精品解析：云南省文山州文山市第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

文山市第一中学高二年级9月月考 数学试卷 本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 直线，若的倾斜角为60°，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 曲线关于直线对称 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，且l2过点A(-2，-1)和B(3，a)，则a的值为_____. 13. 在长方体中，设，，则_______. 14. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 16. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，． （1）用，，表示； （2）求AC1的长． 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 18. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文山市第一中学高二年级9月月考 数学试卷 本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式确定B，再利用交集的概念计算即可. 【详解】， 又，所以. 故选：D 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出． 【详解】， 所以，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，且，所以，解得， 故选：B. 4. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 5. 直线，若的倾斜角为60°，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线,斜率乘积为， 斜线斜率等于倾斜角的正切值. 【详解】,，所以. 故选：D. 6. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2）， ∴点A到直线BC的距离为： d＝ ＝1×＝． 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题. 8. 长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出点的位置坐标，然后根据向量的夹角求出的最大值即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 因为向量是平面的一个法向量， 所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以当时，取最小值为. 此时取最大值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 曲线关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简，根据正弦型三角函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由条件可得， 选项A：的最小正周期为，故A正确； 选项B：令，解得， 所以无论k取任何整数，x都不能为，故B错误； 选项C：的最大值为，故C正确； 选项D：令，解得， 令，解得， 所以直线为的一条对称轴，故D正确. 故选：ACD 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，且l2过点A(-2，-1)和B(3，a)，则a的值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据直线上的两点求得直线的斜率，再由两直线平行其斜率间的关系建立方程可得答案. 【详解】由题意，得，即a=4. 答案:4. 【点睛】本题考查由两直线的位置关系求参数的问题，属于基础题. 13. 在长方体中，设，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】 选取为基底，把其它向量都用基底表示后计算． 【详解】如图， 由题意 ． 故答案为-1． 14. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 16. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，． （1）用，，表示； （2）求AC1的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量加法法则得，由此能求出结果． （2）由即可求出AC1的长． 【小问1详解】 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， ，，， ． 【小问2详解】 AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， ． . AC1的长||. 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，平面， 所以 ， 又由题可知，， ，平面 且， 所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明； (2)建系，利用空间向量的坐标运算可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴建系如图， 由，，可得， 则有 设平面的一个方向量为 ， 所以 即 令则， 所以 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以，， 即二面角的余弦值等于. 18. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）易知，又，过作于， 由面面，面面面， 所以面， 过作，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $