2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册综合测试

人教A版（2019）必修第一册综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图像，只要把函数图像（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 5. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 函数的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 2025 D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若则不等式的解集为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________. 13. 已知，则的值为______． 14. 已知函数其中．若，在区间上单调递增，则的取值范围是______. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 17. 已知函数. （1）若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若函数在上的值域为，求的取值范围. 18. 已知函数 （1）计算的值： （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 19. 若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点. （1）试求，的解析式； （2）试判断函数与是否是“速增函数”； （3）若函数为“速增函数”，求的取值范围. ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版（2019）必修第一册综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B D C C C A AD ACD BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B由集合得：， 由集合得：， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】C 判断充分性 当时，根据正弦函数的性质，. 所以由能推出，充分性成立. 判断必要性 当时，或， 满足的不只是，还有情况. 所以由不能推出，必要性不成立. 故是的充分非必要条件. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 依题意得，， ， ，所以， 故. 4. 要得到函数的图像，只要把函数图像（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【解析】D ， 把函数图像向左平移个单位， 可得的图像， 所以要得到函数的图像，只要把函数图像向左平移个单位， 5. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为函数的定义域为，，所以函数在其定义域不具有单调性，故B不合题意； 因为函数的定义域为，函数在其定义域不具有单调性，故C不合题意； 对A：，所以为偶函数，故A不合题意； 对C：对函数，由，得函数的定义域为， ，所以函数为奇函数， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故D符合题意. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【解析】C 由题意得：， 两式相除得， 则． 即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时. 7. 函数的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】C 令，故，即的零点个数为与的交点个数， 显然在单调递增，的周期为，且当时，， 故此时两个函数无交点，作出图像如下图， 由图像得共有个交点，故有个零点，即C正确. 8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 2025 D. 【解析】A 由题意知，函数的定义域为， 因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得，则， 因为， 所以 . 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 【解析】AD 对于A，若，，则，，故A正确； 对于B，因为不等式的解集为， 所以且和是一元二次方程的两个根， 所以，故，故B错误； 对于C，因为，所以函数（且）的图象恒过定点，故C错误； 对于D，若，，且， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以若，，且，则的最小值为9，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 【解析】ACD 对于A选项，由图可知，， 函数的最小正周期满足，可得，则， 则， 又因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，，A对； 对于B选项，当时，， 所以，在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，由可得， 所以函数在区间内的图象关于直线对称， 若、，且，则， 所以，C对； 对于D选项，把的图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则为偶函数，D对. 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若则不等式的解集为 【解析】BCD 令，则，又，所以. 当时，，所以， 又，所以，即.故A错误，B正确： 设，则 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即，所以在上单调递减，C正确： 因为，所以， 不等式即 又在上单调递减，所以，解得， 所以等式的解集为D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________. 【解析】函数需满足 ， 解得 且 ， 故函数定义域为， 13. 已知，则的值为______． 【解析】因为，， 所以，， 所以． 14. 已知函数其中．若，在区间上单调递增，则的取值范围是______. 【解析】若，则， 因为在区间上单调递增， 所以，解得， 由，又，故或， 所以当时，得；当时，得. 所以满足题意的的取值范围是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求的值 【解析】（1）因为角的终边过点，所以， 原式. （2） 原式. 16. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 【解析】（1）由题设知且的两根为， 所以，，可得：， 可化为：，解得：， 所以不等式解集为 （2），且 所以 当且仅当即，取“=” 所以的最小值为6. 17. 已知函数. （1）若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若函数在上的值域为，求的取值范围. 【解析】（1） ， 若的两条相邻对称轴之间的距离为，则最小正周期，由得. （2）由（1）知， 由函数在上值域为可得在上的值域为， 当时，， 因为，所以，可得， 所以的取值范围为. 18. 已知函数 （1）计算的值： （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 【解析】（1） （2）函数在上单调递减.证明如下： 任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3）证明：设，则. 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 因为是由的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位， 故的图象关于点成中心对称图形. 19. 若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点. （1）试求，的解析式； （2）试判断函数与是否是“速增函数”； （3）若函数为“速增函数”，求的取值范围. 【解析】（1）因为为幂函数且是偶函数， 则且为偶数， 解得或（舍），所以， 又，即，解得，则. （2）对于函数， 当，时，，， 又， 所以，故是“速增函数”. 对于函数， 当时，， 故不是“速增函数”. （3）当，时，由是“速增函数”， 可知，即对一切正数恒成立， 又，可得对一切正数恒成立，所以. 由，可得对一切正数，恒成立， 即 对一切正数，恒成立， 故对一切正数，恒成立， 又，故对一切正数，恒成立， 由对一切正数，恒成立，可得，即. 综上可知，的取值范围是. ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $