重难点04 含参不等式求解的四类综合题 讲义（上海市适用）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点04 含参不等式求解的四类综合题 题型一、讨论参数的取值确定解集 【名师点拨】讨论参数的取值确定解集，分类讨论一般需要注意以下两方面： （1） 的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况； （2） 讨论含参数的根与其他根的大小关系。 对含参的一元二次不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类和讨论步骤有： 1、对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解； 2、对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况并加以讨论； 3、若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a(x－x1)(x－x2)的形式时，往往需要对其根分x1>x2，x1＝x2，x1<x2三种情况进行讨论或用根与系数的关系帮助求解； 【例1】（2024上海徐汇中学高一期中）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 【提示】注意理解与体验一元二次不等式的基本步骤与解法； 【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， ①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1. ③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或x＜. 综上， 当0＜a＜1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为∅， 当a＞1时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}， 当a＜0时，不等式的解集为； 【例2】（2024闵行中学高一期中）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式等价于，然后分和的大小关系，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可. 【解析】等价于 当时，或，； 当时，或，； 当时，，. 综上所述：或，无解； 当或时，解集为； 当时，解集为. 【例3】（2023闵行区莘松中学高一期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据绝对值的性质（或定义）求解． 【解析】解：当时，不等式的解集为． 当时，原不等式等价于， 所以或， 综上所述，当时，原不等式的解集为． 当时，原不等式的解集为． 【跟踪训练】 1.（2024上海高一课时作业）解下列关于的不等式： (1). (2). 【解析】(1)若,则原不等式等价于,解得; 若,则原不等式等价于,解得或; 若,则原不等式等价于(1) (i)当时,不等式(1)的解集为; (ii)当时,不等式(1)的解为; (iii)当时,不等式(1)的解为. 综上所述,当时,解集为或;当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为 (2)若,则原不等式等价于,解得;若,则. (i),即时,不等式的解为; (ii),即时,原不等式等价于,此时无解；若,即时,不等式的解集为. 若,则,不等式的解为或. (ii),即时,原不等式等价于,此时无解；若,即时,不等式的解集为. 若,则,不等式的解为或.综上所述,当时,解集为;当时,解集为; 当时,解集为 当时,解集为. 2.（2024上海高一课时作业）解关于的不等式 【解析】等价于,等价于 (i)当时,原不等式化为且,即; (ii)当时,原不等式化为 若,即,原不等式化为此时无解; 若,即,解集为; 若,即,解集为. (iii)当时,原不等式化为 若即,原不等式化为此时无解. 若,即,解集为或; 若,即,解集为或. 3.（2024上海高一课时作业）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】变换得到，考虑，，三种大情况，再考虑，，三种小情况，解不等式得到答案. 【解析】因为，则，即，等价于， 当时，，解得； 当时，解得； 当时，， ①当，则，不等式解集为； ②当，则，不等式解集为； ③当，则，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 4.（2020年上海华东师范大学附属东昌中学高一课时练习） 【答案】 【解析】不等式两边平方得，(x-1)2>(x-a)2，整理得，2(a-1)x>a2-1, 当a=1时，不等式无解，所以原不等式的解集为空集Ø； 当a>1时，不等式的解集为； 当a<1时，不等式的解集为； 故原不等式的解集为. 题型二、给定解集确定参数的取值 【名师点拨】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他方程、函数、不等式的解集时，一般遵循： （1）)根据解集来判断二次项系数的符号； （2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解； 【例4】（2024学年闵行中学高一上期中） 若关于的不等式的解集是，则________ 【答案】 【分析】 根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求解出结果即可． 【详解】解：由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与， 由韦达定理可得：，解得：，， 故答案为：． 【例5】 （2024-2025学年洋泾中学高一上期中）定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式，并求出解集区间的长度，再从分类讨论解不等式，结合题意即可得出答案. 【详解】由，得且， 由得，解得， 由得，解得或， 所以不等式的解集为， 此不等式解集的长度恰好为， 由得， 当时，此不等式的解集为空集，舍去； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得， 综上所述，实数t的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分别解不等式和是解决本题的关键. 【例6】（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）若不等式的解集为，则实数 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式去掉绝对值符号化为，分，解不等式，由不等式的解集列方程可得的值. 【详解】解：不等式解集为，则，所以， 当时，不等式的解为，所以，解得不符合，舍去； 当时，不等式的解为，所以，解得符合. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）关于的不等式的解集为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，进而求得. 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 2.（2024上海市嘉定区中光高级中学期中）若不等式的解集是（2，3），则的解集为（ ） A． B．（2，3） C． D． 【答案】D 【分析】 由已知可得方程的两个根为2和3，从而可求出，则不等式可化为，进而可求出不等式的解集 【详解】 因为不等式的解集是（2，3）， 所以方程的两个根为2和3， 所以，得， 不等式可化为，即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 3.（2022-2023学年曹杨第二中学高一上期中）设、，若关于的不等式的解集为，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】化简不等式，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，列关系式求，即可. 【详解】不等式可化为或， 因为不等式的解集为，所以方程的解为，不等式的解集为， 所以， ，是方程的解， 所以，，所以，所以， 故答案为：0. 4.（2024上海高一课时作业）已知<1的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a的值为 ． 【答案】； 【解析】∵<1，∴<0，即[(a－1)x＋1](x－1)<0， 又∵不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，∴a－1<0，∴(x－1)>0， ∴－＝2，∴a＝. 5.（2024上海高一课时作业）已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据得到时不等式不成立，即或，然后解不等式和方程即可. 【解析】因为，所以或，即或，解得或. 故答案为：或. 6.（2024上海高一课时作业）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中不正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为（-） ，+） 【答案】C 【解析】∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确； 且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确． 7.（2024上海高一课时作业）若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是 【答案】 【解析】当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2， 当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意； 当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集. 当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则有解得－2＜a＜. 综上，实数a的取值范围是. 8.（2024上海高一课时作业）不等式的解集中的整数有且仅有，，，则的取值范围是_______ 【答案】，解集中的整数有且仅有，，，故要满足 ，则的取值范围是 9.（2023学年控江中学高一上期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 题型三、不等式求解与集合综合 【名师点拨】不等式解集间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. （3）关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解. 易错警示：B⊆AA≠∅，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 【例7】（2022-2023学年曹杨第二中学高一上期中）设，集合.若为单元素集，则（ ） A. 实数既有最大值，也有最小值 B. 实数有最大值，无最小值 C. 实数无最大值，有最小值 D. 实数既无最大值，也无最小值 【答案】B 【解析】 【分析】由题得或，再对分两种情况讨论，利用零点存在性定理结合条件即得. 【详解】由题可知， 所以或， 令， 当时，因为，， 则为单元素集， 所以； 当时，因为，， 所以， 解得， 所以； 综上，或； 所以，无最小值. 故选：B. 【例9】(上海复旦附中高一课时练习)已知不等式的解集为M． (1)当a=4时，求解集M； (2)若3∈M,5∉M,求实数a的取值范围． 【答案】(1);(2). 【解析】(1)因为a=4,所以不等式为，可化为(4x-5)(x2-4)<0 根据数轴标根法，可得不等式的解集为； (2) 若3∈M,则有，① 若5∉M，则有，② 联立①②可得. 【跟踪训练】 1.（2022-2023学年上海中学高一上期中）已知全集，，，且，求a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根的分布求解， 【详解】由得，而， 当时，由得， 当时，对于有， 则解得， 综上，a的取值范围是． 2.（2024上海高一单元测试）设关于的不等式和的解集分别为和. （1）求集合； （2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）不存在；理由见解析；（3）. 【分析】 （1）解一元二次不等式能求出集合． （2）由，根据和分类讨论，得到不存在实数，使得． （3）由，根据和分类讨论，能求出实数的取值范围． 【详解】 解：（1）不等式可化为， 解得或，所以不等式的解集为或； （2）当时，不等式化为，此时不等式无解， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式化为，此时不等式无解， 当时，，不等式的解集为， 综上所述：当或时，， 当或时，， 当时，， 要使， 当时，，， 或，无解， 当时，，，，，无解， 故不存在实数，使得． （3），当时，，或，即， 解得 或， 此时实数的取值范围是，，， 当时，或，即， 解得， 此时，实数的取值范围是． 【点睛】 本题考查含参一元二次不等式的解法，解含参一元二次不等式需分类讨论，首先判断二次项系数是否为零，再对所对应的一元二次方程的根进行分类讨论； 3.（2024上海高一课时作业）（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）. 【分析】（1）根据题意，分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）化简不等式为，转化为且，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. （3）由（1）得，根据中有且只有三个元素，结合不等式的解集，分类讨论，得出不等式组，即可求解. 【解析】（1）当时，不等式可化为无解，满足题意； 当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去； 当时，要使得不等式的解集为， 则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围是. （2）由不等式，可得， 即且， 当时，不等式等价于，解得； 当时，由， 不等式且的解集为， 当时，且， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）由（1）得， 当中有且只有三个元素，显然不可能， 当时， 因为，不合题意，舍去， 当时，， 因为中有且只有三个元素，所以，，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤： （1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式； （2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数； （3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 题型四、不等式求解与常用逻辑用语综合 【名师点拨】不等式解集间存在逻辑关系求参数： (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 【例10】（2022-23）控江中学度高一上期中）设为实常数，.若是的必要非充分条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论解不等式，再通过是的必要非充分条件列不等式求实数的取值范围. 【详解】对于， 当时，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综合得 即， 对于，变形得， 解得或 即：或 因为是的必要非充分条件 可得，解得 即实数的取值范围为 故答案为： 【跟踪训练】 1.（2024奉贤中学高一期中）已知，（），若是成立的必要非充分条件，则实数的取值范围是_________ 【答案】绝对值不等式， 一元二次不等式 是成立的必要非充分条件，则而，即，故有，得 2.已知全集，非空集合， (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)当代入两个集合，分别求解集合，再求； （2）由条件可知，，分情况讨论集合，再利用子集关系，列不等式求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 或，． （2）由q是p的必要条件，即，可知， 由，得． ①当，即时，，再由， 解得． ②当，即时，，不符合题意； ③当，即时，，再由， 解得：． 综上，． 一、单选题 1．（2024复兴高级中学高一期中）若关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论m是否为0，时结合判别式列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，即，解集是， 当时，不等式的解集是， 需满足，解得， 综合可得m的取值范围是， 故选：B 2.（2024奉贤中学高一期中）已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为（ ） A． B． C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 【答案】A； 【解析】因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}， 所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1， 则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－1<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为. 3.（2023延安中学高一期中）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m<n)，有下列四个结论： 甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0. 如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，所以ac<0，符合题意； 假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意． 4．（2024松江二中高一期中）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，求得一元二次不等式的解集，结合端点的大小列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：C. 5.（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知关于x的不等式组 仅有一个整数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对实数与的大小进行分类讨论，解原不等式组，确定解集中的整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由可得或， 由可得， 当时，不等式即为，该不等式无解； 当时，不等式的解集为， 此时，原不等式组的解集为，则，， 所以，，解得； 当时，不等式的解集为， 由题意可知，，所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 6．（2021·上海市金山中学高一月考）若不等式的解集为，则___________. 【答案】28 【分析】 根据根与系数的关系即可求得. 【详解】 由题意，方程的两根为，则 故答案为：28. 7. （2024-2025学年上师大附中高一上期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的解集求出的关系，再把不等式化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可． 【详解】因为不等式的解集为， 所以 和是的两根，且， 所以即， 所以可化为， 所以， 解得. 故答案为： 8.（2022秋·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考期中）已知关于的不等式的解集为，则 . 【答案】16 【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答. 【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根， 则有，解得，所以. 故答案为：16. 9.（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】-10 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可求a，b的值，进而得解． 【详解】依题意有，得，所以． 故答案为：-10. 10.（2022秋·上海徐汇·高一校考期末）若关于的不等式的解集为，则实数的值是 【答案】 【分析】由条件可得方程的两根为，然后根据韦达定理可得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 由韦达定理得，所以. 故答案为： 11.（2021·上海高一专题练习）若不等式的解集是{x|-1≤x<5}，则a的值为____. 【答案】5 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式，然后利用不等式的解集求得参数的结果. 【详解】 原不等式等价于(x+1)(x-a)≤0且. 因为不等式的解集为{x|-1≤x<5}， 所以( x-5) (x+1)≤0，且x≠5， 故a=5. 故答案为：5. 12.（2024奉贤中学高一期中）关于的不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是________. 【解析】 【解法1】设.判别式或. (i)当时,对称轴为,又. 故有 (ii)当时,对称轴为,又, 故有 综上,的取值范围是或. 13.（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）关于不等式组的整数解的集合为，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 14.（2022秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知，先求解不等式的解集，然后再对不等式进行转化，通过讨论，和三种情况，分别列式作答即可. 【详解】由已知，不等式的解集为， 不等式可转化为， 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，得，解得， 当时，不等式的解集为，不满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 15.若不等式的解集是{x|-1≤x<5},则a的值为　　　　.  【答案】5 【解析】原不等式等价于(x+1)(x-a)≤0. 因为不等式的解集为{x|-1≤x<5}, 所以( x-5) (x+1)≤0,且x≠5, 故a=5. 16.关于x的不等式的解集是{x|≤x<2},则a的值为　　　　.  【答案】3 【解析】原不等式等价于(x-2)(3x-a-2)≤0. 因为不等式的解集为{x|≤x<2}, 所以( x-2) (x-)≤0,且x≠2, 故=. 故a=3. 17.(2024上海奉贤中学高一月考)已知集合A=，若1∉A,则实数a的取值范围是 . 【答案】. 【解析】因为1∉A,原不等式等价于(1-a)(1+a)≥0，且1+a≠0,或1+a=0，则有-1≤a≤1. 18.已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3},则a的值是　　　　.  【答案】 【解析】原不等式等价于(x-1)[(a-1)x+1]<0. 因为不等式的解集为{x|x<1或x>3}, 所以( x-3) (x-1)>0. 即. 故a=. 19．已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分、、、四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【解析】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 20．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得的范围. 【解析】由不等式，即，解得或， 解方程，解得或， 1.若，即时，不等式的解集为，不合题意； 2.若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得； 3.若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 21.已知不等式有解，则实数的取值范围是_________ 【答案】方法一：，故 方法二：当时，； 当，； 当时，，分段函数图像如下： 由图像知：有解，则 22.已知不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】，故 23.若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为不等式在上恒成立，求解即可. 【解析】由题意，不等式在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 三、解答题 24．解关于的不等式: . 【答案】答案见解析 【分析】分成，，，，几种情况分别讨论不等式的解集； 【详解】原不等式可化为.. （1）当时，有. （2）当时， 式，∵， ①当时，，∴. ②当时，，，此时解集为. ③ 当时，.∴. （3）当时，式，∵，∴.∴或. 综上所述，原不等式的解集为: 当时，为或； 当时，为； 当时，为； 当时，为； 当时，为. 25．解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】先将不等式左边因式分解，再分类讨论与的大小，从而得解. 【详解】因为可化为， 当时，不等式可化为，则不等式解集为； 当时，可化为， 当，即时，可得不等式解集为； 当，即时，可得不等式解集为； 当，即时，可得不等式解集为； 当时，可化为， 此时显然，可得不等式解集为； 综上：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 26.解关于的不等式 【解析】(i)当.时,原不等式可化为不等式的解集为. (ii)当时,原不等式可化为. 当时,原不等式可化为不等式的解集为; 当时,原不等式可化为, 若,即时,不等式的解集为或; 若,即时,不等式可化为则不等式的解集为; 若,即时,不等式的解集为或. 综上,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为; 当1时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为或. 27.解不等式. 【解析】将不等式移项,通分,得.① 不等式(1)同解于不等式② (i)当时,不等式(2)可化为,则原不等式的解集为. (ii)当,即时,不等式(2)可化为. 下面比较与2的大小关系. ,又,即 当时,原不等式的解集为或. (iii)当时,不等式(2)可化为. 则原不等式的解集为. (iv)当时,原不等式的解集为. (v)当时,不等式(2)可化为. 则原不等式的解集为. 综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为当时,原不等式的解集为;当1时,原不等式的解集为或. 28．已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）根据由不等式的解集为或，根据三个二次之间的对应关系，易得的值； （2）原不等式可化为，分类讨论即可求出答案． 【详解】（1）因为不等式的解集为或 所以的根为. 时，； 所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，，即， 即， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 综上，时，不等式的解集为，时，，不等式的解集为，时，不等式的解集为. 29．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程的关系求解； （2）不等式左边分解因式后，根据的大小关系分类讨论即可得解. 【详解】（1）由题意知方程的两个根为和， 所以 解得 （2）当时，， 即， 当，即时，解得； 当时，解得； 当，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 30.（2021·上海高一专题练习）已知关于的不等式. （1）当时，求此不等式的解集； （2）当时，求此不等式的解集. 