精品解析：江苏省南京市中华中学2025-2026学年高二上学期9月综合练习（月考）数学试题

中华中学2024级高二年级9月综合练习 高二数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 若复数满足，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 若圆的圆心为，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计成绩低于50分的有20人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第75百分位数为82 5. 已知正四棱台的高为，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 11. 已知点，，且点在直线上，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 13. 已知，则______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 16. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． （1）求圆的方程； （2）设，点为圆上的动点，求证：为定值． 17. 在中，角所对的边分别是，，，且，是边上一点，． （1）求角； （2）若，求线段的长； （3）若时，求角的大小． 18. 已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． （1）当时，求点的轨迹方程； （2）若点的“距离坐标”为，求点的坐标； （3）已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 19. 如图，在直三棱柱中，平面，为侧棱中点，为线段中点，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值； （3）若点在线段上，满足平面平面，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2024级高二年级9月综合练习 高二数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 2. 若复数满足，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等式求出复数，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】因为，所以. 所以所求共轭复数为. 故选：B. 3. 若圆的圆心为，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的标准方程找到圆心，再用点到直线的距离公式即可求出距离. 【详解】由圆的方程，配方可得：， 所以圆心， 则点到直线的距离：， 故选：D. 4. 某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计成绩低于50分的有20人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第75百分位数为82 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值判断A，计算成绩低于50分的频率进而得到人数判断B，根据频率分布直方图的众数和百分位数的定义判断CD. 【详解】由频率分布直方图可知，解得，A说法正确； 成绩低于50分的频率为，所以成绩低于50分的有人，B说法错误； 最高矩形底边中点值为75，故这组数据的众数为75，C说法正确； 由于，， 所以这组数据的第75百分位数位于，设为， 则，解得，D说法正确； 故选：ACD 5. 已知正四棱台的高为，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，找到线面角，最后求出即可. 【详解】如图：分别为下、上底面的中心，连接，作交于点M， 由题可知： ，则， 又与平面所成角为，所以. 故选：D 6. 若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 7. 已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【详解】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 8. 如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可设，，，，再结合得，最后运用基本不等式可求解. 【详解】设，，，， 则，，，，. 所以， 当且仅当，时等号成立. 所以的最小值是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 10. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或相交，所以A错误； 对于B中，若，则或，又因为，则，所以B正确； 对于C中，因为，在平面内存在直线，使得， 又因为，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，因为，且，，所以， 又因为，且，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知点，，且点在直线上，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，将代入，化简得到，得到最小值；B选项，求出关于直线的对称点，最小值为；C选项，结合，得到，从而得到方程，由根的判别式得到方程无解，C错误；D选项，由两点间距离公式和得到方程，由根的判别式得到方程有解，D正确. 【详解】A选项，点在直线，故， 故， 故当时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，设关于的对称点为， 则，解得， 所以，连接，与相交于点， 此时取得最小值，最小值为，B正确； C选项，， 又，故， 令得，即， 由于，方程无解，故不存在点，使得，C错误； D选项，由得， 平方化简得， 又，故， 即，，方程有解， 故存在点，使得，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把数据排序，再分删除的数不同分别求出中位数即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3， 若删除的数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3， 若删除的数字是1或2或3，所得新数据的中位数是3.5， 故所求概率为. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】化弦为切求出，再由两角差的正切公式求解. 【详解】由得， 整理得， 即 解得， 所以. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意求出直线解析式，设出各点坐标，根据三点共线的斜率关系，求出各点坐标，表示出面积，根据基本不等式，求出面积的最小值； 【详解】如图所示： 由点，，得直线解析式为：， 设点，点， 由三点共线和点可知， 当时，，解得， 此时面积为， 令，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，，此时， 综上的最小值为. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 令，则， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 因，有，则， 可得， 故在上的值域为. 16. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． （1）求圆的方程； （2）设，点为圆上的动点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）设，则，， ， ，， ， ，为定值得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设坐标为，圆的方程为，将点，代入，求解即可. （2）设坐标为，根据两点间的距离公式，分别将，表示，再求出代入，化简即可. 【小问1详解】 设，圆的方程为，圆过，， ，，解得，， 圆的方程为. 【小问2详解】 略 17. 在中，角所对的边分别是，，，且，是边上一点，． （1）求角； （2）若，求线段的长； （3）若时，求角的大小． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得解； （2）利用余弦定理求出边即可； （3）在和中，分别利用正弦定理求出，进而可得出答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以； 【小问3详解】 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 则， 在中，由正弦定理得， 则， 所以，即， 所以， 由，可得，则， 所以， 所以或， 所以或. 18. 已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． （1）当时，求点的轨迹方程； （2）若点的“距离坐标”为，求点的坐标； （3）已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由，利用点M“距离坐标”的定义，结合点到直线距离公式列式求出轨迹方程. （2）设出点M的坐标，利用点M“距离坐标”的定义列出方程组求解即得. （3）设点，再求出点关于直线对称点的坐标，由光的反射定律结合向量共线的坐标表示求出，进而求出点的坐标即可得解. 【小问1详解】 由，得点M到直线，的距离相等，设点， 则，即，整理得或， 所以点的轨迹方程为或． 【小问2详解】 设点，依题意，，解得或或或， 所以点的坐标为. 【小问3详解】 设点，点关于直线对称点，关于直线对称点， 当时，，解得， 点，当时，满足上式，因此点， 当时，，解得，点， 当时，满足上式，因此点， 由光的反射定律知，点共线，由点在线段上，得， 而， 因此，解得，， 直线，由，得点， 则点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以点的“距离坐标”为. 19. 如图，在直三棱柱中，平面，为侧棱中点，为线段中点，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值； （3）若点在线段上，满足平面平面，求的值． 【答案】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，平面，所以，， 又平面，平面，所以， 以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 则，， 所以，， 又平面，平面，且与相交， 所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，根据线面垂直的向量法即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，根据二面角公式，即可求解； （3）设，可得，分别求出平面和平面的法向量，根据面面垂直的向量法，可得关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可解得，， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，可解得，， 故平面的法向量为， 设二面角为，则， 观察图象可得为锐角，所以，， 所以二面角的正切值为； 【小问3详解】 设，则，由（1）得，，， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可解得，， 故平面的法向量为， 因为平面平面，又由（2）得，平面的法向量为， 所以，即，解得. 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $