2.3　用公式法求解一元二次方程 课件 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 用公式法求解一元二次方程(第1课时) 课堂·精要 课堂·精练 课堂·延伸 目 录 中考·链接 课堂·精要 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由　　　　　来判定．我们把　 　　叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．  对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， ①当b2－4ac＞0时，方程　　　 　　　；  ②当b2－4ac＝0时，方程　　　 　　　；  ③当b2－4ac＜0时，方程　　　　　 　．  2．一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是　　　　　　　　　　　． x＝ b2－4ac b2－4ac 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 基础巩固 1． 若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是(　　)．　 A．3x2＋2x－1＝0　 B．2x2＋4x－1＝0 C．－x2－2x＋3＝0　 D．3x2－2x－1＝0 课堂·精练 D 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 2． 方程x2－x＋3＝0的根的情况是(　　)． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 C 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 3．下列方程中，没有实数根的是(　　)． A．x2－6x＋9＝0　　　 B．x2－2x＋3＝0 C．x2－x＝0　　　 D．(x＋2)(x－1)＝0 B 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 4．方程(2x－1)(x＋3)＝15的根的判别式的值是　　　．　  5． 若关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　　 　．  6．若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为　　　 　． m＜ 4 169 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 7．用公式法解下列方程： (1)x(x＋4)＋5＝0； (2)x2＋16＝8x； (3)6(x＋3)＝x(x＋3)；　 (4)x2－4x－＝0． 解：(1)方程没有实数根. (2)x1＝x2＝4. (3)x1＝6，x2＝－3. (4)x1＝，x2＝. 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 强化提高 8．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是(　　)． A．0 B．－1 C．－2 D．－3 9．若关于x的方程(1－k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)．　 A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1 D．k＞－2且k≠1 C B 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 10．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝　　 　，b＝　 　 　． 2(答案不唯一) 1 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 11．用适当方法解下列方程： (1)x2＋4x－1＝0； (2)3x2－2＝4x； (3)x2－3x＝1； (4)(y＋2)2－6＝0． 解：(1)x1＝－2＋，x2＝－2－. (2)x1＝，x2＝. (3)x1＝，x2＝. (4)y1＝－2＋2，y2＝－2－2. 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 课堂·延伸 定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，如4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6，若x*k＝x(k为实数) 是关于x的方程，求它的根的情况． 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 解：根据新运算法则可得：x*k＝(x＋k)(x－k)－1＝x2－k2－1，则x*k＝x即为x2－k2－1＝x， 整理得x2－x－k2－1＝0， 则a＝1，b＝－1，c＝－k2－1， 可得Δ＝(－1)2－4×1×(－k2－1)＝4k2＋5. ∵k2≥0， ∴4k2＋5≥5，∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 中考·链接 (2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是(　　)． A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0 C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2 B 5　用公式法求解一元二次方程(第1课时) -- 返回目录 放映结束，谢谢观看! $第二章　一元二次方程 用公式法求解一元二次方程(第2课时) 课堂·精要 课堂·精练 课堂·延伸 目 录 中考·链接 课堂·精要 利用一元二次方程解决实际问题时应注意：当一元二次方程有两个根时，虽然这些根都满足所列的一元二次方程，但未必符合　　　　，因此利用一元二次方程解决实际问题时，一定要将最后结果进行　　　　． 实际　 检验 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 课堂·精练 基础巩固 1．把一块长80 cm、宽60 cm的矩形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1 500 cm2的无盖长方体盒子．设小正方形的边长为x cm，则可列出方程(　　)．　 A．x2－70x＋825＝0 B．x2＋70x－825＝0 C．x2－70x－825＝0 D．x2＋70x＋825＝0 A 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 2．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是(　　)．   A．7 m　 B．8 m C．9 m　　 D．10 m A 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 3．一个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个群里的好友个数为　 　　．  4．某市体委要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x支球队参加比赛，则每队共打　　 　场比赛，比赛总场数用代数式表示为　　　　，根据题意，可列出方程　　　　　　　 　；整理得　　　　　　　；解这个方程，得　　　 　　　　；经检验，符合实际的解为　　　　　．  答：应邀请　　　支球队参加比赛． 30 (x－1) 　 ＝28 x2－x－56＝0　 x1＝8，x2＝－7　 x＝8　 8 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 5．两个正方形的面积和为106 cm2，它们的周长差是16 cm，求这两个正方形的边长分别为多少． 解：设较小正方形的周长为x cm，则较大正方形的周长为(x＋16)cm.由题意列方程：（）2＋（）2＝106，解得x＝20(x＝－36舍去)，所以这两个正方形的边长分别为5 cm，9 cm.　 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 6．如图，有一块矩形空地，一边靠着20 m的墙，另三边由一根长35 m的铁丝围成，已知这块矩形空地的面积为125 m2，求它的长和宽． 解：设垂直于墙面的矩形的边长为x m，由题意得x·(35－2x)＝125，整理得2x2－35x＋125＝0，解得x1＝，x2＝5.又因为0<35－2x<20， 所以x＝，所以它的长和宽分别为 m，10 m. 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 强化提高 7．如图，某小区规划在长32 m、宽20 m的矩形场地ABCD上修建3条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种草，若使草坪的面积为442 m2，求小路的宽为多少． 解：设小路的宽为x m，由题意得(32－2x)(20－x)＝442，整理得x2－36x＋99＝0，解得x1＝3，x2＝33(舍去)，所以小路的宽为3 m. 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 8． 在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成矩形地面的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2，求这个矩形地面的长． 解： 设这个矩形地面的长是x m，则依题意得 x(20－x)＝96， 解得x1＝12，x2＝8(舍去). 答：这个矩形地面的长是12 m. 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 课堂·延伸 阅读下列材料： 已知方程x2＋x－5＝0，求一个一元二次方程，使得它的根分别是已知方程根的3倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝3x，即x＝． 把x＝代入已知方程，得－5＝0． 化简，得y2＋3y－45＝0． 故所求方程为y2＋3y－45＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)． 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 (1)已知方程x2＋x－3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍，则所求方程为　　　　 　　 　；  (2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． y2＋2y－12＝0 (2)设所求方程的根为y，则y＝－x(x≠0)，于是x＝－y(y≠0). 把x＝－y代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a(－y)2＋b(－y)＋c＝0. 化简，得ay2－by＋c＝0. 若c＝0，有ax2＋bx＝0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意， 所以c≠0. 故所求方程为ay2－by＋c＝0(c≠0). 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 中考·链接 (2023·黑龙江)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2， 则小路的宽是(　　)．  A．5 m B．70 m C．5 m或70m D．10 m A 6　用公式法求解一元二次方程(第2课时) -- 返回目录 放映结束，谢谢观看! $