精品解析：河南省驻马店市2025-2026学年高二上学期开学青桐鸣联考数学试题（北师大版）

2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式化为斜截式，由斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由化为，即该直线斜率为， 所以其倾斜角为. 故选：A 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，则，解得，即， 又，故． 故选：A． 3. 若的图象关于原点对称，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，列出方程，得到恒成立，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称， 又因为， 所以在定义域上恒成立， 因为在定义域上不恒为，所以， 可得在定义域上恒成立，所以. 故选：D. 4. 设点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，则与之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式计算可得结论. 【详解】点到直线的距离为， 直线与直线之间的距离为， 所以. 故选：B. 5. 函数的图象在区间内的对称轴条数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，求得对称轴的方程，令，求得的范围，结合，即可求解. 【详解】由函数，令，解得 再令，解得， 因为，所以，即函数的图象在内有7条对称轴. 故选：D. 6. 过点，，的圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用圆的一般方程，该圆经过三个点可列出三个方程，并求解，最后用配方法变成标准方程，求出圆心坐标 【详解】设圆的方程为. 因该圆过点，，，所以，解得. 因此圆的方程为. 化简得. 因此该圆的圆心为. 故选：C 7. 设随机事件A，满足，，则（ ） A. 0.4 B. 0.35 C. 0.25 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】注意到，然后由题可得，最后由对立事件概率性质可得答案. 【详解】注意到，，则， 又， 则. 故选：D 8. 已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某工厂生产了一批钢丝，现随机抽取其中根，得到它们的长度分别为，，，，（单位：厘米），则这组数据的（ ） A. 极差为 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 方差为 【答案】BC 【解析】 【分析】将已知数据组从小到大排列，根据极差的定义求所给数据极差，判断A，根据平均数的定义求平均数，判断B，根据中位数的定义，求中位数，判断C，根据方差的定义求方差，判断D. 【详解】将数据，，，，从小到大排列可得，，，，， 所以这组数据的极差为，A错误， 平均数为，B正确， 中位数为，C正确， 方差， 所以，D错误， 故选：BC. 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 曲线的图象关于点中心对称 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由有意义列不等式，求其解可得函数定义域，判断A，对于B，先证明对任意，，再证明，由此判断B，对于C，求的范围，结合对数函数的单调性，证明，判断C，由解析式求，，再结合对数函数单调性比较两者大小，判断D. 【详解】对于A，因为有意义，所以， 所以， 所以或， 所以函数的定义域为，A正确， 对于B，因为函数的定义域为， 所以对于任意的，， 因为，所以， 所以， 所以曲线的图象关于点中心对称，B正确， 对于C，因为，所以，所以， 所以，即， 所以，所以，又， 所以，C错误， 对于D，因为， 所以，， 所以，因为，所以， 所以，D正确， 故选：ABD. 11. 已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（ ） A. 当时， B. 当直线的斜率为时，的面积为 C. 当时，的外接圆半径为 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意可设直线的方程为，当时，得到，从而根据勾股定理求出，再根据等面积法即可求出的值，进而根据斜率与倾斜角的关系即可求出来判断A；当直线的斜率为时，先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求出，进而即可求出来判断B；当时，设，依题意可得，，，四点共圆，且以为直径，再根据圆与圆的关系即可得到直线的方程，从而即可得到点的轨迹方程，再根据即可求出点的坐标，进而即可求出的外接圆半径来判断C；当时，结合选项C有，根据正切函数的定义即可求出，从而求出，，进而根据等面积法即可求出来判断D． 【详解】依题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则， 对于选项A，由，， 则当时，，所以， 所以，即，解得， 则，所以，故A正确； 对于选项B，当直线的斜率为时，即直线的方程为， 则 ，则，所以，故B正确； 对于选项C，设，由，，所以，，，四点共圆，且以为直径， 则该圆的方程为，即， 联立，整理得直线的方程为， 又点在直线上，则，解得，即点的轨迹方程为， 又当时，即，解得， 所以，即的外接圆半径为，故C错误； 对于选项D，结合选项C有，则当时，有， 又，则， 所以，所以， 又，即， 得，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的体积，求出圆柱的底面半径，进而求得圆锥的底面半径，最后由圆锥的体积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则圆柱的底面半径为. 因圆柱的母线长为6，故圆柱的高为6. 而圆柱的体积为，因此，解得. 故圆锥的高，可知其体积． 故答案为：. 13. 若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 14. 已知函数，则方程的根的个数为__________，其所有根之和的取值范围为__________（提示：函数在上单调递增）. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】令，则，由得，进而得，作出的图像，利用数形结合即可求解；由得，即，进而得，令，则，利用单调性得的范围，进而求解. 【详解】令，则，所以，由， 因为，所以，作出的图像： 由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2； 由有， 所以， 所以， 令，则， 由函数在上单调递增， 所以，即， 又在单调递增，所以， 所以，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线，直线，. （1）探求与是否垂直； （2）若，判断与圆的位置关系； （3）若，求圆与圆公切线的条数. 【答案】（1）答案见解析 （2）相离 （3）0 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的判定方法求解讨论即得； （2）求出圆的圆心到直线的距离与圆的半径作比较即可判断； （3）先判断两圆的位置关系，即可判断两圆的公切线的条数. 【小问1详解】 因为， 若，则与垂直； 若，则与不垂直. 【小问2详解】 当时，，圆， 则圆的圆心为，半径为， 因圆心到直线的距离为， 与圆相离. 【小问3详解】 当时，圆，圆， 则圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则两圆得圆心距为， 则圆与圆内含，其公切线的条数为0. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）证明：为等腰三角形； （2）若，，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，又，有，得证为等腰三角形； （2）由余弦定理求得，再求即可. 【小问1详解】 中，， 由正弦定理可得， 可得，又，所以. 又，可得，则有，所以为等腰三角形； 【小问2详解】 若，，则， 可得， 又，. 17. 在平面直角坐标系中，直线的一个方向向量为. （1）证明：； （2）若直线的方向向量与直线的方向向量的数量积为0，且点到直线的距离为1，求的一般式方程. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由直线的截距式化为斜截式，结合直线的方向向量计算即可证明； （2）设直线的方向向量，结合直线方程与方向向量的关系、点到直线的距离公式计算即可. 【小问1详解】 由可化为，则其一个方向向量为， 由题意可知，解之得，所以； 【小问2详解】 设直线的方向向量为，则该直线方程为， 由题意可知，解之得， 即该直线方程为， 所以的一般式方程为. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）若，求的值； （3）若点不与原点重合，求的角平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式，代入化简，即可得曲线的方程； （2）画图，根据几何关系，可得为直角三角形，根据勾股定理即可求解； （3）分和，结合正切函数的两角和公式、二倍角公式，进行求解. 【小问1详解】 根据题意，，，，且满足， 即，化简得， 即曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1），可得曲线的图像，如图所示， 因为，所以， 又为圆心，在圆上，所以， 又，； 【小问3详解】 设的角平分线所在直线的倾斜角为， 当时，为锐角，且，又，，所以， 所以，即，解得或， 因为为锐角，所以， 又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：； 当时，为钝角，且，又，，所以， 所以，即，解得或， 因为为锐角，所以， 所以 又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：. 综上所述，的角平分线所在直线的斜截式方程为或. 19. 已知圆，圆，且. （1）证明：与相切； （2）若与内切，求公切线的方程； （3）若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得与的圆心坐标和半径，求得，结合圆与圆的位置关系，即可得证； （2）联立方程组，求得直线的方程，结合直线与圆的位置关系，证得直线与相切，也与相切，即可得到圆与的公切线方程； （3）根据题意，得到过和的直线过点的直线，求得点，得到为直径的圆的方程，将其整理为关于的二次多项式，结合与无关，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 证明：由，可得圆心，半径， 圆，可得， 可得圆心，半径， 则， 当时，可得，，则，两圆相外切； 当时，可得，，则，两圆相内切； 当时，可得，，则，两圆相内切. 综上可得，当时，圆与相切. 【小问2详解】 解：联立方程组，可得， 设直线的方程为， 由点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以直线与相切，也与相切，所以为圆与的公切线方程， 即圆与的公切线方程. 【小问3详解】 证明：联立方程组，整理得，解得， 所以与的切点为，且圆与内切于点， 所以直线过点的直线，此时直线方程为， 当且时，可得，且和的面积之积为， 则，可得， 又由直线的倾斜角为，则有，可得， 则以为直径的圆的方程为：， 整理得， 即， 将其整理为关于的二次多项式，可得： ， 所以，即，解得或， 所以以为直径的圆恒过定点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若的图象关于原点对称，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，则与之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 函数的图象在区间内的对称轴条数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 过点，，的圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机事件A，满足，，则（ ） A. 0.4 B. 0.35 C. 0.25 D. 0.1 8. 已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某工厂生产了一批钢丝，现随机抽取其中根，得到它们的长度分别为，，，，（单位：厘米），则这组数据的（ ） A. 极差为 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 方差为 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 曲线的图象关于点中心对称 C. 若，则 D. 11. 已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（ ） A. 当时， B. 当直线的斜率为时，的面积为 C. 当时，的外接圆半径为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为__________. 13. 若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 14. 已知函数，则方程的根的个数为__________，其所有根之和的取值范围为__________（提示：函数在上单调递增）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线，直线，. （1）探求与是否垂直； （2）若，判断与圆的位置关系； （3）若，求圆与圆公切线的条数. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）证明：为等腰三角形； （2）若，，求的值. 17. 在平面直角坐标系中，直线的一个方向向量为. （1）证明：； （2）若直线的方向向量与直线的方向向量的数量积为0，且点到直线的距离为1，求的一般式方程. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）若，求的值； （3）若点不与原点重合，求的角平分线所在直线的斜截式方程. 19. 已知圆，圆，且. （1）证明：与相切； （2）若与内切，求公切线的方程； （3）若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $