精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

2025~2026学年度第一学期第一次考试 高一数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式，再根据集合交集运算即可求解. 【详解】由，可得， 所以，又 故 故选：. 2. 命题“”否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定，可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 4. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有（个）． 故选：B． 5. 设，，则下列条件可断定的是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质化简即可得解. 【详解】由可知，则，等价于“且”. 故选：A. 6. 已知集合满足，则实数的值是（ ） A. 0或 B. 1或 C. 0或或1 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的集合. 【详解】因为，且， 当时，符合题意； 当时，又，所以或，解得或， 综上可得实数的取值集合为. 故选：C. 7. 已知命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若原命题为真命题可得，则可得原命题为假命题时实数的取值范围. 【详解】若命题“是的必要不充分条件”是真命题，则， 由命题“是的必要不充分条件”是假命题，所以. 故选：A. 8. 已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 【答案】AB 【解析】 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素集合，故D错误． 故选：AB． 10. 若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，可得判定A错误，B正确；利用基本不等式，可得判定C正确；利用作差比较法，可判定D正确. 【详解】因为实数满足， 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D正确. 故选：BCD. 11. 2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（ ） A. 三项活动都没有参与的人数为15 B. 三项活动都参与的人数最多为47 C. 恰好参与一个活动的人数最少为21 D. 恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则下图阴影部分表示的集合是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可. 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 13. 已知，，则的范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，求出的值，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， ， ，解得， ， ，， ，， ， 即. 故答案为： 14. 已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【解析】 【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可. 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 16. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【解析】 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 17. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数取值范围是． 18. 某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． （1）设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； （2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得关于关系式，并给出的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最大值. 【小问1详解】 依题意，，，得， ，而，所以. ，， 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立. 所以当时，取得最大值为. 19. （1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：已知正数a，b满足，求的最小值.其中的一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指出等号成立的条件; （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出M取得最小值时m的值. 【答案】（1）函数的最小值为，此时； （2），当且仅当且同号，即时等号成立； （3）M的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）把函数表达式变形，利用基本不等式求最小值. （2）利用“1”的代换，可得，结合基本不等式可比较和的大小. （3）利用换元法，令，，可得，结合（2）的结论求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴当时，函数的最小值为. （2）由题意得， ， ∵，当且仅当时等号成立， ∴， ∴，当且仅当且同号，即时等号成立. 此时满足. （3）令，，则，即，构造，此时，. ∵， ∴，，， 由（2）得，，当且仅当时取等号， ∵， ∴， ∴，解得， 故M的最小值为，此时. 【点睛】思路点睛：本题考查基本不等式求解最值，具体思路如下： （1）函数通过凑项可变形为，利用基本不等式求解即可. （2）利用“1”的代换，可得，根据基本不等式可得，结合基本不等式的性质可得. （3）利用换元法，令，，，可得，结合（2）的结论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第一次考试 高一数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 5. 设，，则下列条件可断定的是（ ） A 且 B. 或 C. 且 D. 或 6. 已知集合满足，则实数的值是（ ） A 0或 B. 1或 C. 0或或1 D. 0或 7. 已知命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 10. 若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（ ） A. 三项活动都没有参与的人数为15 B. 三项活动都参与的人数最多为47 C. 恰好参与一个活动的人数最少为21 D. 恰好参与两个活动的人数最多为94 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则下图阴影部分表示的集合是________． 13. 已知，，则的范围为______. 14. 已知，，且，则的最小值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，，求，. 16. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 17. 已知集合 （1）若，求实数取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． （1）设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； （2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 19. （1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：已知正数a，b满足，求最小值.其中的一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指出等号成立的条件; （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出M取得最小值时m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $