重难点07：嵌套函数的零点问题 （10大题型+45难题攻关）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点07 嵌套函数的零点问题 类型一 嵌套函数零点个数的判断 类型二 由嵌套函数零点求参数 考点一 自嵌套复合型 题型01：型零点问题 解决方案 嵌套函数自身互嵌型：f（f（x））；2）嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x））。 主要步骤：1）换元，设t=f（x）或t=g（x），转化为f（t）=0； 2）解方程：f（t）=0，得到根t1，t2； 3）解方程：f（x）=t1或f（x）=t2。 【例1】已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据方程有实根可求得，根据二次函数性质可求得；设，分别在和的情况下，讨论的根的个数，并根据方程的根与的大小关系，确定的根的个数，即为所求集合的元素个数. 【详解】有实根，，解得：； ； 设，则； ①当时，，，即，解得：， ； ②当时，由得：，； ， ，，又恒成立， ，即， 共有四个不等实根， ； 综上所述：集合的元素个数可能为或. 故选：C. 【例2】已知函数，则函数的所有零点之和为___________． 解析：设，则， ①当时，，得； ②当时，，得； 综上所述：若，则或. 故或，则有： ①由，可得或，解得或； ②由，可得或，解得或； 综上所述：函数的所有零点为，，，4. 故所有零点的和为． 【例3】已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 解析：有实根，，解得：； ； 设，则； ①当时，，，即，解得：， ； ②当时，由得：，； ， ，，又恒成立， ，即， 共有四个不等实根， ； 综上所述：集合的元素个数可能为或. 【例4】已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得和各有两个解，利用数形结合即得. 【详解】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根， 由图可知，得或， 所以和各有两个解， 要使和各有两个解，必须满足， 由，则， 由图可知，当时，有两个解(一解为，一解为3)， 当时，有三个解(为，3)， 当时，有两个解(为)， 所以，存在四个互不相等的实数根，实数的取值范围是. 故选：D． 【例5】已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数； 【详解】令． ①当时，，则函数在上单调递增， 由于，由零点存在定理可知，存在，使得； ②当时，，由，解得． 作出函数，直线的图象如下图所示：    由图象可知，直线与函数的图象有两个交点； 直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5． 【例6】设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，先考虑时，函数在上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点， 时，若，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得， 所以. 故选：D 【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 题型02：型零点问题 【例7】已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f（f（x））－2的零点个数为（　　） A.3　 B.4 C.2　 D.1 解析：A　设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2＝0，当μ＞1时，则f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ－1）－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A. 【例8】函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解析：令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，， 则或，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，若，易知方程无解， 若，当时，由，得或（舍去）， 此时方程有唯一的解； 当时，由，得，此时方程有唯一的解， 综上所述可知函数的零点个数为个， 【例9】已知函数若函数的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】试题分析：首先画出函数的图像， ，设即，根据图像得到，或是，，那么当和时，得到图像的交点共4个，故选B． 【例10】已知函数，则函数的零点个数为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设,则，求得，根据数形结合可得的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点，从而可得结果. 【详解】函数的零点个数就是方程的根的个数， 设,则， 函数的大致图象如下： 由或，可得有三个解，， 的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点， 即分别由1，3，1个解，方程的根的个数为5， 函数的零点个数为5，故选C. 【例11】已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解. 【详解】由， 当时，函数在上单调递减，且，，当时， 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 可得的大致图象如下所示： 令，则化为， 当时无解，则无解； 当时，解得，由图可知有两解，即有两解； 当时有一解且，又有一个解，即有一解； 当时有两个解，即、， 又有一个解，有两个解，所以共有三个解； 当时有三个解，即，，， 无解，有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 当时有两个解，即，， 有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 综上可得的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏. 【例12】已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 【例13】已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，结合指对数函数性质画出函数大致图象，令并讨论判断对应方程根的个数，再由有5个不同的实数解，讨论范围，结合对应的分布确定根的个数，即可得范围. 【详解】由解析式得函数大致图象如下，由，令，可得或， 令，当或时有1个解；当或时有2个解； 当时有3个解；当时无解； 要使有5个不同的实数解， 若，则，此时方程有1解； 若，则有2个解，有1解，此时方程共有3个解； 若，则有1个解，有3解，有1解， 此时方程共有5个解； 若，则有1个解，有3解，有2解， 此时方程共有6个解； 若，则有1个解，有3解，有3解， 此时方程共有7个解； 若，则有3个解，有3个解，此时方程共有6个解； 若，则有3个解，此时方程共有3个解； 若，没有对应，此时方程无解； 综上，. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据函数图象研究对应根的个数，再数形结合讨论范围研究根的个数. 【例14】已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ） A． B．或 C．或或 D．或 【答案】D 【解析】依题意函数的零点即为方程的根， ①当时函数的函数图象如下所示： 所以有两个根，（，）， 而对应2个根，所以需要对应3个根，所以，即，解得； ②当时函数的函数图象如下所示： 所以有两个根，（，），而对应2个根， 对应2个根，即共四个根，所以不满足题意； ③当时函数的函数图象如下所示： 所以有三个根，，， 从而，，，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意； ④当时函数的函数图象如下所示： 所以有三个根，，，（，，）， 而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意； 综上可得实数的取值范围为或；故选：D 题型03：型零点问题 【例15】设函数．若方程有解，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 【答案】 A 【解析】解：设，，则方程等价为，即，，即， 在时有解，即，在时成立， 设， 当时，取得最大值，，即，故选：． 题型04：型零点问题 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤 (1)换元解套，转化为的零点; (2)依次解方程，令的值，代入的值或判断图象交点个数. 2.抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质. 【例16】已知函数，则函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 解：令，，则，分别作出和直线， 由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，， 有两根；时，有个不等实根， 综上可得的实根个数为， 即函数的零点个数是． 故选：． 【例17】已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】令，则方程变为了，在同一直角坐标系中分别画出 和的图象得到相应的范围，再画出的图象，结合图像即可得解. 【详解】首先由定义知道，又由的定义域知道，所以有. 然后在同一直角坐标系中先分别画出 和的图象，如下图所示：    设方程的三个根从大到小依次排列为， 则由图可知. 现在在同一直角坐标系中先分别画出，，，的图象如下图：    由图可知分别与，，的图象分别交于一共七个点， 所以方程有7个根， 则函数的零点个数为7. 【点睛】关键点睛：解题关键是首先将原问题转化为求方程的根之后，利用了换元的思想方法，进一步只需讨论 和的图象交点个数以及相应的的范围(这里用到了数学结合的思想方法)，进而再次利用数形结合即可得解. 【例18】已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，可得，将问题转化为与、以及的交点问题，结合图象分析求解. 【详解】作出的图象，如图所示，可知的值域为， 令，可得， 令，则， 若，可得，即， 令，解得或， 检验可知不合题意，所以； 若，可得，即， 若，解得； 令，解得； 由图可知： 1.若，与没有交点， 即方程无根，不合题意； 2.若，可知与有1个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程有2个根，符合题意； 3.若，可知与有2个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为，且至少有一个值小于， 可知方程和至少有3个根，不合题意； 4.若，可知与有1个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程有2个根，符合题意； 5.若，可知与有2个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程和有4个根，不合题意； 6.若，可知与有3个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程和和至少有3个根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解； 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 考点二 互嵌套复合模型 题型05：型零点问题 【例19】定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的值域与单调性即得解. 【详解】由图(a)可知，方程在上有三个实数解， 由图(b)可知，函数在上单调递减，且值域为， 所以方程有三个实数解.故选：C. 【例20】已知函数f(x)＝ax－x2，g(x)＝若方程g(f(x))＝0有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　D　) A. (－4，0) B. (0，4) C. (－∞，－4)∪(0，＋∞)　　　　 D. (－∞，0)∪(4，＋∞) 【解析】 由题意，当a＞0时，由g(t)＝0，解得t＝0或t＝a.又由g(f(x))＝0，可得f(x)＝0或f(x)＝a，此时方程f(x)＝0有两解，方程f(x)＝a有两正解时，Δ＝a2－4a＞0，解得a＞4.当a＝0时，由g(f(x))＝0，即f(x)＝0，可得x2＝0只有一解．当a＜0时，由g(t)＝0得t＝0或t＝.又由g(f(t))＝0可得f(x)＝0或f(x)＝.方程f(x)＝0有两解，只要f(x)＝有两解即可，即方程x2－ax＋＝0有两解，则a2－2a＞0，解得a＜0.综上，a∈(－∞，0)∪(4，＋∞). 【例21】已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程有四个不等的实数根，分，和三种情况分类讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，当时，由，解得或， 又由，可得或， 此时方程有两解， 方程要有两解时，，解得， 当时，由，即，可得只有一解， 当时，由得或， 又由化为或，方程有两解， 只要两解，即方程有两解，则，解得. 综上，. 【例22】已知函数，，当时，方程根的个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则方程根的情况转化成研究方程根的情况，由一元二次函数的对称轴、判别式、区间端点函数值可得方程的两根的范围，进而得到方程根的个数. 【详解】令， 所以，即①， 因为，所以方程①有两个不相等的实根，不妨设. 因为且 所以方程①的两根，（舍去） 所以，由于函数与函数图象有两个交点， 所以方程根的个数为2个.故选C. 题型06：型零点问题 【例23】设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2|x|，若方程f(g(x))＝t有四个实数根，则实数t的取值范围是(　B　) A. (－1，＋∞) B. (－1，0)　　　　 C. (－1，1) D. (0，1) 【解析】 g(x)＝2|x|是偶函数且x＜0时g(x)单调递减，x＞0时g(x)单调递增．设m＝g(x)∈[1，＋∞)，f(g(x))＝t即f(m)＝t，方程f(g(x))＝t有四个实数根，必须m＝g(t)有两个不等实根，且f(m)＝t有两个不等实根，即f(m)＝t，m∈(1，＋∞)有两个不等实根．又f(x)＝x2－4x＋3在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，f(1)＝f(3)＝0，f(2)＝－1，若f(m)＝t有两个大于1的不等实根，必须t∈(－1，0). 【例24】已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（    ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】借助导函数以及二次函数性质分别作出和的图象，再利用换元思想和分类讨论法并结合图象求解即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，,单调递增；当时，,单调递减； 当时，,单调递增，，， 函数的图象如下： 方程，令，则， 由已知条件可作的图象如下： 由的图象知， ①当 时，方程有两个根、，且，， 由的图象知，当时，有1个根，当时，有3个根， 此时方程有4个根； ②当时，方程有两个根、，且，， 由的图象知，当时，有2个根，当时，有3个根， 此时方程有5个根； ③当时，方程有两个根、，且，， 由的图象知，当时，有3个根，当时，有3个根， 此时方程有6个根； ④当时，方程只有1个根，且，由的图象知，当时，有2个根， 此时方程有2个根； ⑤当时，方程只有1个根，且，由的图象知，当时，有1个根， 此时方程有1个根； 所以方程的实根最多有6个根. 故选：C 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 【例25】已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 【例26】已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】作出的图像如图所示，由的图像可知， 的极大值为，极小值为， 有9个零点，令，结合和的图像可知， 有3个解，分别设为，且， 且每个对应都有3个满足，欲使有9个零点，由图可知：， 且，，，由函数的解析式知： ，，，由图像可知， ，则，解得，得，故选：A. 【例27】已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据的解析式，可得的单调性、奇偶性，即可作出的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断的单调性，结合t的范围，作出的图象，数形结合，可得 时，的图象与图象有2个交点，此时与分别与有2个交点，即即有四个不同的解，满足题意，即可得答案. 【详解】设，则有四个不同的解， 因为，所以为偶函数，且当时，为增函数， 所以当时，为减函数，所以，即， 当时，，则， 令，解得，所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 又，作出时的图象，如图所示： 所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为， 作出图象，如下图所示： 此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意. 综上实数m的取值范围为.故选：A 题型07：型零点问题 【例28】若和都是R上的函数，且有实数解，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这是一个抽象函数与方程的问题，如何化抽象为具体，则需要根据题意转换变量，即可得到方程至少有一解，从而检验四种可能，通过是否有解来作出判断. 【详解】设有实数解，则， 因为和都是R上的函数， 所以有，再令， 则有，从而可知至少有一个解是， 对于A，由，此方程有解，故A正确； 对于B，由，此方程无解，故B错误； 对于C，由，此方程有解，故C正确； 对于D，由，此方程有解，故D正确； 故选：B. 【例29】若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是　　 A． B． C． D． 【答案】 ACD 【解析】解：因为，所以，则有解， 对于，当时，方程有解，故选项正确； 对于，当时，方程无解，故选项错误； 对于，当，令，因为， 由零点的存在性定理可知，在上存在零点，所以方程有解，故选项正确； 对于，当时，为方程的解，所以方程有解，故选项正确．故选：． 【例30】已知两函数和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则有可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】解析：由，得，故，， 故有实数解．对于，，即，方程无解，不符合题意； 对于，，即，方程无解，不符合题意； 对于，，即，方程有解，符合题意； 对于，，即，方程无解，不符合题意．故选：． 题型08：型零点问题 【例31】已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 【例32】已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象按、、分类讨论，利用函数图象的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数的取值范围. 【详解】令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 如下图， 当时， 函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点， 且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得，或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称， 所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 考点三 二次嵌套复合型 题型09：二次型因式分解 【例33】已知f（x）＝则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1的零点个数是（　　） A.3　 B.5 C.7　 D.8 解析：B　函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，函数f（x）＝的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1有5个零点，故选B. 点评　判断嵌套函数零点个数的步骤：①换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点；②依次解方程，令f（t）＝0求出t的值，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数. 【例34】已知函数，则实数根的个数为(    ) A. B. C. D. 解：作出的图象： 若，则或 由图象可知与没有交点，与有个交点， 故实数根的个数为 故选A． 【例35】已知函数f(x)＝ 其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3f2(x)－10f(x)＋3的零点个数为(　A　) A. 4 B. 5　 C. 6 D. 3 【解析】 当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1，f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为－1，且f(0)＝1，故可作出函数f(x)的大致图象如图所示．g(x)＝3f2(x)－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝.当t＝时，f(x)＝有3个实根，即g(x)有3个零点；当t＝3时，f(x)＝3有1个实根，即g(x)有1个零点．综上，g(x)共有4个零点． 【例36】已知函数若函数恰好有5个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）. A．(0,1] B．(0,1) C．[1,+∞) D．(1,+∞) 【答案】A 【解析】画出函数的大致图象,如图所示, ∵函数恰好有5个不同的零点,∴方程有5个根.设,则方程化为,即,解得,,结合图象可得,即. 【例37】已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案． 【详解】解：设，则， 由，解得， 当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数． 当时，函数取得极大值也是最大值为（e）． 方程化为． 解得或． 如图画出函数图象： 可得的取值范围是．故选：A． 【例38】已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案. 【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数， 结合，作出函数在上的图象，如图示： 因为， 故时，即或， 则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点， 由图象可知，和的图象有6个不同的交点， 则和的图象需有2个不同的交点，即，故， 则实数的取值范围为，故答案为： 【例39】已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可. 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11. 故选：C. 【例40】定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案. 【详解】关于的方程可化简为， 即有7个不同的根，画出的图象，      观察可以看出当有4个不同的根， 故只需有3个不同的根即可，所以. 故选：A. 题型10：二次型根的分布 【例41】已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：要使得  由个不同的零点， 则令  ，  有个不同的实数根， 根据  ，作出  的大致图象如下： 由图可知：当  时，此时由两个根，分别为  ， 当  时，此时  有个交点， 当  时，此时  有个交点， 当  时，此时  有个交点，  显然不是  的根， 设  的两个零点分别为  ，且  ， 故当  时，此时  有个交点，  有个交点，满足题意， 故需要满足  ，解得  ， 当  时，此时  有个交点，  有个交点，满足题意， 故需要满足  ，解得  ， 综上可得  或  故选： 【例42】已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出的图像，在中将看成一个整体，则可以看做是关于的一元二次函数， 又因为有四个零点，所以必有两个根，所以必有可求出部分范围，并求出的根； 结合的图像确定的范围求出部分范围，将两部分部分范围求交集即可得到最终结果. 【详解】对于，若为零点，且为定义域上的单调增函数，的图像如图所示， 又有四个零点，且最多两个解，可以看做是关于的一元二次函数必定有2个不同的实数根， 即或， 而的实数根为，根据的图像可知：要与图像有两个交点， 则需满足：又或， 故答案为： 【例43】已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围(    ) A. B. C. D. 解：令，则原函数方程等价为． 作出函数的图象如图： 图象可知当由时，函数有个交点． 所以要使有六个相异实根，则等价为有两个根，，且，． 令，则由根的分布如下图 可得，即，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选B  【例44】已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（　　） A．    B．   C． D．[﹣5，﹣4] 【答案】B 【分析】作出函数f（x）的图象，设t＝f（x），方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0，根据数形结合思想和二次函数的性质建立不等式组，求解即可. 【详解】解：作出函数f（x）的图象如图：设t＝f（x）， 由图象知当t＞3时，t＝f（x）有3个根； 当1＜t≤3时，t＝f（x）有4个根； 当t＝1时，t＝f（x）有5个根； 当0＜t＜1时，t＝f（x）有6个根； 当t＝0时，t＝f（x）有3个根， 当t＜0时，t＝f（x）有0个根， 方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0， ∵当t＝0时，方程不成立，∴若方程f2（x）+bf（x）+4＝0有8个不同的实数根，则 ①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3， ②或者t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3， 由①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3， 设h（x）＝t2+bt+4， 则满足，即，得﹣≤b＜﹣4， 由②t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，则1+b+4＝0，则b＝﹣5， 此时由t2﹣5t+4＝0得t＝1或t＝4，满足t2＞3，综上所述，﹣≤b＜﹣4或b＝﹣5， 故选：B． 【例45】已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，图象如下图示，    令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且， 若，则，则，此时，，显然此时不合题意， 故由图知：，即的两个零点分别在区间和内， 而开口向上，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点07 嵌套函数的零点问题 类型一 嵌套函数零点个数的判断 类型二 由嵌套函数零点求参数 考点一 自嵌套复合型 题型01：型零点问题 解决方案 嵌套函数自身互嵌型：f（f（x））；2）嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x））。 主要步骤：1）换元，设t=f（x）或t=g（x），转化为f（t）=0； 2）解方程：f（t）=0，得到根t1，t2； 3）解方程：f（x）=t1或f（x）=t2。 【例1】已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】已知函数，则函数的所有零点之和为___________． 【例3】已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例4】已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5】已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例6】设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02：型零点问题 【例7】已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f（f（x））－2的零点个数为（　　） A.3　 B.4 C.2　 D.1 【例8】函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例9】已知函数若函数的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 【例10】已知函数，则函数的零点个数为 A． B． C． D． 【例11】已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【例13】已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ） A． B．或 C．或或 D．或 题型03：型零点问题 【例15】设函数．若方程有解，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 题型04：型零点问题 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤 (1)换元解套，转化为的零点; (2)依次解方程，令的值，代入的值或判断图象交点个数. 2.抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质. 【例16】已知函数，则函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 【例17】已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例18】已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 ． 考点二 互嵌套复合模型 题型05：型零点问题 【例19】定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例20】已知函数f(x)＝ax－x2，g(x)＝若方程g(f(x))＝0有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　D　) A. (－4，0) B. (0，4) C. (－∞，－4)∪(0，＋∞)　　　　 D. (－∞，0)∪(4，＋∞) 【例21】已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例22】已知函数，，当时，方程根的个数为（    ）. A． B． C． D． 题型06：型零点问题 【例23】设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2|x|，若方程f(g(x))＝t有四个实数根，则实数t的取值范围是(　B　) A. (－1，＋∞) B. (－1，0)　　　　 C. (－1，1) D. (0，1) 【例24】已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（    ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【例25】已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【例26】已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例27】已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型07：型零点问题 【例28】若和都是R上的函数，且有实数解，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【例29】若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是　　 A． B． C． D． 【例30】已知两函数和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则有可能是　　 A． B． C． D． 题型08：型零点问题 【例31】已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【例32】已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 考点三 二次嵌套复合型 题型09：二次型因式分解 【例33】已知f（x）＝则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1的零点个数是（　　） A.3　 B.5 C.7　 D.8 【例34】已知函数，则实数根的个数为(    ) A. B. C. D. 【例35】已知函数f(x)＝ 其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3f2(x)－10f(x)＋3的零点个数为(　A　) A. 4 B. 5　 C. 6 D. 3 【例36】已知函数若函数恰好有5个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）. A．(0,1] B．(0,1) C．[1,+∞) D．(1,+∞) 【例37】已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例38】已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【例39】已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【例40】定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10：二次型根的分布 【例41】已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【例42】已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【例43】已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围(    ) A. B. C. D. 【例44】已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（　　） A．    B．   C． D．[﹣5，﹣4] 【例45】已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$