第三章函数的概念与性质章末综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章《函数的概念与性质》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D B C D C A ABD AB BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【解析】D要使得函数有意义，则，且， 解得或， 故定义域为． 2. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【解析】B 因为， 所以， 所以. 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意； 对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意. 4. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】B 若幂函数，则，解得或， 因当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件． 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 6. 已知函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【解析】D 由题意得，，解得， 因为为偶函数， 所以，即， 所以，解得， 所以， 所以． 7. 函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 对任意的、，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 【解析】ABD 对于A，的定义域为的定义域为，故不是同一函数； 对于B，的值域为的值域为，故不是同一函数； 对于C，，定义域都为，是同一函数； 对于D，的定义域为的定义域为，故不是同一函数． 10. 已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【解析】AB 对于A：由题意，解得，正确； 对于B：的定义域为，正确； 对于C：，所以函数为偶函数，错误； 对于D：为偶函数且在单调递增， 由得，解得或，错误. 11. 设函数，则（ ） A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【解析】BCD ， 画出的图象如下图所示， A选项，由图可知，不是的对称轴，A选项错误. B选项，若函数在上单调递减，由图可知， ，B选项正确. C选项，对， ，所以总成立， 所以C选项正确. D选项，当时，, 此时关于直线对称，所以， 成立. 当时，，成立. 当时，， ，成立. 综上所述，当时，，D选项正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则实数 ； 【解析】当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得. 综上所述，或1. 13. 偶函数的定义域为，且对于任意，，均有成立，若，则实数的取值范围为______． 【解析】因为对于任意，，均有成立， 所以在上单调递减，又为定义域为的偶函数， 所以在上单调递增， 不等式即，等价于， 即，即， 解得或，即实数取值范围为. 14. 若函数，且存在最小值，则a的取值范围为______． 【解析】若，，∴，符合题意； 若，当时，单调递增，当时，， 故没有最小值，不符合题目要求； 若，当时，单调递减，， 当时，， ∴或，解得. 综上所述，a的取值范围为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为，函数的值域为. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由，解得.所以， 当时，，所以值域， 故； （2）因为，所以， 显然， 函数的值域， 从而，即，解得， 故实数的取值范围是. 16. 已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 17. 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【解析】（1）由已知，， 又 所以； （2）当时，， 则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390， 故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式： （2）判断并用定义法证明在上的单调性： （3）解关于的不等式 【解析】（1）依题意，，即， 则，因此，，又，解得，则， 所以函数的解析式是. （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 由，得，，， 得，则， 所以函数在上单调递增. （3）由函数为奇函数及，得 又函数在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为. 19. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的值域； （3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【解析】（1）因为函数的图象过点，所以， 又因为，所以二次函数对称轴方程为，解得， 所以函数的解析式为：． （2）由（1）可知，， 分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为： 情形一：当，即时，函数在上单调递减， 所以此时有； 情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以此时有； 情形三：当时，函数在上单调递增， 所以此时有． 综上所述：，其值域为. （3）因为函数有两个不相等的不动点，且， 所以令，即方程有两个不相等的正实根， 所以，即，所以． ， 因为，所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章《函数的概念与性质》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 11. 设函数，则（ ） A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则实数 ； 13. 偶函数的定义域为，且对于任意，，均有成立，若，则实数的取值范围为______． 14. 若函数，且存在最小值，则a的取值范围为______． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为，函数的值域为. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 17. 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式： （2）判断并用定义法证明在上的单调性： （3）解关于的不等式. 19. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的值域； （3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $