高二数学上学期期中模拟卷（北师大版选择性必修第一册第1～3章：直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何，高效培优提升卷）

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 4．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 5．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 6．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（   ） A． B． C．4 D．2 8．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10．已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线有且仅有2条对称轴 C．点到直线的距离的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 13．已知椭圆的上下焦点分别为、，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． (1)直线l的一个方向向量为，且经过点； (2)过点且在两坐标轴上截距相等． 16．（15分） 已知椭圆与双曲线具有共同的焦点，，点在椭圆上，，若______（在①②③中选择一个：①椭圆过点，②椭圆的短轴长为10，③椭圆离心率为．说明：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 18．（17分） 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点.    (1)当平面时，求的值； (2)当最小时，求与所成角的余弦值； (3)当二面角的大小为时，求的值. 19．（17分） 已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修一第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 2．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 3．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 4．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知， ． 故选：A． 5．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 6．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得，则， ， 所以“将军饮马”的最短路程为. 故选：B    8．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 10．已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【详解】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或 （注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误； 对于B：设平面的法向量是，因为，， 所以则.令，可得，故B正确； 对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确; 对于D：，，， 则点到直线的距离为，故D错误. 故选：BC 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线有且仅有2条对称轴 C．点到直线的距离的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据曲线Ω的方程，分类讨论去绝对值可画出曲线Ω围成的图形，再数形结合一一判断即可. 【详解】因为曲线Ω：， 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为. 所以曲线Ω的图象如图所示：由图可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和，    从而曲线Ω围成的图形的面积为，故选项A正确； 由曲线Ω的图像可知，曲线Ω围成的图形有4条对称轴， 分别是x轴，y轴，第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故选项B错误； 点到直线的距离，      结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故选项C正确； 表示点与点的连线的斜率，由图可知当（且）与直线相切时取得最小值，设切线为，则，    解得或（舍去），所以的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 【答案】 【详解】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以直线与直线的距离为. 13．已知椭圆的上下焦点分别为、，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可得、，设，所以，， ， 所以 ， 所以的最大值为5. 14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示．    连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． (1)直线l的一个方向向量为，且经过点； (2)过点且在两坐标轴上截距相等． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线的方向向量为可得直线斜率为， 由点斜式得直线方程为，即.(6分) （2）当直线截距不为0时，设求直线方程为 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或.（13分） 16．（15分） 已知椭圆与双曲线具有共同的焦点，，点在椭圆上，，若______（在①②③中选择一个：①椭圆过点，②椭圆的短轴长为10，③椭圆离心率为．说明：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积． 【答案】(1)条件选择见解析，椭圆方程为 (2) 【详解】（1）设椭圆方程. 因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则. 选①：由已知可得，则，椭圆方程为；（7分） 选②：由已知可得，则，椭圆方程为；（7分） 选③得，则，椭圆方程为.（7分） （2）由椭圆定义知①，          又因为，所以，②， 由①可得， 解得， 因此，.（15分） 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则.（7分） 所以点C到平面的距离.（10分） （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点.    (1)当平面时，求的值； (2)当最小时，求与所成角的余弦值； (3)当二面角的大小为时，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）底面是等腰梯形，，，，， 所以，则， 又，可得，故，    以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴， 构建如图空间直角坐标系，则， 所以，，显然满足， 因为是边长为的正三角形，故的高为， 所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上， 设且，则， ， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由平面平面，则，可得，故，即在轴上， 显然平面，又，故， 即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以， 设，则，则， 所以，而，， 若是平面的一个法向量，则，取， 由平面，则，可得， 此时，故；（6分） （2）由，则， 当，最小，此时，则，而， 所以，故所求异面直线的夹角余弦值为；（10分） （3）由（1）知，平面的法向量为，，， 设平面的法向量，则，取， 二面角的大小为，则， 整理得，即，故， 所以（负值舍），故.（17分） 19．（17分） 已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1)（坐标原点除外） (2)①；②证明见解析 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设，点到圆的切线长为， 点到圆的切线长为， 所以， 两边平方并化简得（坐标原点除外）. 所以的方程为（坐标原点除外）.（4分） （2）①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以， 用替换，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以四边形面积的最大值为.（10分） ②由消去并化简得， 所以， 用替换，可得， 当时，， 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 综上所述，直线恒过定点.（17分） 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A A A D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．5 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线的方向向量为可得直线斜率为， 由点斜式得直线方程为，即.（6分） （2）当直线截距不为0时，设求直线方程为 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)条件选择见解析，椭圆方程为 (2) 【详解】（1）设椭圆方程. 因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则. 选①：由已知可得，则，椭圆方程为；（7分） 选②：由已知可得，则，椭圆方程为；（7分） 选③得，则，椭圆方程为.（7分） （2）由椭圆定义知①，          又因为，所以，②， 由①可得， 解得， 因此，.（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则.（7分） 所以点C到平面的距离.（10分） （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为.（15分） 18．（15分） 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）底面是等腰梯形，，，，， 所以，则， 又，可得，故，    以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴， 构建如图空间直角坐标系，则， 所以，，显然满足， 因为是边长为的正三角形，故的高为， 所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上， 设且，则， ， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由平面平面，则，可得，故，即在轴上， 显然平面，又，故， 即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以， 设，则，则， 所以，而，， 若是平面的一个法向量，则，取， 由平面，则，可得， 此时，故；（6分） （2）由，则， 当，最小，此时，则，而， 所以，故所求异面直线的夹角余弦值为；（10分） （3）由（1）知，平面的法向量为，，， 设平面的法向量，则，取， 二面角的大小为，则， 整理得，即，故， 所以（负值舍），故.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)（坐标原点除外） (2)①；②证明见解析 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设，点到圆的切线长为， 点到圆的切线长为， 所以， 两边平方并化简得（坐标原点除外）. 所以的方程为（坐标原点除外）.（4分） （2）①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以， 用替换，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以四边形面积的最大值为.（10分） ②由消去并化简得， 所以， 用替换，可得， 当时，， 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 综上所述，直线恒过定点.（17分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $