1.2有理数及其大小比较讲义2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

1.2 有理数及其大小 学习目标 1. 理解有理数的概念，能对有理数进行正确分类； 2. 掌握数轴的三要素，会用数轴表示有理数； 3. 理解相反数、绝对值的概念及性质，能求一个数的相反数和绝对值； 4. 掌握有理数大小比较的方法，会比较两个或多个有理数的大小。 知识点讲解 一、有理数的概念及分类 1. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 · 整数：正整数、0、负整数的统称，如 2，0，-3 等； · 分数：正分数、负分数的统称，如，-0.25，等（有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数）。 2. 有理数的分类 · 按定义分类： · 按性质分类： 二、数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 三要素：原点（表示数 0 的点）、正方向（通常向右为正方向）、单位长度（统一的长度标准），三要素缺一不可。 3. 数轴与有理数的关系：任何有理数都可以用数轴上的一个点表示；但数轴上的点不一定表示有理数（如数轴上表示的点）。 三、相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0 的相反数是 0。 · 例如：3 的相反数是 -3，的相反数是。 2. 几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数（0 除外）位于原点两侧，且到原点的距离相等。 3. 表示方法：数 (a) 的相反数记作 (-a)。若 (a) 与 (b) 互为相反数，则 。 四、绝对值 1. 定义：数轴上表示数 (a) 的点与原点的距离叫做数 (a) 的绝对值，记作 (|a|)。 2. 性质： · 正数的绝对值是它本身：若 (a > 0)，则 ； · 负数的绝对值是它的相反数：若 (a < 0)，则 ； · 0 的绝对值是 0：若 ，则 。 3. 非负性：任何数的绝对值都是非负数，即（若 ，则 且 ）。 五、有理数的大小比较 1. 数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 2. 法则比较法： · 正数 > 0 > 负数； · 两个正数比较：绝对值大的数大（如 (5 > 3)）； · 两个负数比较：绝对值大的反而小（如 (-5 < -3)，因为 ，，(5 > 3)，所以 (-5 < -3)）。 例题解析 例 1：有理数的分类 将下列各数填入相应的集合内：-7，0，，，101，，2024，。 （1）正整数集合：； （2）负分数集合：； （3）非负有理数集合：。 例 2：求相反数 求下列各数的相反数： （1）-4；（2）；（3）0；（4）-(-3)。 例 3：计算绝对值 计算下列各数的绝对值： （1）；（2）|0|；（3）；（4）。 例 4：比较大小 比较下列各组数的大小，并用“<”或“>”填空： （1） -6 和 -4；（2）和；（3） 和 ；（4）0 和 -2。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各数中，不是有理数的是（　　） A -3 B. 0.25 C.. 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C.. 3. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. -2 B. 0 C. 1 D. -3 4. 若 ，则 a 的值是（　　） A. 5 B. -5 C. 5 或 5 D. 无法确定 二、填空题 1. 写出 -10 的相反数：________。 2. 计算：。 3. 比较大小：（填“>”“<”或“=”）。 4. 绝对值等于它本身的数是________（填“正数”“负数”“非负数”或“非正数”）。 5. 在数轴上，点 A表示的数是 -3，点 B表示的数是 2，则点 A 在点 B 的________边（填“左”或“右”）。 三、解答题 1. 将下列各数填入相应的集合内：-2，0，，，3，，4.5，。 （1）整数集合：； （2）正分数集合：； （3）负有理数集合：。 2. 化简下列各式： （1）-(-8)； （2）； （3）。 3. 比较下列各组数的大小，并用“<”连接： -4，3，，0，2.5。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 有理数及其大小 学习目标 1. 理解有理数的概念，能对有理数进行正确分类； 2. 掌握数轴的三要素，会用数轴表示有理数； 3. 理解相反数、绝对值的概念及性质，能求一个数的相反数和绝对值； 4. 掌握有理数大小比较的方法，会比较两个或多个有理数的大小。 知识点讲解 一、有理数的概念及分类 1. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 · 整数：正整数、0、负整数的统称，如 2，0，-3 等； · 分数：正分数、负分数的统称，如，-0.25，等（有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数）。 2. 有理数的分类 · 按定义分类： · 按性质分类： 二、数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 三要素：原点（表示数 0 的点）、正方向（通常向右为正方向）、单位长度（统一的长度标准），三要素缺一不可。 3. 数轴与有理数的关系：任何有理数都可以用数轴上的一个点表示；但数轴上的点不一定表示有理数（如数轴上表示的点）。 三、相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0 的相反数是 0。 · 例如：3 的相反数是 -3，的相反数是。 2. 几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数（0 除外）位于原点两侧，且到原点的距离相等。 3. 表示方法：数 (a) 的相反数记作 (-a)。若 (a) 与 (b) 互为相反数，则 。 四、绝对值 1. 定义：数轴上表示数 (a) 的点与原点的距离叫做数 (a) 的绝对值，记作 (|a|)。 2. 性质： · 正数的绝对值是它本身：若 (a > 0)，则 ； · 负数的绝对值是它的相反数：若 (a < 0)，则 ； · 0 的绝对值是 0：若 ，则 。 3. 非负性：任何数的绝对值都是非负数，即（若 ，则 且 ）。 五、有理数的大小比较 1. 数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 2. 法则比较法： · 正数 > 0 > 负数； · 两个正数比较：绝对值大的数大（如 (5 > 3)）； · 两个负数比较：绝对值大的反而小（如 (-5 < -3)，因为 ，，(5 > 3)，所以 (-5 < -3)）。 例题解析 例 1：有理数的分类 将下列各数填入相应的集合内：-7，0，，，101，，2024，。 （1）正整数集合：； （2）负分数集合：； （3）非负有理数集合：。 解析： （1）正整数是大于 0 的整数，故正整数集合：101, 2024； （2）负分数是小于 0 的分数（包括有限小数和无限循环小数），故负分数集合：； （3）非负有理数包括正数和 0，故非负有理数集合：。 例 2：求相反数 求下列各数的相反数： （1）-4；（2）；（3）0；（4）-(-3)。 解析： （1）-4 的相反数是 4（只有符号不同）； （2）的相反数是； （3）0 的相反数是 0； （4）先化简 ，故 (3) 的相反数是 -3。 例 3：计算绝对值 计算下列各数的绝对值： （1）；（2）|0|；（3）；（4）。 解析： （1）-9 是负数，绝对值是它的相反数：； （2）0 的绝对值是 0：； （3）是正数，绝对值是它本身：； （4）先化简 ，5是正数，绝对值是它本身：。 例 4：比较大小 比较下列各组数的大小，并用“<”或“>”填空： （1）-6 和 -4；（2）和；（3） 和 ；（4）0 和 -2。 解析： （1）两个负数比较，绝对值大的反而小。 ， 因为 6 > 4，所以 -6 < -4； （2）两个正数比较，绝对值大的数大。 ， 因为，所以； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小。 ， 因为 0.8 > 0.7，所以 ； （4）0 大于负数：0 > -2。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各数中，不是有理数的是（　　） A -3 B. 0.25 C.. 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C.. 3. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. -2 B. 0 C. 1 D. -3 4. 若 ，则 a 的值是（　　） A. 5 B. -5 C. 5 或 5 D. 无法确定 二、填空题 1. 写出 -10 的相反数：________。 2. 计算：。 3. 比较大小：（填“>”“<”或“=”）。 4. 绝对值等于它本身的数是________（填“正数”“负数”“非负数”或“非正数”）。 5. 在数轴上，点 A表示的数是 -3，点 B表示的数是 2，则点 A 在点 B 的________边（填“左”或“右”）。 三、解答题 1. 将下列各数填入相应的集合内：-2，0，，，3，，4.5，。 （1）整数集合：； （2）正分数集合：； （3）负有理数集合：。 2. 化简下列各式： （1）-(-8)； （2）； （3）。 3. 比较下列各组数的大小，并用“<”连接： -4，3，，0，2.5。 巩固练习答案 一、选择题 1. C 解析：有理数包括整数和分数，是无限不循环小数，不是有理数，故选 C。 2. B 解析：A. ，错误；B. ，正确；C.，错误；D. ，错误，故选 B。 3. D 解析：负数 < 0 < 正数，两个负数比较，绝对值大的反而小。(-3 < -2 < 0 < 1)，最小的是 (-3)，故选 D。 4. C 解析：绝对值等于 5 的数有两个：5 和 (-5)，故选 C。 二、填空题 1. 10 解析：(-10) 的相反数是 (10)。 2. 7 解析：先化简 ，再求绝对值：。 3. < 解析：两个负数比较，绝对值大的反而小。，，因为 (0.75 > 0.67)，所以。 4. 非负数 解析：正数的绝对值是本身，0 的绝对值是 0，故绝对值等于本身的数是非负数。 5. 左 解析：数轴上左边的数小于右边的数，(-3 < 2)，故点 (A) 在点 (B) 的左边。 三、解答题 1. （1）整数集合： （2）正分数集合： （3）负有理数集合： 2. （1） （2）（先求绝对值 ，再取相反数） （3）（先化简 ，再求绝对值） 3. 解析：在数轴上，从左到右依次为 -4，，0，2.5，3，故用“<”连接为 。 学科网（北京）股份有限公司 $