【答案】（1）；（2）当，解集为；当，解集为空集；当，解集为. 【分析】 （1）当时，不等式即，变形可得，解得的取值范围即可得答案； （2）原不等式变形可以转化为，对的值分3种情况进行讨论，求出不等式的解集，即可得答案． 【详解】 （1）根据题意，当时，不等式即， 变形可得，解可得， 即该不等式的解集为； （2）根据题意，不等式：即， 则有， 又，不等式可以变形为 分3种情况讨论： ①，时，不等式的解集为，； ②，当时，不等式为，解集为空集； ③，当时，不等式的解集为． 【点睛】 本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式转化为整式不等式求解，考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想的应用，属于基础题． 31.（2020·上海市张堰中学）已知不等式的解集为. （1）求m、n的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据一元二次不等式的端点为对应方程的解，代入即可得解； （2）由的值解分式不等式，即可得解. 【详解】 （1）由题意可得，所以， 不等式为， 解得，所以， 综上可得：； （2）由可得， 即 ，可得， 即解集为：. 32．（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式； （3）已知关于的不等式的解集与整数集满足，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3） 【分析】（1）将不等式，转化为，分，， ，，，，讨论求解. （2）将不等式，转化为，分，，，讨论求解. （3）根据，令，易知开口向上，由求解. 【解析】（1）由， 得，即 ， 所以， 当时， ，不等式化为，解得或 ； 当时， ，不等式化为，解集R； 当时， ，不等式化为，解得或 ； 当时，不等式化为，解得 当时， ，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解集为； 当时， ，不等式化为，解得； 综上：当时， ，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）由， 得， 即， 即， 当时，解得； 当时，不等式， 解得或； 当时，不等式， 解得； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为不等式的解集与整数集满足， 所以， 因为， 所以， 即， 即， 解得或， 所以实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 33.（2024-2025学年洋泾中学高一上期中） 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为9， 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论的取值范围解绝对值不等式即可得解； （2）根据题意，利用三角绝对值不等式即可得解； （3）根据题意，利用绝对值几何意义分析得绝对值的最小值，从而得解. 【小问1详解】 依题意，得， 当时，，解得，故； 当时，，故； 当时，，解得，故； 综上：. 【小问2详解】 依题意，得对一切实数恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. 【小问3详解】 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和， 要想距离之和最小，其中时，取得最小值， 当时，取得最小值，当时，取得最小值， 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为9. 【点睛】思路点睛：关于新定义题思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点04 含参不等式求解的四类综合题 题型一、讨论参数的取值确定解集 【名师点拨】讨论参数的取值确定解集，分类讨论一般需要注意以下两方面： （1） 的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况； （2） 讨论含参数的根与其他根的大小关系。 对含参的一元二次不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类和讨论步骤有： 1、对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解； 2、对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况并加以讨论； 3、若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a(x－x1)(x－x2)的形式时，往往需要对其根分x1>x2，x1＝x2，x1<x2三种情况进行讨论或用根与系数的关系帮助求解； 【例1】（2024上海徐汇中学高一期中）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 【例2】（2024闵行中学高一期中）解关于的不等式. 【例3】（2023闵行区莘松中学高一期中）解关于的不等式：． 【跟踪训练】 1.（2024上海高一课时作业）解下列关于的不等式： (1). (2). 2.（2024上海高一课时作业）解关于的不等式 3.（2024上海高一课时作业）解关于的不等式：． 4.（2020年上海华东师范大学附属东昌中学高一课时练习） 题型二、给定解集确定参数的取值 【名师点拨】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他方程、函数、不等式的解集时，一般遵循： （1）)根据解集来判断二次项系数的符号； （2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解； 【例4】（2024学年闵行中学高一上期中） 若关于的不等式的解集是，则________ 【例5】 （2024-2025学年洋泾中学高一上期中）定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是______. 【例6】（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）若不等式的解集为，则实数 . 【跟踪训练】 1.（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）关于的不等式的解集为，则__________． 2.（2024上海市嘉定区中光高级中学期中）若不等式的解集是（2，3），则的解集为（ ） A． B．（2，3） C． D． 3.（2022-2023学年曹杨第二中学高一上期中）设、，若关于的不等式的解集为，则__________. 4.（2024上海高一课时作业）已知<1的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a的值为 ． 5.（2024上海高一课时作业）已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 6.（2024上海高一课时作业）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中不正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为（-） ，+） 7.（2024上海高一课时作业）若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是 8.（2024上海高一课时作业）不等式的解集中的整数有且仅有，，，则的取值范围是_______ 9.（2023学年控江中学高一上期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是______． 题型三、不等式求解与集合综合 【名师点拨】不等式解集间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. （3）关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解. 易错警示：B⊆AA≠∅，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 【例7】（2022-2023学年曹杨第二中学高一上期中）设，集合.若为单元素集，则（ ） A. 实数既有最大值，也有最小值 B. 实数有最大值，无最小值 C. 实数无最大值，有最小值 D. 实数既无最大值，也无最小值 【例9】(上海复旦附中高一课时练习)已知不等式的解集为M． (1)当a=4时，求解集M； (2)若3∈M,5∉M,求实数a的取值范围． 【跟踪训练】 1.（2022-2023学年上海中学高一上期中）已知全集，，，且，求a的取值范围. 2.（2024上海高一单元测试）设关于的不等式和的解集分别为和. （1）求集合； （2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由； （3）若，求实数的取值范围. 3.（2024上海高一课时作业）（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围. 题型四、不等式求解与常用逻辑用语综合 【名师点拨】不等式解集间存在逻辑关系求参数： (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 【例10】（2022-23）控江中学度高一上期中）设为实常数，.若是的必要非充分条件，则实数的取值范围为__________. 【跟踪训练】 1.（2024奉贤中学高一期中）已知，（），若是成立的必要非充分条件，则实数的取值范围是_________ 2.已知全集，非空集合， (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 一、单选题 1．（2024复兴高级中学高一期中）若关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024奉贤中学高一期中）已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为（ ） A． B． C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 3.（2023延安中学高一期中）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m<n)，有下列四个结论： 甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0. 如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2024松江二中高一期中）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 5.（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知关于x的不等式组 仅有一个整数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2021·上海市金山中学高一月考）若不等式的解集为，则___________. 7. （2024-2025学年上师大附中高一上期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______． 8.（2022秋·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考期中）已知关于的不等式的解集为，则 . 9.（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集为，则 ． 10.（2022秋·上海徐汇·高一校考期末）若关于的不等式的解集为，则实数的值是 11.（2021·上海高一专题练习）若不等式的解集是{x|-1≤x<5}，则a的值为____. 12.（2024奉贤中学高一期中）关于的不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是________. 13.（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）关于不等式组的整数解的集合为，则实数k的取值范围是 . 14.（2022秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 15.若不等式的解集是{x|-1≤x<5},则a的值为　　　　.  16.关于x的不等式的解集是{x|≤x<2},则a的值为　　　　.  17.(2024上海奉贤中学高一月考)已知集合A=，若1∉A,则实数a的取值范围是 . 18.已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3},则a的值是　　　　.  19．已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 20．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 21.已知不等式有解，则实数的取值范围是_________ 22.已知不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 23.若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 三、解答题 24．解关于的不等式: . 25．解关于的不等式. 26.解关于的不等式 27.解不等式. 28．已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解不等式． 29．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)当时，解关于的不等式. 30.（2021·上海高一专题练习）已知关于的不等式. （1）当时，求此不等式的解集； （2）当时，求此不等式的解集. 31.（2020·上海市张堰中学）已知不等式的解集为. （1）求m、n的值； （2）求不等式的解集. 32．（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式； （3）已知关于的不等式的解集与整数集满足，求实数的取值范围． 33.（2024-2025学年洋泾中学高一上期中） 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $