4.5 相似三角形的性质及其应用 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

4.5 相似三角形的性质及其应用 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，在同一时刻，身高米的小丽在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则这棵树的高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2.如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，若动力和阻力的施力方向都始终保持竖直向下，则当不变且杠杆向下运动时，的大小变化情况是(    ) A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定 3.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面米，同时量得米，米，则旗杆高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.如图，某数学兴趣小组测量南阳解放纪念碑高度的方案如下图中所有点均在同一平面内：他们在距点水平距离处立一高度为的标杆，后退在点处望见、、三点共线，，则高度约为(    ) A. B. C. D. 5.如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心的光线传播方向不改变，与的交点即为点的像点若，，点到主光轴的距离，则点到主光轴的距离为(    ) A. B. C. D. 6.如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为，若长为，则长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳两条尺长和相等可测量零件的内孔直径如果，且量得，那么零件的厚度为(    ) A. B. C. D. 8.如图所示是一种雨伞的截面图，伞骨，支撑杆，当点沿滑动时，雨伞开闭若，，则此时，两点之间的距离为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，电灯在横杆的上方，在灯光下的影子为米，米，点到的距离是米，则与之间的距离是          米． 10.九章算术中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么          米． 11.如图，测得米，米，米，则河宽为          米． 12.周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，，与相交于点测得，，，则树高______ 13.据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．在如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是          ． 14.如图，小明发现教学楼的铭牌上写着“楼高”他站上一节台阶，正好通过地面的水渍看到了教学楼的顶端已知小明身高，水渍距离教学楼，距离小明，则这节台阶的高为______ 15.如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为，墙上的影子长为，同一时刻一根长为的垂直于地面上的标杆的影长为，则树的高度为           16.如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为：，则物体的高为______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，某一时刻，电线杆在阳光下的影子是，同一时刻，身高的小超来回调整自己的位置，使得自己影子的顶端与电线杆影子的顶端刚好重合，此时，此时测得小超的影长是，小超离电线杆底部的距离是，求电线杆的高度． 18.本小题分 尺规作图：如图，在矩形中，是边的中点，连接，在上求作一点，使得∽不写作法，保留作图痕迹 19.本小题分 在社会实践活动中，学生们研究某种植大棚的采光情况他们发现在太阳光照射下，大棚最高处的点的影子刚好落在半圆形门的最高处点，而半圆形门的影子刚好落在地面上点，通过测量得到米，米，并测得光线与水平地面的夹角请计算大棚的高度结果保留整数 20.本小题分 在学习了相似三角形相关知识后，八年级某班的学生对校园围墙的高度进行实地测量． 如图，小薏组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米处点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． 如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 21.本小题分 如图，小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍，无法直接测得大楼的高度小明同学经过思考，设计了如下的测量方案：将仪器分别置于地面的点与点处，仪器发射的两束光线都经过大楼的顶端点，并分别投射到大楼最高一层的顶端点和其底部点处，已知，，，，求大楼的高度，点，，，在同一水平线上 22.本小题分 桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点、点分别代表重物和水桶，线段、是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米当水桶的位置低于地面米如图所示，支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似， ， ， 米． 故选：． 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 2.【答案】  【解析】由题意知，，常数，，，，，不变，是常数，不变故选B． 3.【答案】  【解析】由平面镜反射可得：再证明再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由平面镜反射可得：        米，米，米，   解得：，经检验：符合题意，  旗杆高度为米． 故选A 4.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形， ，，， ， ， ∽， ， ，，，， ， ， ． 即的高度约为． 故选：． 过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，得，，，即得，进而由∽得，代入计算求出即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：， ∽， ， ， ， ∽， ， ， ， 答：点到主光轴的距离为， 故选：． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6.【答案】  【解析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论 【详解】解：如图， ， ， 故选： 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】作于，延长线交于，如图，则，利用可判断∽，利用相似比计算出，然后计算出即可． 【详解】解：作于，延长线交于，如图， 由题意， ， ，∽， ， 即， ， ， 与间的距离是米． 故答案为． 10.【答案】  【解析】由题意得，，，又，∽，，，解得米． 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】解：点，，在同一水平线上，，， ∽， ， ，，， ， 解得， ， 故答案为：． 证明∽，利用相似三角形的性质列比例求解即可． 本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】解：过点作于点， ，， ， ， ∽， ， ， ， 故答案为：． 根据垂直的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出，然后加上墙上的影长即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为， 由题意得，， 解得， 墙上的影子长为， 树的高度为． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：由题意可得：， ∽， ， 由题意可得，， ． 故答案为：． 如图，证明∽，则利用相似三角形的性质得到，然后利用得到物体的高． 本题考查了相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】解：由题意可得：，，， ， ， ∽， ，即， ， 电线杆的高度为．  【解析】由题意可得：，，，进而得到，证明∽，得到，即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 18.【答案】如图所示，点即为所求．   【解析】【点拨】本题考查作图相似变换，矩形的性质． 19.【答案】电线杆的高度约为米．  【解析】解：如图，连接，过点作于，则是矩形． 是的切线， ， ，米， ， 解得米， 米， 米， 米， 米． 太阳光线是平行光线， ， 又， ． 又， ∽， ，即， 解得：米． 即米． 答：电线杆的高度约为米． 连接，过点作于，根据锐角三角函数、勾股定理以及相似三角形的性质进行计算． 此题主要考查了相似三角形的应用，熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定和性质是解题关键． 20.【答案】米；   米．  【解析】如图，米，米，米， ， ∽， ， 即， 解得米． 答：墙的垂直高度为米； 根据题意得， ，， ， ∽， ， 即， 解得米． 答：墙的垂直高度为米． 先证明∽，再根据相似三角形的性质得到，即，然后利用比例的性质求出即可； 先证明∽，再根据相似三角形的性质得到，即，然后利用比例的性质求出即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 21.【答案】大楼的高度为．  【解析】解：设为，为，则． ， ∽，∽， ，， 即，， ， 解得， ． 答：大楼的高度为． 先证明∽，∽，列出比例式，得到关于，的方程组求解． 本题考查了相似三角形的实际应用，解题关键是找准相似三角形． 22.【答案】这个桔槔支架的高度为．  【解析】解：过点作于点，交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 又， ， 答：这个桔槔支架的高度为． 过点作于点，交于点，根据三角函数求出和的长度，即可得到的长． 本题考查了相似三角形的应用，利用三角函数进行计算是解题的关键． 第10页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$