第二章 有理数的运算知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版七年级数学上册（十大题型）

第二章有理数的运算知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级上册（十大题型） 知识归纳： 一、有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 二、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 三、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 题型突破： 题型一　有理数的加减混合运算 例题：计算： (1)4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） (2)3）+5+（﹣8）； 巩固训练 1.计算： (1)2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） (2)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2． 2．计算 （1）； （2）； 3．计算： （1）﹣20＋（﹣14）－（﹣18）－13        （2）（﹣）－（﹣）－ 题型二　有理数的加减中的简便运算 例题：用较为简便的方法计算下列各题： (1)3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）； (2)； 巩固训练 1.计算： （1）；      （2）； 2.计算： （1）；               （2）； 3．计算： （1）； （2）－1.9+3.6+(－10.1)+1.4； 题型三　有理数的加减混合运算的应用 例题：一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10．假设该出租车每次乘客下车后，都在停车地等待下一个乘客，直到下一个乘客上车再出发．将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地何处？ 巩固训练 1.某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，这一周的生产量情况如下表（星期一的生产量与计划每日生产量相比，星期二开始，实际每日生产量与上一天的生产量相比，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？ (2)本周总的生产量是多少辆？ 2.某检修小组乘汽车自地出发，检修东西走向的供电线路，向东记为正，向西记为负．一天所走路程（单位：千米）为：，，，，，，，，，．问： (1)最后他们是否回到出发地？若没有，则在地的什么方向？距离地多远？ (2)若每千米需耗油升，则这一天共耗油多少升？ 3.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，13，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 题型四　有理数的乘除混合运算 例题：计算： （1）；       （2）． 巩固训练 1．计算：（1）    （2） 2．计算： （1） （2） 3.计算： (1)；(2)． 题型五　有理数的乘方运算 例题：下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 巩固训练 1.在﹣23，(﹣2)3，﹣(﹣2)，﹣|﹣2|中，负数的个数是(　　) A.l个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下面各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3.下列各组数中，互为相反数的是（    ）. A．与 B．与 C．2与 D．与1 题型六　有理数的乘方运算的应用 例题：二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 巩固训练 1.一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 3.计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 题型七　科学记数法 例题：据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是　　 A． B． C． D． 巩固训练 1.我市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学记数法表示为（　　） A．4.2×104 B．0.42×105 C．4.2×103 D．42×103 2.华为搭载了麒麟芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为　　 A． B． C． D． 3.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 题型八　有理数四则混合运算 例题：计算： (1) (2) 巩固训练 1．计算 (1) (2)． 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1) (2) 题型九　程序流程图与有理数计算 例题：如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 巩固训练 1.按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 3．按照如图所示的一个数值转换程序，若输入的值是，则输出的结果是 ． 题型十　有理数运算中的新定义问题 例题：定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　 　． 巩固训练 1.已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（﹣1※3）※2＝　 　． 2．对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】 第二章有理数的运算知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级上册（十大题型） 知识归纳： 一、有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 二、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 三、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 题型突破： 题型一　有理数的加减混合运算 例题：计算： (1)4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） (2)3）+5+（﹣8）； （1）解： 4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） ＝4.7+8.9﹣7.5﹣6 ＝13.6﹣13.5 ＝0.1； （2）解：3）+5+（﹣8） ＝3﹣2+5﹣8 ＝3+5﹣2﹣8 ＝8.5﹣11 ＝﹣2.5； 巩固训练 1.计算： (1)2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） (2)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2． （1）解：2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） ＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2 ＝3.9﹣11.9 ＝﹣8； （2）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2 ＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2 ＝﹣0.2﹣1 ＝﹣1.2． 2．计算 （1）； （2）； 解：（1） ； 解：（2） ； 3．计算： （1）﹣20＋（﹣14）－（﹣18）－13        （2）（﹣）－（﹣）－ 解：（1）﹣20＋（﹣14）－（﹣18）－13    =-20-14-13+18 =﹣29；    解：（2）（﹣）－（﹣）－ =（﹣+）－ =－ = = =1； 题型二　有理数的加减中的简便运算 例题：用较为简便的方法计算下列各题： (1)3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）； (2)； （1）解：原式＝3﹣63+259+41＝﹣60+300＝240； （2）解：原式＝2﹣10﹣8﹣3＝﹣8﹣11＝﹣19； 巩固训练 1.计算： （1）；      （2）； 解：（1）； 解：（2）； 2.计算： （1）；               （2）； 解：（1）；              解：（2）； 3．计算： （1）； （2）－1.9+3.6+(－10.1)+1.4； 解：（1）原式＝ ， ， ． 解：（2）原式＝ ， ． 题型三　有理数的加减混合运算的应用 例题：一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10．假设该出租车每次乘客下车后，都在停车地等待下一个乘客，直到下一个乘客上车再出发．将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地何处？ 【答案】在A地西边，距离A地4km 【详解】解：∵行车里程依先后次序记录：+9、-3、-5、+4、-8、+6、-7、-6、-4、+10， ∴将最后一名乘客送到目的地出租车在A地位置： （+9）+（-3）+（-5）+（+4）+（-8）+（+6）+（-7）+（-6）+（-4）+（+10）=-4， ∴出租车在A地的西边，距离A地4km． 巩固训练 1.某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，这一周的生产量情况如下表（星期一的生产量与计划每日生产量相比，星期二开始，实际每日生产量与上一天的生产量相比，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？ (2)本周总的生产量是多少辆？ 【答案】(1)150辆 (2)880辆 【详解】（1）解：周一的生产量为；周二的生产量为； 周三的生产量为；周四的生产量为； 周五的生产量为；周六的生产量为； 周日的生产量为， （辆）； （2）（辆）， 答：本周总生产量是880辆． 2.某检修小组乘汽车自地出发，检修东西走向的供电线路，向东记为正，向西记为负．一天所走路程（单位：千米）为：，，，，，，，，，．问： (1)最后他们是否回到出发地？若没有，则在地的什么方向？距离地多远？ (2)若每千米需耗油升，则这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)检修小组没有回到出发地，在地的东边处；(2)升． 【详解】（1）由， ∴检修小组没有回到出发地，在地的东边处； （2）， ∴这一天共耗油（升）． 3.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，13，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【解答】解：（1）， 地在地的东边20千米； （2）路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米． 最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：千米， 应耗油（升， 故还需补充的油量为：（升． 题型四　有理数的乘除混合运算 例题：计算： （1）；       （2）． 解：（1） =﹣6﹣150 =﹣156； 解：（2） =﹣28+3 =﹣25． 巩固训练 1．计算：（1）    （2） 解：（1）原式=-16+18+2 =4； 解：（2）原式 ； 2．计算： （1） （2） 解：（1） = =1 解：（2） = =6-12+9 =3 3.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 题型五　有理数的乘方运算 例题：下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 巩固训练 1.在﹣23，(﹣2)3，﹣(﹣2)，﹣|﹣2|中，负数的个数是(　　) A.l个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 2.下面各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 3.下列各组数中，互为相反数的是（    ）. A．与 B．与 C．2与 D．与1 【答案】A 题型六　有理数的乘方运算的应用 例题：二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 【答案】B 巩固训练 1.一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 2.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 【答案】64 3.计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 题型七　科学记数法 例题：据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是　　 A． B． C． D． 【答案】． 巩固训练 1.我市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学记数法表示为（　　） A．4.2×104 B．0.42×105 C．4.2×103 D．42×103 【答案】A 2.华为搭载了麒麟芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为　　 A． B． C． D． 【答案】． 3.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 题型八　有理数四则混合运算 例题：计算： (1) (2) (1)解：原式=； (2)解：原式=. 巩固训练 1．计算 (1) (2)． (1)解：原式 ； (2)解：原式 ； 2．计算： (1) (2) 解：(1) = = = = 解：(2) = = = = = = 3．计算： (1) (2) (1)解： =-16+54 =38； (2)解： = = =． 题型九　程序流程图与有理数计算 例题：如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 【答案】4 巩固训练 1.按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 【答案】 3．按照如图所示的一个数值转换程序，若输入的值是，则输出的结果是 ． 【答案】 题型十　有理数运算中的新定义问题 例题：定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　 　． 【答案7． 巩固训练 1.已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（﹣1※3）※2＝　 　． 【答案】﹣64． 2．对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $