专题1 集合与简单逻辑用语（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题1：集合与简单逻辑用语 知识点一 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点二 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A AB或B A 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数有2n－2个 知识点三 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 CUA＝{x|x∈U，且xA} 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(CUA)＝U；A∩(CUA)＝．CU(CUA)＝A； CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB)；CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)． 知识点四 充分条件与必要条件 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且 p是q的必要不充分条件 且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 且 2、从集合的角度： 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，　若AB，则p是q的充分不必要条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 知识点五 全称量词与存在量词 1、全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题 全称量词 存在量词 量词 所有的，任意一个 至少有一个，存在一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“” “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“.” 2、含有一个量词的命题的否定﹁ p ¬p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 · 重要结论： 命题p与¬p真假性相反； 全称量词命题可转化为恒成立命题，存在量词命题可转化为存在性问题 一、集合中常见的参数求法 1、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 3、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围. 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集。 二、充分必要条件与集合的关系 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 考点一 集合 【例1-1】若集合，集合，则的子集个数为（ ） A．5 B．6 C．16 D．32 【答案】C 【解析】由得，所以，解不等式得， 所以，所以的子集个数为.故选：C 【例1-2】已知集合，且，则a等于（ ） A．或 B． C．3 D． 【答案】D【解析】因为，当，得，则，不合题意，故舍去. 当，故(舍去)或，此时，满足.故选：D 【例1-3】设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．（3,4） 【答案】B【解析】由已知可得，集合，，因为，所以，（注意端点值是否能取到），解得，故选：D． 【例1-4】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】解不等式，得，于是，而， 因为，则，因此，解得， 所以实数的取值范围为.故选：B 【例1-5】集合 ，集合，全集，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于集合A，由或，所以，， ，故.故选：B 【变式1-1】设集合，若，则实数 ． 【答案】2【解析】当时，，此时，不符合条件；当时，，此时，符合条件；若，即，无实根，不符合条件．所以．故答案为：2. 【变式1-2】（多选题）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（ ） A．－3 B．－2 C．0 D．3 【答案】BCD【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.所以B＝，，，. 当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去；当B＝时，，解得a＝3； 当B＝时，，解得a＝－2；当B＝时，a＝0.综上可得实数a的可能取值为3，0，－2.故选： 【变式1-3】设集合或，若，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B【解析】由集合或，得， 又集合且，则2或，即或.故选：B. 【变式1-4】已知集合,，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解方程组可得或或，又因为,，则.故选：D. 考点二 常用逻辑用语 【例2-1】“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B 【例2-2】已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】若“”是“”的充分不必要条件，则，所以，解得，即的取值范围是.故选：A. 【例2-3】使成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．x<2 C． D． 【答案】C【解析】由得，所以“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误；“”是“”的充分不必要条件，故B正确；“”是“”的即不充分也不必要条件，故C错误；“”是“”的充要条件，故D错误.故选：C. 【例2-4】命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】根据全称命题的否定，可得.故选：A. 【变式2-1】已知，则“”是“为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当为纯虚数时，有，则，故“”是“为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A. 【变式2-2】已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由得：或，所以或； 由得：，所以.因为是的必要不充分条件，即且， 所以是或的真子集，所以或，解得或. 【变式2-3】若，则p成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】p：，即且，解得或，所以p：或， 对于A，是p的既不充分也不必要条件；对于B，即或，是p的必要不充分条件；对于C，即或，是p的充分不必要条件；对于D，是p的充分不必要条件；故选：B. 【变式2-4】若命题或，则为__________________. 【答案】且 1.(2025年全国·高考Ⅰ卷2）设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 2.(2025年全国·高考Ⅱ卷3）已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3. (2025年全国·天津1）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4. (2025年全国·天津2）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 5.(2024年全国·高考Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】因为，且注意到，从而. 6．（2024·全国·高考甲卷文）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是. 7．（2024·全国·高考甲卷理）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为，所以， 则， 故选：D 8．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意得.故选：C. 9．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 10.(2023年全国甲卷理科)设全集,集合，(　　) A． B． C． D． 【答案】A解析：因为整数集，，所以，．故选：A． 11.(2023年新课标全国Ⅱ卷)设集合，，若，则 (　　)． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 12.(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知集合，，则 (　　) A． B． C． D．2 【答案】C 13．(2023年全国乙卷理科)设集合，集合，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 14.(2023年新课标全国Ⅰ卷)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 15．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【详解】，故，故选：B. 16．（2022·全国·高考真题）若集合，则（       ） A． B． C． D． 【详解】，故，故选：D 17．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选: 18．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（       ） A． B． C． D． 由题意，，所以,所以. 故选：D. 19.（2022·上海·高考真题）已知，，则________ 【详解】由，根据集合交集的定义，.故答案为: 20．（2021·湖南·高考真题）已知集合，，且（       ） A． B． C． D． 【详解】因为集合，所以，故选：A. 21．（2021·江苏·高考真题）已知集合，，若，则的值是（       ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【详解】因为，若，经验证不满足题意；若，经验证满足题意.所以.故选：B. 22．（2021·天津·高考真题）设集合，则（       ） A． B． C． D． 【详解】，，.故选：C. 23．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 24．（2021·全国·高考真题）设集合，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由题设可得，故，故选：B. 25．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得：.故选：B. 26．（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由交集的定义结合题意可得：.故选：D. 27．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则=（       ） A． B． C． D． 【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，. 故选：C. 28．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 29．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B． 30．（2021·全国·高考真题（理））设集合，则（       ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以,故选：B. 31．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由题设有，故选：B . 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题1：集合与简单逻辑用语 知识点一 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点二 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A AB或 B A 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数有2n－2个 知识点三 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 CUA＝{x|x∈U，且xA} 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(CUA)＝U；A∩(CUA)＝．CU(CUA)＝A； CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB)；CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)． 知识点四 充分条件与必要条件 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且 p是q的必要不充分条件 且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 且 2、从集合的角度： 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，　若AB，则p是q的充分不必要条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 知识点五 全称量词与存在量词 1、全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题 全称量词 存在量词 量词 所有的，任意一个 至少有一个，存在一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“” “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“.” 2、含有一个量词的命题的否定﹁ p ¬p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 · 重要结论： 命题p与¬p真假性相反； 全称量词命题可转化为恒成立命题，存在量词命题可转化为存在性问题 一、集合中常见的参数求法 1、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 3、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围. 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集。 二、充分必要条件与集合的关系 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。 考点一 集合 【例1-1】若集合，集合，则的子集个数为（ ） A．5 B．6 C．16 D．32 【例1-2】已知集合，且，则a等于（ ） A．或 B． C．3 D． 【例1-3】设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．（3,4） 【例1-4】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例1-5】集合 ，集合，全集，则为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】设集合，若，则实数 ． 【变式1-2】（多选题）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（ ） A．－3 B．－2 C．0 D．3 【变式1-3】设集合或，若，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-4】已知集合,，则（ ） A． B． C． D． 考点二 常用逻辑用语 【例2-1】“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【例2-2】已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2-3】使成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．x<2 C． D． 【例2-4】命题“”的否定是（ ） A． B. C． D． 【变式2-1】已知，则“”是“为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，则p成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】若命题或，则为__________________. 1.(2025年全国·高考Ⅰ卷2）设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2.(2025年全国·高考Ⅱ卷3）已知集合则（ ） A. B. C. D. 3. (2025年全国·天津1）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. (2025年全国·天津2）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.(2024年全国·高考Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高考甲卷文）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高考甲卷理）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.(2023年全国甲卷理科)设全集,集合，(　　) A． B． C． D． 11.(2023年新课标全国Ⅱ卷)设集合，，若，则 (　　)． A．2 B．1 C． D． 12.(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知集合，，则 (　　) A． B． C． D．2 13．(2023年全国乙卷理科)设集合，集合，，则(　　) A． B． C． D． 14.(2023年新课标全国Ⅰ卷)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 15．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（       ） A． B． C． D． 16．（2022·全国·高考真题）若集合，则（       ） A． B． C． D． 17．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（       ） A． B． C． D． 18．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（       ） A． B． C． D． 19.（2022·上海·高考真题）已知，，则________ 20．（2021·湖南·高考真题）已知集合，，且（       ） A． B． C． D． 21．（2021·江苏·高考真题）已知集合，，若，则的值是（       ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 22．（2021·天津·高考真题）设集合，则（       ） A． B． C． D． 23．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（2021·全国·高考真题）设集合，则（       ） A． B． C． D． 25．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 26．（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（       ） A． B． C． D． 27．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则=（       ） A． B． C． D． 28．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 29．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 30．（2021·全国·高考真题（理））设集合，则（       ） A． B． C． D． 31．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（       ） A． B． C． D． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $