•杨浦区校级期中）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（　　） A．18πcm2 B．18cm2 C．24cm2 D．24πcm2 【变式1】（2025春•祁东县期中）将圆心角为90°，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　 ． 【变式2】（2025春•杨浦区校级期中）如图，现有一个圆心角为120°，半径为10cm的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为　 cm2． 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 　 　 cm．（结果保留π） 【典例2】物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为 　 　 ． 【典例3】苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则∠1的度数为 　 °． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 2．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB（AB所对的弦的长）约为36m，拱高CD（AB的中点到弦AB的距离）约为6m，则AB所在圆的半径OA为（　　） A．30m B．27m C． D．25m 3．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆心O到CD的距离是（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 5．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 8．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（　　）个这样的正五边形． A．5 B．7 C．9 D．10 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 10．如图AB，CD是⊙O中两条互相垂直的弦，BD＝6，AC＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 12．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 13．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 14．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长　 ． 15．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM长的最大值是 　 　 ． 16．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在圆O上，AC交圆O于点M，BC与圆O交于点D，DM＝DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB． （1）求证：∠CAD＝∠DAB； （2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数； （3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 18．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 19．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（　　） A．2 B． C． D．1 20．（2013秋•新洲区期中）如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC＝8，连AB． （1）求证：∠ABO1＝∠ABO； （2）求AB的长； （3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明． 21．（2024秋•西城区校级期中）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作+52米，逆时针跑出60米记作﹣60米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：（a+80）2+|b﹣40|＝0． （1）a+b＝ 　 　 ； （2）定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 1/31 学科网（北京）股份有限公司 $