精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

南阳一中高二年级2025年秋期第一次月考 数学学科试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 2. 已知直线，圆C：，当直线与圆C有交点时，b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径求解即可. 【详解】直线，圆C：，当直线与圆C有交点时，则圆心到直线的距离 ,解得：. 故选：D 3. 已知两条不重合直线和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】由，则，解得或， 当时，的方程均为，故重合，不符题意； 当时，：，：，两者平行，符合题意，故C正确. 故选：C. 4. 直线l经过，两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率的定义得到，根据倾斜角，求出答案. 【详解】因为两点横坐标不同，故倾斜角不为， 由题意得， 因为，所以. 故选：B 5. 已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和的方程得到点为以为直径的圆上的点，然后根据三角形面积公式得到当点到直线的距离最大时，的面积最大，然后求最大值即可. 【详解】 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以， 所以点为以为直径的圆上的点， ，中点为， 则点的轨迹方程为， ， 所以当点到直线的距离最大时，的面积最大， ，直线的方程，即， 设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为， 则， 所以的面积最大值为. 故选：B. 6. 已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出a，设出点F2坐标，由给定弦长求出b即可得解. 【详解】依题意，由椭圆定义得，即， 令椭圆：的半焦距为c，则F2(c，0)，直线AB：x=c， 由得，于是得，则， 所以椭圆的方程为. 故选：C 7. 若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上三项都不对 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可画出曲线的图象，然后对点在图象上的运动情况分情况讨论，求出相应的的斜率，从而可求得相应的倾斜角范围，即可求解. 【详解】由题意可得对于曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 可画出下图，，，，，， 当点位于点处时，此时，则倾斜角为； 当点在正方形（不包含点）上运动时，此时， 则倾斜角； 当点在上运动时，此时，倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角取值范围为，故A、B、C错误，D正确. 故选：D. 8. 三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】设出点C的坐标，结合欧拉线求出外心坐标，再由重心在欧拉线上及三角形外心的意义列出方程求解，然后利用充分条件、必要条件的意义判断作答. 【详解】若的欧拉线方程为，设点，则的重心为，显然点在直线上，于是得， 直线的斜率为2，线段的中点，则线段的中垂线方程为，即， 由得的外心，即有，因此， 解得或，于是得点C的坐标为或； 当C的坐标为时，的重心为，外心为，因此的欧拉线方程为， 所以“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的必要不充分条件. 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分、、、四种情况讨论，结合正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D. 【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确. 故选：AD. 11. 已知圆与轴交于（原点）,两点,点是圆上的动点,,则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. D. 令,则存在两个不同的点,使 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的方程,得圆心与半径.通过可判断项;通过向量的坐标运算与一元二次函数的最值求法，可判断项;通过对向量投影的范围运算,结合向量数量积的几何意义可判断项;若,且,则三点共线,通过对直线与圆的位置关系的计算可判断项. 【详解】圆的圆心为半径故正确； 由题知 当时,取得最小值为故错误； 根据向量投影的几何意义,知在方向上的投影的取值范围为故正确； 若,且,则三点共线. 直线的方程为圆心到直线的距离为 所以直线与圆相交,故存在两个不同的点,使,故正确. 故选：. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若表示椭圆，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程列不等式，解不等式即得答案. 【详解】将原方程变形： ， 依题意，需满足：    ， 解得：. 故答案为： 13. 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式以及直线方程代入化简，解出k，得到斜截式，再化为一般式即可. 【详解】由两点间的距离公式得， 由于A，B在直线上，则，， 代入化简得 ， 所以 ，解得 ， 所以直线 的斜截式方程为： 或， 化成一般式为：或， 故答案为：或. 14. 已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出直线所过定点，设点，由⊥得到点轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而得到的最大值为，得到答案. 【详解】变形为， 令，解得， 故恒过点， 设点，则⊥， 即， 整理得， 所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又，即在圆外， 则的最大值为. 故答案为：6 四、解答题（共77分） 15. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，利用距离公式求出，即可得到圆心坐标与半径，从而得解； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出交点坐标，即可得到弦长，斜率存在，设斜率为，利用圆心到直线的距离求出参数的值，即可得解. 【小问1详解】 解：设圆心为， 依题意有，解得或（舍去）， ，则， 故圆的标准方程为 【小问2详解】 若斜率不存在，则，代入圆方程得， 解得或，，符合题意； 若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为， 即，所以，，即 综上，所求直线的方程为或. 16. 已知的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点. （1）求点的坐标； （2）求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由直线的方程可得它的斜率，可得直线的斜率，可得直线的方程，因为是和的中线的交点，联立两条直线求出点的坐标，进而求出，的中点的坐标； （2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，设直线的方程，将的坐标代入求出参数的值，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 解：因为，而直线：的斜率为， 所以直线的斜率为，即直线的方程为：， 即， 所以点在直线与边上的中线的交点， ，解得，， 所以顶点的坐标， 而为线段的中点，所以， 即的坐标； 【小问2详解】 解：当直线经过原点时，设直线的方程为， 将的坐标代入可得，解得， 这时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将代入可得， 解得， 这时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或. 17. 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. （1）若，求的值及与之间的距离； （2）若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线平行斜率相等可得，再由两平行线间的距离公式计算可得结果； （2）由可得点是线段的中点,求得点坐标并利用直线的点斜式方程可得直线的方程. 【小问1详解】 直线的斜率， 因为，所以直线的斜率存在，设为，且. 即，所以，解得. 将代入直线得，即， 所以与之间的距离为. 【小问2详解】 若，则， 由可知，点是线段的中点， 设，所以点关于的对称点， 因为点在直线上， 把点代入方程，即， 解得， 所以， 可得直线斜率，所以直线的方程为，即， 所以直线的方程为. 18. 已知圆与圆 （1）若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; （2）若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; （3）若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】（1）； （2）； （3），，. 【解析】 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）求出公共弦所在直线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【小问1详解】 圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. 【小问3详解】 当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 19. 已知方程：（）表示的图形是圆. （1）求t的取值范围； （2）求圆心的轨迹方程； （3）求其中面积最大的圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由可得t的取值范围； （2）设圆心坐标为，则，进行坐标替换即可得所满足的等式关系，即可得圆心的轨迹方程； （3）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而得符合的圆的方程. 【小问1详解】 原方程可整理为. 则，解得. 【小问2详解】 设圆心坐标为，则，由得. 消去t可得，此即为圆心的轨迹方程， 【小问3详解】 求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大， 则，. 所以当时，的最大值为，此时圆的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中高二年级2025年秋期第一次月考 数学学科试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 已知直线，圆C：，当直线与圆C有交点时，b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合直线和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 直线l经过，两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 20 6. 已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上三项都不对 8. 三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11. 已知圆与轴交于（原点）,两点,点是圆上的动点,,则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. D. 令,则存在两个不同的点,使 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若表示椭圆，则实数的取值范围为______. 13. 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 14. 已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是______． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 16. 已知的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点. （1）求点的坐标； （2）求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程. 17. 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. （1）若，求的值及与之间的距离； （2）若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 18. 已知圆与圆 （1）若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; （2）若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; （3）若r=1，求圆与圆的公切线方程. 19. 已知方程：（）表示的图形是圆. （1）求t的取值范围； （2）求圆心的轨迹方程； （3）求其中面积最大的圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $