专题03 不等式16大考点67题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题03 不等式 考点01 利用不等式性质判断其他不等式的真假（共3小题）（易错） 1 考点02 利用不等式的性质求参(共3小题)（重点） 2 考点03 比较大小（共3小题） 3 考点04 对基本不等式的理解（共3小题） 4 考点05 利用基本不等式求最值（无条件）(共6小题)（重点） 6 考点06 利用基本不等式求最值——有附加条件（共7小题）(重点) 8 考点07 利用基本不等式解决恒成立或有解问题(共5小题)（重点） 12 考点08 证明不等式(共3小题)（难点） 14 考点09 解不含参的一元二次不等式、分式不等式及高次不等式（共6小题） 16 考点10 由不等式的解集求参（共4小题）（重点） 19 考点11 解含参的不等式(共4小题)（难点） 21 考点12 一元二次方程的实根分布(共4小题) 24 考点13 一元二次不等式恒成立或有解问题(共6小题)（重点） 26 考点14 不等式的整数解问题（共3小题）（难点） 30 考点15 不等式的实际应用（共3小题） 32 考点16 与不等式有关的数学文化题 35 考点01 利用不等式性质判断其他不等式的真假（共3小题）（易错） 1．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，， 所以，A选项正确； 对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误. 故选：A. 3．(多选)（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B、D. 【详解】对于A：如，，，，满足，，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：如，，，，满足，，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以，， 所以，故D正确. 故选：BD 考点02 利用不等式的性质求参(共3小题)（重点） 4．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合不等式的基本性质求的取值范围. 【详解】因为：， 又， 两式相加，得：. 故答案为： 6．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 考点03 比较大小（共3小题） 7．（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 【答案】> 【分析】作差法比较大小. 【详解】，故. 故答案为：> 8．（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为， 故. 故答案为：. 9．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 考点04 对基本不等式的理解（共3小题） 10．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD通过分析符号可完成判断； B由基本不等式可判断选项正误； C由做差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负， 当为负数时，，则A错误； 对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确 对于C，，故C错误； 对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误； 故选：B 11．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 12．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 考点05 利用基本不等式求最值（无条件）(共6小题)（重点） 13．（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 14．（24-25高一上·天津和平·期末）若且，则的最大值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】B 【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子配凑完再提个负号即可得到结果. 【详解】因为，所以，即， ， 当且仅当，解得：或（舍），即当时，等号成立. 故选：B 15．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 16．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 17．若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 18．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 考点06 利用基本不等式求最值——有附加条件（共7小题）(重点) 19．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 20．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 21．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 22．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 23.(多选)已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 24．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可. 【详解】由题意可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值是. 故答案为： 25．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】法一：由题意可得，则，又，则，化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得，再借助权方和不等式计算即可得. 【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用： 由，，，则， 即，则， 则 ， 当且仅当，即，即、时，等号成立. 法二：借助权方和不等式： 由，，，则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 考点07 利用基本不等式解决恒成立或有解问题(共5小题)（重点） 26．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 27．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 28．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 29．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求不等式左侧的最小值，根据不等式恒成立只需右侧小于左侧的最小值，应用基本不等式求左侧最小值，再解一元二次不等式求范围. 【详解】由，， 当且仅当时取等号，故原不等式最小值为8， 由于题设不等式恒成立，则，即， 所以. 故答案为： 30．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由不等式解的结构特征可得且和是方程的两个根即可由根与系数的关系求解. （2）先由（1）结合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】（1）由题可知，且和是方程的两个根， 所以，此时原不等式为即， 该不等式解集为或，符合， 所以. （2）由（1）得， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8. 因为恒成立，所以即， 解方程得或， 所以不等式的解集为. 所以满足题意的实数的取值范围为. 考点08 证明不等式(共3小题)（难点） 31．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 32．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 33．证明姐妹不等式： (1)； (2)． 【分析】不等式也可以表示为和，利用错位相乘可得，进而可证，第二个不等式可以按照第一个来证明. 【证明】（1）不等式也可以表示为 ，利用可得 ，（错位相乘） ， 得， 即． （2）不等式可以表示为． 由(1)同理得， ， 即． 考点09 解不含参的一元二次不等式、分式不等式及高次不等式（共6小题） 34．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为 . 【答案】{或}. 【分析】直接利用一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】原不等式等价于不等式组， 解第一个不等式得或， 解第二个不等式得. 故原不等式的解集为{或}. 35. （24-25高二下·重庆·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： 36．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 37．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 38．（24-25高一上·天津西青·期中）解下列不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解（1）（2）；根据分式不等式的解法即可求解（3）. 【详解】（1）， 又，所以， 即不等式的解集为； （2）方程中，，该方程无解， 所以不等式的解集为； （3）， 解得或，即原不等式的解集为. 39．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解， （3）根据分式不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 （3）由得， 故或， 故不等式的解为或 考点10 由不等式的解集求参（共4小题）（重点） 40．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 41．（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 42.(多选)（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案. 【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且， 由韦达定理可得，得， 对于A，因为，故A错误； 对于B，不等式，即，即，得， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由不等式，得，即， 则，得或，即解集为或，故D正确. 故选：BD. 43．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【解析】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 考点11 解含参的不等式(共4小题)（难点） 44．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 45．（23-24高一上·北京·期末）求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解. （2）将不等式转化为不等式组求解. （3）分类讨论解含参数的不等式. 【详解】（1）不等式，化为，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. （3）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为， 若，则；若，则无解；若，则， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 46．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值. （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）函数，又有且只有一个元素， 则方程有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. （2）依题意，，整理得， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 47．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 考点12 一元二次方程的实根分布(共4小题) 48．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 49．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 50．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 51．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是，此时，符合题意. 故答案为：. 考点13 一元二次不等式恒成立或有解问题(共6小题) 52．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 53．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 54．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 55．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 56．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为： 57．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 58．已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 【详解】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，成立， 解得或， 所以的取值范围是. 考点14 不等式的整数解问题（共3小题）(难点) 59．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【详解】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 60．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【详解】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 61．（24-25高一上·安徽合肥·期中）关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出，求出不等式的解集，解集中恰有两个整数，从而得到不等式，求出答案. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有2个，则有且有，故有， 令即得， 故不等式的解集为， 因为，所以， 所以解集中恰有两个整数，可得，解得． 故答案为：． 考点15 不等式的实际应用（共3小题） 62．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 63．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)当单价为元时，取得最大利润为元 (3)件 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若， 则利润， 其开口向下，对称轴为，所以当时， 利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 由整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 64．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 考点16 与不等式有关的数学文化题 65．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【答案】A 【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设）， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小：（作差比较法） 因为， 因为，所以，即. 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A 66．如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 67．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． (1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 【分析】（1）根据函数新定义求解即可； （2）由题设易得，，，进而求得的值，即可求解； （3）由题设易得，，进而得到二次函数解析式，再结合对称轴分类讨论求解即可. 【解析】（1）∵一次函数是一个“智勇忠诚函数”， ∴根据定义得：得，由得， ∴一次函数图象上的“智勇点”为：，“忠诚点”为：. （2）∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∵二次函数的顶点就是一个“智勇点”，∴， ∴二次函数解析可变为， ∵二次函数图象经过一个“忠诚点”， ∴，∴， ∴P点坐标为， ∴将代入， 得，∴， ∴二次函数解析为或. （3）∵经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”， ∴直线l上的点横纵坐标相等， ∵二次函数（c，d为常数，c≠0）的顶点为M，与y轴的交点为N， ∴，N点坐标为原点，M，N为“智勇点”， ∴二次函数解析式可变为， 二次函数的图象经过“智勇点”M，N， ∴将代入， ∴，∴（舍去）， ∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线， 当时，时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴； 当时，在时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴，∴. 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 考点01 利用不等式性质判断其他不等式的真假（共3小题）（易错） 1 考点02 利用不等式的性质求参(共3小题)（重点） 2 考点03 比较大小（共3小题） 3 考点04 对基本不等式的理解（共3小题） 4 考点05 利用基本不等式求最值（无条件）(共6小题)（重点） 6 考点06 利用基本不等式求最值——有附加条件（共7小题）(重点) 8 考点07 利用基本不等式解决恒成立或有解问题(共5小题)（重点） 12 考点08 证明不等式(共3小题)（难点） 14 考点09 解不含参的一元二次不等式、分式不等式及高次不等式（共6小题） 16 考点10 由不等式的解集求参（共4小题）（重点） 19 考点11 解含参的不等式(共4小题)（难点） 21 考点12 一元二次方程的实根分布(共4小题) 24 考点13 一元二次不等式恒成立或有解问题(共6小题)（重点） 26 考点14 不等式的整数解问题（共3小题）（难点） 30 考点15 不等式的实际应用（共3小题） 32 考点16 与不等式有关的数学文化题 35 考点01 利用不等式性质判断其他不等式的真假（共3小题）（易错） 1．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(多选)（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 考点02 利用不等式的性质求参(共3小题)（重点） 4．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知实数满足，则的取值范围为 ． 6．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 考点03 比较大小（共3小题） 7．（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 8．（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 9．已知，试比较与的大小. 考点04 对基本不等式的理解（共3小题） 10．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 12．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 考点05 利用基本不等式求最值（无条件）(共6小题)（重点） 13．（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 14．（24-25高一上·天津和平·期末）若且，则的最大值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 15．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 16．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 17．若，则的最小值为 . 18．已知，则的最小值为 . 考点06 利用基本不等式求最值——有附加条件（共7小题）(重点) 19．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 22．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 23.(多选)已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 24．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的最小值是 . 25．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则的最小值为 . 考点07 利用基本不等式解决恒成立或有解问题(共5小题)（重点） 26．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 29．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 30．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 考点08 证明不等式(共3小题)（难点） 31．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 32．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 33．证明姐妹不等式： (1)； (2)． 考点09 解不含参的一元二次不等式、分式不等式及高次不等式（共6小题） 34．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为 . 35. （24-25高二下·重庆·期末）不等式的解集是 . 36．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 37．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 38．（24-25高一上·天津西青·期中）解下列不等式： (1) (2) (3) 39．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 考点10 由不等式的解集求参（共4小题）（重点） 40．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 42.(多选)（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 43．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点11 解含参的不等式(共4小题)（难点） 44．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 45．（23-24高一上·北京·期末）求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集 (1) (2) (3) 46．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； 47．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 考点12 一元二次方程的实根分布(共4小题) 48．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 49．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 50．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 51．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 考点13 一元二次不等式恒成立或有解问题(共6小题) 52．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 53．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 56．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 57．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 58．已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 考点14 不等式的整数解问题（共3小题）(难点) 59．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 61．（24-25高一上·安徽合肥·期中）关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是 . 考点15 不等式的实际应用（共3小题） 62．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 63．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 64．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 考点16 与不等式有关的数学文化题 65．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 66．如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 67．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． (1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $