22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质（2）教学设计2025-2026学年 人教版（2012）九年级 数学上册

初中数学人教版（2012）九年级上册 22.1.4 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质（2） 课标分析 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节内容属于"函数"领域，要求学生掌握用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法。课标要求通过具体实例，让学生理解确定二次函数需要三个独立条件，并能根据图象上三个点的坐标建立三元一次方程组求解参数、、。教学中要注重培养学生将几何特征转化为代数方程的能力，强调三点不共线的前提条件，同时巩固解方程组的基本技能。该内容既是对一次函数知识的迁移拓展，也为后续学习更复杂函数奠定基础，体现了数形结合思想在初中数学教学中的重要性。 教材分析 本节课通过待定系数法求二次函数解析式，引导学生理解确定二次函数需要三个独立条件，通常为不在同一直线上的三个点的坐标，并通过建立关于、、的三元一次方程组求解。教学过程以问题探究引入，经历设式、列方程、解方程、写解析式的步骤，帮助学生掌握方法。该内容承接一次函数中用两点确定直线的知识，延续了“数形结合”与“方程思想”的应用，是函数学习中由特殊到一般的重要环节。本节课不仅提升学生运算能力、方程建模能力和逻辑推理能力，也为后续学习二次函数图象性质、实际应用及综合问题解决打下基础，增强学生用数学方法分析和解决问题的能力。 学情分析 九年级学生已掌握一次函数的图象与性质及用待定系数法求其解析式的方法，熟悉二元一次方程组的解法，具备一定的代数运算和逻辑推理能力，同时在学习二次函数的概念、图象及其基本性质的基础上，积累了函数学习的经验，此阶段学生抽象思维逐步发展，能通过具体问题建立方程模型，但对三元一次方程组的构建与求解仍需引导，本节课要求学生根据二次函数图象上三个不共线且任意两点连线不与轴平行的点的坐标，列出关于、、的三元一次方程组，并通过解方程组确定二次函数解析式，旨在帮助学生理解待定系数法的本质，提升方程思想与数形结合的应用能力，进一步发展数学建模和运算能力，为后续综合运用函数知识解决实际问题奠定基础。 教学目标 1. 理解待定系数法求二次函数解析式的基本思路，掌握通过不在同一直线上的三个点（任意两点连线不与轴平行）确定二次函数的方法，提升数学建模和运算能力，发展符号意识与逻辑推理核心素养。 2. 能根据已知三点坐标列出关于、、的三元一次方程组，并正确求解方程组得到二次函数解析式，增强方程思想应用能力，提高数学运算和问题解决能力。 3. 通过类比一次函数确定方法探究二次函数解析式的求法，体会知识间的联系，培养归纳推理能力和迁移学习意识，促进数学抽象与结构化思维的发展。 重点难点 重点：掌握用待定系数法求二次函数的解析式，能根据已知点坐标列方程组求解。 难点：理解由不在同一直线且两点连线不与轴平行的三点确定二次函数的原理。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了二次函数的一般式 ，请说出、、对函数图象的影响。回顾一次函数用待定系数法求解析式的步骤。 2.预习教材： 阅读教材中待定系数法求二次函数解析式部分，了解确定二次函数所需点的个数及条件，重点看通过三点坐标求解析式的过程，记录解题步骤，对不明白处做好标记。 3.问题思考： 若已知二次函数图象过两点，能否确定其解析式？若已知过三点，，，试着设出解析式并列出方程组，想想如何求解。 课堂导入 同学们，之前我们学习了一次函数，知道给出两点坐标（两点连线不与坐标轴平行）就能确定其解析式。那大家思考一下，如果现在有一个函数图象，它是抛物线，也就是二次函数，需要几个点的坐标才能确定它的解析式呢？又需要满足什么条件呢？ 不妨先看这样一个实际问题：假如有一个喷泉，水喷出的轨迹是抛物线形状，我们测量到抛物线上三个点的位置分别是，，，那如何确定这个表示喷泉轨迹的二次函数解析式呢？带着这些疑问，今天我们就一起来探究用待定系数法求二次函数的解析式。 待定系数法求函数解析式 探究新知 （一）知识精讲 同学们，我们已经学过用待定系数法求一次函数的解析式。现在让我们来探究如何用类似的方法确定二次函数的解析式。观察下图，这是一个典型的二次函数图像： 我们知道，二次函数的一般形式是，其中、、是需要确定的系数。要确定这三个系数，我们需要三个独立的条件。就像确定一次函数需要两个点的坐标一样，确定二次函数需要三个不在同一直线上的点的坐标。 让我们来看一个具体的例子：已知二次函数图像经过，，三点。我们可以设二次函数为，然后将这三个点的坐标代入，得到方程组： 解这个方程组，我们就能确定系数，，，从而得到二次函数的解析式。 （二）师生互动 教师提问：同学们，为什么确定二次函数需要三个点的坐标，而确定一次函数只需要两个点的坐标呢？ 学生回答：因为二次函数有三个待定系数、、，所以需要三个独立的条件来确定它们。 教师追问：很好！那如果给出的三个点在同一条直线上，我们还能确定一个二次函数吗？ 学生思考后回答：不能，因为三个共线的点可以确定一条直线，也就是一个一次函数，但无法确定唯一的二次函数。 教师继续引导：说得对！那么在实际应用中，我们如何判断三个点是否共线呢？ 学生回答：可以计算任意两点的斜率，如果三个点中任意两点的斜率都相同，就说明它们在同一条直线上。 （三）设计意图 通过类比一次函数的确定方法，引导学生理解二次函数系数的确定原理，培养学生的类比推理能力。通过具体例题的讲解和求解过程，帮助学生掌握待定系数法的应用技巧，提升学生的代数运算能力。通过师生互动中的层层设问，引导学生深入思考确定二次函数的条件，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。整个探究过程注重从具体到抽象的思维发展，让学生体会数学方法的普适性和严谨性。 新知应用 例1：如果一个二次函数的图象经过，，三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式。 解答： 我们知道，二次函数的一般形式是： 其中，、、 是未知的系数，我们需要通过已知条件来确定它们的值。这种方法叫做待定系数法。 题目告诉我们，这个二次函数的图象经过三个点：、、。也就是说，当 时，；当 时，；当 时，。我们将这三个点代入一般式，得到三个方程。 第一步：代入点 第二步：代入点 第三步：代入点 现在我们得到了一个关于 、、 的三元一次方程组： 接下来我们解这个方程组。 第四步：消元法解方程组 先用 (2) 减去 (1)： 把 代入 (1) 和 (2) 中简化。 代入 (1)： 代入 (2)： 结果一致，说明没有矛盾。 再将 代入 (3)： 现在我们有两个关于 和 的方程： 用 (5) 减去 (4)： 将 代入 (4)： 所以解得： 因此，所求的二次函数解析式为： 总结 1.题目考查内容 ① 二次函数解析式的概念与一般形式 ； ② 待定系数法的基本思想：通过已知点坐标建立方程组求解未知系数； ③ 三元一次方程组的解法（代入法或加减法）。 2.题目求解要点 ① 设出二次函数的一般式 ； ② 将三个已知点的坐标依次代入，列出三个关于 、、 的方程； ③ 组成三元一次方程组，并使用消元法逐步求解； ④ 检验解是否满足所有原方程（本题中已自然验证）； ⑤ 写出最终的函数解析式。 注意：三个点必须不在同一条直线上，且任意两点连线不与 轴平行（即横坐标不同），才能唯一确定一个二次函数。本题中三点横坐标分别为 ，互不相同，且不在同一直线，满足条件。 板书设计 待定系数法求二次函数解析式 探究 (1) 确定条件 需不在同一直线上的三点（任意两点连线不与轴平行） 理由：确定中，，的值 (2) 求解示例 设 列方程组： 得解析式： 归纳 步骤： 设 依条件列关于，，的方程组 求解得，，，写解析式 教学反思 本节课围绕待定系数法求二次函数解析式展开，通过探究三个不共线且任意两点连线不与轴平行的点能否确定一个二次函数，引导学生类比一次函数的求解方法，建立三元一次方程组求解系数、、。教学设计符合课标要求，注重知识迁移与逻辑推理，学生能积极参与并掌握基本步骤。成功之处在于通过具体实例让学生经历“设、列、解、写”的完整过程，强化了数学建模思想；不足之处在于对三点为何不能共线的几何意义讲解不够深入，部分学生对方程组的消元过程存在计算困难，后续需加强代数运算指导与几何直观结合，提升学生综合理解能力。 学科网（北京）股份有限公司 $