精品解析：宁夏平罗中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（重点班）

平罗中学2025-2026学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学（重点班） 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的直线倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式求解斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】过点和点的直线的斜率 又，所以. 故选：B 2. 方程表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 3. 两圆与外切，则（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆方程确定圆心和半径，结合外切关系列方程求半径即可. 【详解】由题设，两圆圆心分别为，半径都为， 根据两圆外切，则圆心距，解得. 故选：C 4. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 5. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分截距不为0和截距为0两种情况，利用待定系数法求解. 【详解】当截距不为0时，设方程为，将代入， 可得，解得， 故直线方程为，即； 当截距不为0时，设方程为，将代入， ，解得，故直线方程为，即， 故直线方程为或. 故选：B 6. “”是“方程表示椭圆”的（    ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由方程表示椭圆求出参数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：A 7. 已知圆,过点P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】记圆心为 ，由相交弦长 和圆的半径 及圆心 到过 的直线的距离 之间的勾股关系，求出弦长的最小值即可. 【详解】由题意，圆的方程可化为 ，圆心坐标为 ，半径 ， 设圆心到直线的距离为 ，则过 的直线与圆的相交弦长 ， 当直线与 所在直线垂直时， 最大，此时，当 最大时， 最小， 所以最小的弦长 . 故选：D. 8. 已知关于x的方程有两个不同的解，则实数k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把方程有两个解转化为两个函数有两个不同交点，结合图像可求 【详解】由题意得，半圆与直线有两个交点， 又直线过定点 ， 如图所示， 又点， 当直线过A点时，在AM位置时，斜率 当直线和半圆相切即在BM位置时，由半径，解得， 由图可得当时，半圆与直线有两个交点， 即方程有两个不同的实根， 综上所述： 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 的斜率为 B. 的一个方向向量为 C. 在轴上的截距为5 D. 在轴上的截距为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】化直线的方程为斜截式方程，结合直线的斜率与直线方向向量的关系，即可判断A、B、C，令，解出即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，即， 所以直线的斜率为，A正确； 对于B，根据直线的斜率，可以确定为直线的一个方向向量，B正确； 对于C，根据直线的斜截式方程，可知在轴上的截距为5，C正确； 对于D，令，解得，所以在轴上的截距为，D错误. 故选：ABC 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 圆的半径为 C. 圆关于对称 D. 直线截圆的弦长为3 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆方程求圆心和半径，判断B，C，再根据点与圆的位置关系判断A，由直线与圆的相交弦公式判断D. 【详解】∵圆的方程为， ∴ 圆心M为，半径为，B对， ∵ 圆心M在直线上， ∴圆关于对称，C对， ∵ 时 ∴点在圆内，A错， ∵ 圆心到直线距离为， ∴ 直线截圆的弦长为，D错， 故选：BC. 11. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项. 【详解】对于A，圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，，A正确； 对于B，短轴长，则，离心率．B错误； 对于C，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为．C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是．D正确； 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若直线：与直线：平行，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数，然后对参数进行检验即可求解. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得，， 当时，直线：，直线：，即，满足题意； 当时，直线：，直线：，即， 则此时两直线重合，不满足题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：2. 13. 已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义和余弦定理求出，即可求的面积； 【详解】椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则，， 根据椭圆定义可得， 则①， 在中，由余弦定理得 ②， 由①②可得， 所以的面积为； 故答案为： 14. 已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率_______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及，可求得，，结合勾股定理可求得椭圆离心率的值. 【详解】点是以、为焦点的椭圆上一点， ，，， ，可得，， 由勾股定理可得，即，， 因此，该椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分；16，17两题各15分；18，19两题共17分.共77分） 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）经过点，两点； （2）与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析可得所求椭圆的焦点在x轴上，以及可求得的值，有椭圆的标准方程形式可得答案. （2）求出椭圆的两个焦点坐标，由焦点坐标以及椭圆过可计算出，根据椭圆的标准方程写出即可. 【小问1详解】 （1）解：由题意得： ， P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设椭圆的两个焦点为F1，F2，且交点在x轴上 ， 故所求椭圆的焦点在x轴上 设椭圆方程为 由题意得，解得或 (舍去) 所以椭圆的标准方程为. 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）设直线l经过点，且l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）和． 【解析】 【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程； （2）分类讨论，斜率不存在的直线说明它是圆切线，斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数后得直线方程． 【小问1详解】 由题意，设圆心坐标为，则，解得， 所以圆心为，半径为， 圆方程为； 【小问2详解】 过且斜率不存在的直线为，它与圆相切， 斜率存在的切线设其方程为，则，解得， 直线方程为， 综上切线方程为和． 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 18. 如图，已知斜率为－2直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： （1）线段的中点M的坐标； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,，再求中点坐标即可; （2）代入求解即可. 【小问1详解】 由题意知椭圆的左焦点的坐标为,直线的方程为, 联立,消去,得, 设,,得,, 设线段的中点M的坐标为，, 点M的坐标为. 【小问2详解】 . 19. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 由已知得，又离心率，得到，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设， 联立，消得， ，得到， 由韦达定理得，， 又因为， 又原点到直线的距离为， 所以， 当且仅当，即，满足， 所以，面积的最大值为，此时直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学（重点班） 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的直线倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 3. 两圆与外切，则（ ） A. B. 5 C. D. 2 4. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 5. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. “”是“方程表示椭圆”的（    ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆,过点P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知关于x的方程有两个不同的解，则实数k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 的斜率为 B. 的一个方向向量为 C. 在轴上的截距为5 D. 在轴上的截距为5 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 圆的半径为 C. 圆关于对称 D. 直线截圆弦长为3 11. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若直线：与直线：平行，则___________． 13. 已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_______． 14. 已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率_______． 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分；16，17两题各15分；18，19两题共17分.共77分） 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）经过点，两点； （2）与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点． 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）设直线l经过点，且l与圆C相切，求直线l方程． 17. 已知线段AB端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 18. 如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： （1）线段的中点M的坐标； （2）的值． 19. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $