精品解析：河南省许昌市百师联盟2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题

2025-2026学年度高二9月联考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 4. “直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为．若，则（ ） A. 2 B. 6 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，为单位向量，则 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量满足，则 11. 已知正方体的棱长为2，点，分别是的中点，点在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角的正弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______． 13. 在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为______时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是______． 14. 在正方体中，，动点满足．当时，______；当时，的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行六面体中，，，，，． （1）求； （2）求证：； （3）求的长． 16. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 17. 如图，在四面体中，与都是等边三角形，，． （1）求证：； （2）若E为AD的中点，求平面BCD与平面BCE夹角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面，且． （1）若点为上靠近点的三等分点，证明：平面； （2）若点为上一点（不包含端点），从下面条件①②③中选取两个作为已知，证明另一个成立． ①；②；③直线与平面所成角的正弦值为． 注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求直线与底面ABC所成角大小． （3）求点C到侧面的距离． （4）在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二9月联考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用数量积的坐标运算和模的坐标运算求得，，然后代入投影向量模的公式求解即可. 【详解】由向量，，得，， 则在上的投影向量的模为． 故选：A． 2. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可. 【详解】对于A，因为，不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，，故A正确； 对于B，由法向量与方向向量的定义得，或，故B不正确； 对于C，因为，为平面的法向量，所以，故C不正确； 对于D，由平面法向量与平面的位置关系可得，，故D不正确． 故选：A． 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案. 【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等． 又，则，又，所以， . 故选：A 4. “直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线与直线平行可得或，再根据充分条件和必要条件定义进而可判断. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或． 当时，两直线分别为，，不重合满足题意； 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 故由直线与直线平行可得或， 所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以. 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，可证明两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】由题意知，平面平面，如图，连接． 因为四边形是菱形，是的中点，所以， 又平面平面平面，所以平面， 又平面，所以，从而两两互相垂直． 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 令，则，，，，，， 则，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故选：A． 6. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析直线的斜率不存在、斜率小于零、斜率等于零或斜率大于零四种情况，可得到满足题意的直线方程. 【详解】如图，设，直线过和． ①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在； ②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以， 所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为， 方程为，即； ③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零； ④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形. 设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得， 所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 故选:A． 7. 《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：可建立适当空间直角坐标系后表示出各点坐标，从而得到，再借助空间向量数量积公式计算即可得；法二：借助向量线性运算可用、、为基底表示，从而结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 8. 已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为．若，则（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得函数的图象关于直线对称，再根据单调性的性质得函数在单调递增，在单调递减．数形结合得，由得，即，最后由两点式斜率公式求解即可. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称． 因为函数在都单调递增，在都单调递减， 所以函数在单调递增，在单调递减． 所以直线与的图象只有两个交点，即点和点． 又，所以． 设，则，， 由题意得，所以，所以． 设直线与交点为， 所以，则，即， 所以直线经过点， 所以． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，为单位向量，则 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量满足，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相反向量的定义判断B；根据正方体可得四边形是矩形，进而判断C；举例判断D. 【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知正方体的棱长为2，点，分别是的中点，点在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角的正弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】空间向量法求解两直线所成角，点到面的距离，两平面之间的距离，点到直线的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，， 所以，． 对于A，设与所成角，则，．故A错误． 对于B，因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面． 所以平面的一个法向量，， 则点到平面的距离．故B正确． 对于C，因为，所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面平面，所以平面， 同理，平面，平面，所以平面平面． 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离． ． 设平面的法向量为，则所以 令，所以，所以点到平面的距离． 所以平面与平面间的距离为．故C错误． 对于D，因为，所以，则． 所以点到的距离．故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，设的中点为，连接，由空间向量的运算结合四点共面定理代入计算，即可得到结果. 【详解】如图，设的中点为，连接． 因为点为的重心，所以点在线段上． 因为 ， 所以， 所以． 若四点共面，则，解得． 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为______时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是______． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】设、，，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率． 【详解】设， 则直线， 将代入得， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，， 所以直线的斜率时， 的面积最小，最小值为8， 故答案为：，8． 14. 在正方体中，，动点满足．当时，______；当时，的取值范围是______． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，根据正方体的性质和已知条件得出各点坐标，从而得出相应向量坐标，再利用向量乘法、加减法的运算法则及向量模长公式计算求解． 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ， 当时，， ． ， ， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为2， 当或，时，取得最大值，最大值为， ． 故答案为：0；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行六面体中，，，，，． （1）求； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1）3 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为0得出垂直； （3）由，再平方计算模长即可. 【小问1详解】 解：. 【小问2详解】 证明：因为， ， 所以． 【小问3详解】 解：因为， 所以， ． 所以，所以． 16. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由的平分线所在直线的方程为，可设，利用AB中点在中线上可得，然后可得点关于直线对称的点的坐标，据此可得直线的方程； （2）由，可得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点A到直线的距离，据此可得答案. 【小问1详解】 如图，由点在直线上，设，又， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即． 显然在直线上，则直线的斜率， 则直线的方程为，整理得． 【小问2详解】 点到直线的距离． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则，解得或8， 所以直线的方程为或． 17. 如图，在四面体中，与都是等边三角形，，． （1）求证：； （2）若E为AD的中点，求平面BCD与平面BCE夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，由线面垂直的判定定理证明⊥平面，进而证明； （2）以为原点建系，由面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接． 因为与都是等边三角形，为的中点，所以． 又平面，所以平面． 又平面，所以． 【小问2详解】 因为与都是等边三角形，，为的中点， 所以，又，所以，即． 又，所以两两互相垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由，得， 所以． 设平面的法向量为，则即令，得， 即平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则即令，得， 即平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面，且． （1）若点为上靠近点的三等分点，证明：平面； （2）若点为上一点（不包含端点），从下面条件①②③中选取两个作为已知，证明另一个成立． ①；②；③直线与平面所成角的正弦值为． 注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 证明：如图，记与交于点，连接， 因为， 又因为, 所以， 所以， 所以点为上靠近点的三等分点． 因为点为上靠近点的三等分点， 所以在中，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 方法一：选择①②作为条件，证明③： 因为，所以， 因为平面， 所以，则，所以， 则以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 从而， 因为，所以， 则的坐标为， 设平面的法向量为， 则即 则，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，故③成立． 方法二：选择①③作为条件，证明②： 因为， 所以， 设， 因为平面，所以， 则以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因此， 因为， 所以， 则的坐标为， 设平面的法向量为， 则即 则，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得（负值舍去）， 则，故，②成立． 方法三：选择②③作为条件，证明①： 因为， 所以， 因为平面， 所以，则， 所以， 则以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因此， 设， 则的坐标为， 设平面的法向量为， 则即 则，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得（负值舍去），则，①成立． 【解析】 【分析】（1）记与交于点，连接，因为，结合得出，从而，点即为上靠近点的三等分点．而点为上靠近点的三等分点，得出，又因为平面，平面，从而得证. （2）劣构型试题，选择其中两个为条件，结合题给条件，建立空间坐标系，证明第三个. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求直线与底面ABC所成角大小． （3）求点C到侧面的距离． （4）在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） （4）存在，. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用数量积即可得证； （2）由（1）可知，为平面的一个法向量，利用夹角公式即可求解； （3）求平面的法向量为，利用即可求解； （4）假设存在满足条件的点，则存在，使得，利用夹角公式，结合直线DE与侧面所成角的正弦值为即可求解. 【小问1详解】 证明：点在底面上的射影为的中点， 平面． 平面，． 又底面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点， ． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 是以为斜边的等腰直角三角形，． 在中，有． ， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知，为平面的一个法向量，即． 又，设与平面所成角为， 则． 直线与底面所成角为； 【小问3详解】 由（1）可知，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 则， 则点到侧面的距离； 【小问4详解】 假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则． 由（3）知，平面的一个法向量为． 直线与侧面所成角的正弦值为， ， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $