专题05 椭圆、直线与椭圆的位置关系12考点（期中真题汇编，吉林专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题05 椭圆、直线与椭圆的位置关系 12大高频考点概览 考点01 由方程表示椭圆求参数的取值范围 考点02 求解椭圆的标准方程 考点03 椭圆定义 考点04焦点三角形周长 考点05焦点三角形面积 考点06 椭圆中的和差距离等最值问题 考点07 椭圆的离心率 考点08 离心率的最值与取值范围 考点09 直线与椭圆的位置关系 考点10 椭圆的中点弦问题 考点11 椭圆中的定值、定点问题 考点12 椭圆中的弦长与面积问题 地 城 考点01 由方程表示椭圆求参数的取值范围 1．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线C为圆 B．曲线C为椭圆的充要条件是 C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 D．存在实数k使得曲线C为抛物线 2．(23-24高二上·吉林通化辉南县第六中学·月考)（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 3．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C是圆 B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D．曲线C可以是抛物线 4．(24-25高二上·吉林·期中)（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．若，则是椭圆，其离心率为 D．若，则是双曲线，其离心率为 5．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 地 城 考点02 求解椭圆的标准方程 1．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 5．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 6．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)（多选）如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的短轴长为2 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为 8．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且； (2)焦点在坐标轴上，且经过两个点. 9．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 椭圆定义 1．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)下列说法中正确的是（    ） A．已知，平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知，平面内到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点距离相等的点的轨迹是椭圆 3．(24-25高二上·吉林八校·期中)椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 4．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)椭圆的左、右顶点分别为、、为椭圆上任意一点，则直线和直线的斜率之积等于 ． 5．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)已知O为坐标原点，设分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过点作的外角平分线的垂线，垂足为H，则 6．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值为4 B．存在点，使得 C．若点不与、重合，则直线与的斜率之积为定值 D．椭圆与直线总有两个不同交点 7．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 8．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（   ） A．5 B．10 C．5 D．5 9．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8 10．(24-25高二上·吉林八校·期中)1．（多选）已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 地 城 考点04 焦点三角形的周长 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 2．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1､F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（    ） A．12 B．24 C．24 D．18 3．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（    ） A．椭圆离心率为 B．的最大值为3 C． D． 4．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)（多选）已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ） A． B．当时，的面积为 C． D．的周长的最大值为 5．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 6．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过. (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长. 7．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为 ． 地 城 考点05 焦点三角形的面积 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 2．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A．的面积为 B．内切圆的面积为 C．点P的纵坐标为 D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 3．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．△面积的最大值为10 4．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的面积． 5．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（    ） A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 C．的面积等于 D．直线l的斜率为 地 城 考点06 椭圆中的和差距离等最值问题 1．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高二上·吉林·期中)已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最短路程是 ． 5．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 7．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为 . 8．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)（多选）已知椭圆，下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是 B．椭圆的短半轴长是4 C．经过椭圆焦点的最短弦长是 D．椭圆的焦点坐标分别是 地 城 考点07 椭圆的离心率 1．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（    ）． A． B． C． D． 5．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（    ）    A． B． C． D． 6．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知椭圆:的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)下列四个椭圆中，形状最扁的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为 ． 10．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中是坐标原点），则椭圆的离心率为 ． 11．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 . 12．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为 . 13．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于A，B两点，，且，则椭圆的离心率是 ． 14．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ． 地 城 考点08 离心率的最值与取值范围 1．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是 ． 地 城 考点09 直线与椭圆的位置关系 1．(24-25高二上·吉林四平·期中)椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且C的离心率为，则C的长轴长为 ；直线l：与C交于M，N两点，若以为直径的圆过点，则k的值为 . 2．(24-25高二上·吉林·期中)已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 3．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l1，l2与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N. （1）若直线OM的斜率为，求直线l1的方程； （2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点. 4．(24-25高二上·吉林·期中)已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 5．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知椭圆过点，且长轴长等于4． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值． 6．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上是否存在关于直线对称的两点､，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 地 城 考点10 椭圆的中点弦问题 1．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知直线与直线平行，且与椭圆的交点为，，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．-4 D．4 3．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)以原点为对称中心的椭圆C1，C2焦点分别在x轴，y轴，离心率分别为e1，e2，直线l交C1，C2所得的弦中点分别为，若，则直线l的斜率为 ． 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 地 城 考点11 椭圆中的定值定点问题 1．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为． (1)求曲线的方程； (2)求的取值范围； (3)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值． 2．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. (2)设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 4．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 5．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，是椭圆上一点． （1）求椭圆方程的离心率 （2）若为椭圆上异于顶点的任意一点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 地 城 考点12 椭圆中的弦长与面积问题 1．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)（多选）已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于原点对称 C．面积的最大值为2 D．的取值范围为 3．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 . 4．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知椭圆，若点、在椭圆上. (1)求的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线、分别交椭圆于两点、. （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 5．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的离心率，一个焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程. 6．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知椭圆的离心率为，过椭圆E的左焦点且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两点，O为坐标原点，的面积为. （1）求椭圆E的方程； （2）点M，N为椭圆E上不同两点，若，求证：的面积为定值. 7．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)在中，已知点边上的中线长与边上的中线长之和为，记的重心G的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)若圆，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值． 8．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为. (1)求的方程； (2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围. 9．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知椭圆：的长轴长等于6，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，求的面积. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆、直线与椭圆的位置关系 12大高频考点概览 考点01 由方程表示椭圆求参数的取值范围 考点02 求解椭圆的标准方程 考点03 椭圆定义 考点04焦点三角形周长 考点05焦点三角形面积 考点06 椭圆中的和差距离等最值问题 考点07 椭圆的离心率 考点08 离心率的最值与取值范围 考点09 直线与椭圆的位置关系 考点10 椭圆的中点弦问题 考点11 椭圆中的定值、定点问题 考点12 椭圆中的弦长与面积问题 地 城 考点01 由方程表示椭圆求参数的取值范围 1．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线C为圆 B．曲线C为椭圆的充要条件是 C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 D．存在实数k使得曲线C为抛物线 【答案】AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解. 【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确； 对于B，若曲线C为椭圆，则，且，所以B错误； 对于C，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，，解得，所以C正确； 对于D，曲线C不存在x，y的一次项，所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误． 故选：AC. 2．(23-24高二上·吉林通化辉南县第六中学·月考)（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项. 【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误； B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确； C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确. 故选：BCD. 3．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C是圆 B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D．曲线C可以是抛物线 【答案】AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案. 【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点， 半径为的圆，所以A选项正确. B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误. C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确. D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是， 所以曲线不可能是抛物线，D选项错误. 故选：AC 4．(24-25高二上·吉林·期中)（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．若，则是椭圆，其离心率为 D．若，则是双曲线，其离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的标准方程，分析椭圆的性质，可判断AC的真假；根据双曲线的标准方程，分析其性质，可判断BD的真假. 【详解】若，则的方程可整理成，其表示焦点在轴上的椭圆，所以A正确； 若，则的方程可整理成，其表示双曲线，渐近线方程为，所以B不正确； 若，则的方程可整理成，其表示椭圆，离心率为，所以C正确； 若，则的方程可整理成，其表示双曲线，离心率为，所以D正确. 故选：ACD 5．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 地 城 考点02 求解椭圆的标准方程 1．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的长轴长为6求解. 【详解】解：双曲线的焦点坐标为：， 即椭圆的焦点为， 又长轴长为6，即， 所以椭圆的方程为， 故选：B 2．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出椭圆的标准方程. 【详解】由题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由题意可得：，解得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：A. 3．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 4．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出长轴长. 【详解】椭圆的面积，即①. 因为点P为椭圆C的上顶点，所以. 因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以. 因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：② ①②联立解得：. 所以椭圆C的长轴长为2a=6. 故选：B 5．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 6．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B 7．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)（多选）如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的短轴长为2 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为 【答案】CD 【分析】由图形特征，可得椭圆的短轴长和椭圆的长轴长，计算离心率和方程，验证各选项. 【详解】由题意，椭圆的短轴长与圆柱底面直径相等，即椭圆的短半轴长，短轴长为，B选项错误； 截面与底面所成的角为，则椭圆的长轴长为，得，A选项错误； ，离心率为，C选项正确； 当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上时，则椭圆的方程为，D选项正确. 故选：CD． 8．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且； (2)焦点在坐标轴上，且经过两个点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆定义求出，将点代入方程求出得解； （2）待定系数法求解即可求得椭圆的标准方程. 【详解】（1）由题设椭圆方程为，， ，即， 将点代入方程，可得， 所以椭圆方程为. （2）设椭圆的方程为， 将点，代入椭圆的方程， 得，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 9．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可. 【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，. 因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点， 设双曲线方程为，则有，，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 地 城 考点03 椭圆定义 1．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义列式计算得解. 【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7， 所以到另一个焦点的距离为. 故选：A 2．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)下列说法中正确的是（    ） A．已知，平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知，平面内到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及限制条件可判断. 【详解】对于A，，则平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误； 对于B，平面内到两点的距离之和等于6，小于，这样的点不存在，所以B错误； 对于C，点到两点的距离之和为，则所求动点的轨迹是椭圆，所以C正确； 对于D，平面内到距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，所以D错误. 故选：C. 【点睛】本题考查对椭圆定义的理解，属于基础题. 3．(24-25高二上·吉林八校·期中)椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 【答案】 【分析】现根据椭圆方程得到的值，再结合椭圆的几何性质及定义即可求解. 【详解】由椭圆， 则，即， 所以短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. 故答案为：2 ；. 4．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)椭圆的左、右顶点分别为、、为椭圆上任意一点，则直线和直线的斜率之积等于 ． 【答案】 【解析】根据椭圆的性质，斜率之积为定值，代值计算即可. 【详解】根据椭圆的性质，. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的性质，需要牢记圆锥曲线中的结论. 5．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)已知O为坐标原点，设分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过点作的外角平分线的垂线，垂足为H，则 【答案】 【分析】作出图形，结合平面几何的知识推得是的中点，从而利用中位线定理与椭圆的定义即可得解. 【详解】因为椭圆方程为，所以，， 如图，延长交于， 因为是的外角平分线，， 所以由平面几何的知识易得， 则，即是的中点，且， 又是的中点， 所以. 故答案为：. 6．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值为4 B．存在点，使得 C．若点不与、重合，则直线与的斜率之积为定值 D．椭圆与直线总有两个不同交点 【答案】ACD 【分析】选项A，根据椭圆定义结合均值不等式求最值；选项B，利用椭圆性质判断是否存在这样的点；选项C，设出点坐标，根据斜率公式计算斜率之积；选项D，直曲联立，判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】选项A，根据椭圆的定义，，由均值不等式，所以，即， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，A选项正确.   选项B,设点在椭圆上，焦点，. 根据向量的数量积，，. 又因为，即，代入上式得. 因为，所以，，所以不存在点，使得，B选项错误.   选项C,设，，. 则直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 则，C选项正确.   选项D,直线可化为，与联立， 把代入椭圆方程. 展开整理得. . 则椭圆与直线总有两个不同交点，D选项正确. 故选：ACD. 7．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的a、b、c即可判断求解． 【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率， 因为，所以， 曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中，，， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率 故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对； 故选：B 8．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（   ） A．5 B．10 C．5 D．5 【答案】A 【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解. 【详解】，所以；又因为， 得，所以. 故选：A. 9．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8 【答案】D 【解析】分焦点在轴或轴两种情况，讨论椭圆的长轴长. 【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，则， 离心率，则 ，椭圆的长轴长. 当椭圆的焦点在轴时，，，则， 离心率，则， 此时椭圆的长轴长. 综上可知，椭圆的长轴长为4或8. 故选：D 10．(24-25高二上·吉林八校·期中)1．（多选）已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆几何性质逐一判断即可. 【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为10，顶点为，焦距为8，离心率. 故选：ACD 地 城 考点04 焦点三角形的周长 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求解出焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1､F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（    ） A．12 B．24 C．24 D．18 【答案】B 【解析】先根据离心率和短轴的长求得长轴的长，进而利用椭圆的定义求得所求三角形的周长. 【详解】离心率为，设则 短轴长为 ，,，, ,的周长= =, 故选：B. 【点睛】在椭圆的焦点三角形中，利用椭圆定义求周长是常用的方法，一般地，的周长为长轴长的两倍. 3．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（    ） A．椭圆离心率为 B．的最大值为3 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的方程求得，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A中，由椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，由椭圆的几何性质，当点为椭圆的右顶点时，可得， 所以B正确； 对于C中，当点为椭圆的短轴的端点时，可得，， 所以，根据椭圆的几何性质，可得，所以C正确； 对于D中，由椭圆的定义，可得，所以D错误. 故选：ABC. 4．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)（多选）已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ） A． B．当时，的面积为 C． D．的周长的最大值为 【答案】AC 【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解. 【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确； 当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误； 因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点， ∵，则直线， 联立方程，得到 ∴， ∵在椭圆上，则，即 ∴ 同理， 于是 ， 故C项正确； 设椭圆的右焦点为， 当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为， 如果不经过右焦点，则连接，， 可知的周长小于， 所以的周长的最大值为，故D项错误. 故选：AC. 5．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】1）根据给定条件，结合等腰直角三角形性质求出即可. （2）令，，根据给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出，进而求出四边形周长. 【详解】（1）由椭圆定义知，，， 由，得， 若，则为等腰直角三角形，，解得， 所以C的方程为. （2）若，不妨设，，则，且， ，. 由，点P在y轴上，且， 得，且， 由余弦定理得， 整理得，而，则， 同理得， 即，整理得， 令此方程二根为，则，，即有， 则， 解得， 所以四边形AF1BF2的周长为. 6．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过. (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长. 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据焦距可求，根据所过点可求，进而得到方程； （2）利用椭圆的定义可得的周长为，代入可得答案. 【详解】（1）设焦距为，由，得， 又椭圆过，∴， 得， ∴椭圆的标准方程为； （2）动直线l过与椭圆交于A、B两点， ∴，， ∴， ∴的周长为20.    7．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长. 【详解】由，是半椭圆的焦点，得，， 由是半椭圆的焦点，得， 则，， 所以的周长为. 故答案为： 地 城 考点05 焦点三角形的面积 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积. 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 2．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A．的面积为 B．内切圆的面积为 C．点P的纵坐标为 D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理求出即可判断A，根据三角形面积求出内切圆半径即可判定B，根据三角形面积建立关系求解判断C，根据椭圆的有界性可判断D. 【详解】对于A：根据椭圆定义可得，则， 在中，由余弦定理， 由①②可得， 所以得面积为，故A错误； 对于B：设内切圆半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故B正确； 对于C：因为的面积为，则， 解得，故C错误； 对于D：设，则，， ， 则当时，的最大值为5，故D错误； 故选：B. 3．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．△面积的最大值为10 【答案】ABC 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由椭圆方程知：， ∴，故A正确. ，，故B正确. ，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为，故C正确，D错误. 故选：ABC 4．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设，设，应用数量积的坐标表示及椭圆的有界性求范围； （2）由椭圆定义及余弦定理求得，利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）由题设，则， 设，故， 所以，又，且， 则. （2）由题设，， 由，且， 所以 ， 综上，.    5．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（    ） A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 C．的面积等于 D．直线l的斜率为 【答案】ABC 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得C正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于. 【详解】对于选项A：因为， 不妨设， 又因为，可得； 利用椭圆定义可知，所以； 即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：    由，可知满足， 所以，故A正确； 对于选项B：在等腰直角三角形中，易知， 即可得离心率，故B正确； 对于选项C：因为为等腰直角三角形，且， 因此的面积为，故C正确； 此时可得直线的斜率，故D错误； 故选：ABC. 地 城 考点06 椭圆中的和差距离等最值问题 1．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标出椭圆的右焦点，利用椭圆定义转换|PF|，利用平面几何知识即可得最大值﹒ 【详解】由题意，点为椭圆的左焦点，∴． ∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图， 设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆定义知，． ∵， ∴，当在线段上时，等号成立. 即要求的最大值为， 故选：D． 2．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设椭圆的另一个焦点为，根据椭圆的定义得，根据中位线定理即可求出的值． 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆的另一个焦点为，则， 而是的中位线，所以． 故选：B． 3．(24-25高二上·吉林·期中)已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最短路程是 ． 【答案】/ 【分析】由已知，根据题意给的椭圆方程，得到，，借助椭圆的性质，可直接求解最短路程. 【详解】由已知，椭圆方程为，所以，， 由题意可知，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，根据椭圆的性质可知，小球经过的最短路程. 故答案为：. 5．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到. 【详解】椭圆中，.    如图，由得， ∴， ∴当取最小值时，最小. 由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，， ∴. 故选：C. 6．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，即可判断A，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即可判断BD，根据即可判断C. 【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 7．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可. 【详解】不妨设点为，，则，则 设圆的圆心为，则坐标为 则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差. 又 当时，，当且仅当时取得等号； 故. 故答案为：. 8．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)（多选）已知椭圆，下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是 B．椭圆的短半轴长是4 C．经过椭圆焦点的最短弦长是 D．椭圆的焦点坐标分别是 【答案】AC 【分析】根据椭圆的几何性质求解判断. 【详解】因为椭圆方程为，所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为， 经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，， 所以A正确，B错误，C正确，D错误. 故选：AC. 地 城 考点07 椭圆的离心率 1．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，与椭圆交于点，连结， 由题意可知，的边长为，点是的中点， 所以，，   ，所以. 故选：B 2．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设， 则切线，即，切线的斜率， 直线的斜率，则，所以. 故选：C 3．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解. 【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，， 因此， 又椭圆的离心率， 故选：A. 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正六边形的性质得到，再利用椭圆的定义得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，， 四个不同的点， 由题意知，则由正六边形的性质可得，． 由椭圆定义得， 所以， 故选：C. 5．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率. 【详解】根据题意：，，解得，， 故离心率. 故选：D 6．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知椭圆:的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等得到是等边三角形，得到与和的关系，得到离心率的值. 【详解】    连接，， 由题意得，， 易知， ，， ， ，， ， 是等边三角形，， ，， . 故选：C 7．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解. 【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形， 则椭圆的离心率为. 故选：A.    8．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)下列四个椭圆中，形状最扁的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得的关系，即可求解. 【详解】由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足， 因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁， 所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁． 故选：A. 9．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可 【详解】如图，取线段的中点M，连接， 因为，， 所以，且， 所以， 设， 所以C的离心率为 ， 故答案为： 10．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中是坐标原点），则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，然后利用已知条件求出三边的比例，再利用椭圆的定义求出和与的关系式，最后利用即得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为. 由于三点共线，故由椭圆的对称性知， 而，故四边形是平行四边形.又因为，故四边形是矩形. 由于四边形是矩形，故， . 从而可设， 此时，解得， 所以，所认， 最后由，得到， 即，故.从而椭圆的离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究的三边，从而避免直接直线与椭圆联立导致繁杂的计算. 11．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率. 【详解】因为，所以， 即， 所以，所以. 设，则，所以， 由得， 所以，所以， 在中，由， 得，所以.    故答案为: . 12．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设关于平分线的对称点为Q，根据题意可得三点共线，设，则，在利用余弦定理先求，然后由椭圆定义可求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案. 【详解】设关于平分线的对称点为Q， 则三点共线， 设，则， 又，所以在中，由余弦定理有： ，即 由椭圆定义可知，可得 所以 在中，由余弦定理可得： ， 即，所以， 所以. 故答案为： 13．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于A，B两点，，且，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆作出图形，由椭圆的定义，结合余弦定理可得a与、c与的关系，根据椭圆的离心率的定义即可求解. 【详解】如图，连接， 由椭圆的对称性可知，， 因为，所以， 由椭圆的定义，知， 所以，由， 得， 整理，得，即， 所以. 故答案为：. 14．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ． 【答案】 【分析】结合已知条件，利用椭圆的对称性和等边三角形的边长相等即可求解. 【详解】不妨设椭圆的方程为：，，右焦点， 若要椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的另外两个顶点为和， 从而，即， 又由，从而， 故离心率. 故答案为：. 地 城 考点08 离心率的最值与取值范围 1．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围. 【详解】，故在为直径的圆上，即， 圆在椭圆内部，故，，故. 故选：B. 2．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解. 【详解】因为，所以， 由椭圆的定义得：，解得， 因为，所以， 两边同除以a得，解得 ， 因为 ，所以， 所以该离心率的取值范围是 故选：D. 3．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，设，得到，由椭圆定义和勾股定理得到方程，得到，故，设，，由对勾函数性质得到函数单调性，从而得到，求出离心率的取值范围，得到最大值. 【详解】连接，设， 因为点在第一象限，所以， 由对称性可知， 因为，所以，即， 由椭圆定义可得， 由圆的性质得⊥，由勾股定理得， 所以，即， 因为， 设，，则， 由对勾函数性质，单调递增， 所以，即， 当时，解得，即，解得 当时，解得，即，解得， 综上，所以C的离心率的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 地 城 考点09 直线与椭圆的位置关系 1．(24-25高二上·吉林四平·期中)椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且C的离心率为，则C的长轴长为 ；直线l：与C交于M，N两点，若以为直径的圆过点，则k的值为 . 【答案】 【分析】根据已知条件列方程组来求得，进而求得长轴长；联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，根据列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，解得， 所以长轴长，椭圆方程为， 由消去并化简得， ，解得或， 设，则， 由于以为直径的圆过点， 所以，即， 即， ， ， ， ，解得，符合题意. 所以的值为 故答案为：；    【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及四边形的面积”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程. 2．(24-25高二上·吉林·期中)已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在 【分析】（1）直曲联立，求出交点，证明即可； （2）令，得坐标，求出直线方程，求出交点，得到动点的轨迹的方程. （3）设直线的方程为，直曲联立，借助韦达定理，得到,联立，方程，得到满足的条件即可. 【详解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    3．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l1，l2与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N. （1）若直线OM的斜率为，求直线l1的方程； （2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线AP的方程为x=ty+3(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可求得再由直线OM的斜率为，可求出的值，从而可得直线l1的方程； （2）①当直线的斜率不存在时，设，从而可表示出的坐标，再由OM⊥ON，可得的关系，再结合点在椭圆上，可求出，从而可得直线的方程，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程，消去，利用根与系数的关系结合可得，得不满足题意，，从而可得直线过定点 【详解】解：（1）设直线AP的方程为x=ty+3(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，得， 所以所以， 所以因为所以，解得， 所以直线的方程为. （2）①当直线的斜率不存在时，设， 则由，有 所以所以 因为， 所以，所以直线的方程为. ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m， 联立椭圆的方程得， 所以， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由， 由，可得， 即， 所以， 所以， 即， 当时，直线过椭圆的左顶点，不满足题意，当时，直线过定点，且满足， 综上所述，直线过定点 4．(24-25高二上·吉林·期中)已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，根据椭圆的几何性质求得，即得椭圆方程； （2）设，利用点差法化简，得，代入弦的中点坐标，求出直线斜率，即得其方程. 【详解】（1）由题意可知 则，所以椭圆的方程为. （2）    由题意直线l的斜率存在，如图，设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 5．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知椭圆过点，且长轴长等于4． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的概念及过点的坐标待定系数计算即可； （2）先利用直线与圆相切得出，再利用韦达定理及向量数量积计算即可. 【详解】（1）由题意，椭圆的长轴长，得， 因为点在椭圆上，所以得， 所以椭圆的方程为； （2）由直线与圆相切，得，即， 设，由 消去，整理得． 由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交， 所以， ， 所以， 因为，所以． 又因为，所以， 得的值为. 6．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上是否存在关于直线对称的两点､，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，直线的方程. 【解析】（1）先利用同焦点确定c，再根据离心率求得，，即得结果； （2）先利用对称设出的方程，联立方程利用韦达定理得中点，根据中点在直线上即求得参数t，再检验此时方程的判别式大于零，方程有解，即得结果. 【详解】（1）依题意， 又 ，即，， 椭圆的方程为 （2）设，，点､关于直线对称， 故可设的方程为，且的中点在直线上，满足， 将的方程代入椭圆方程得：(*) ， 故，解得：. 此时，(*)式为：，判别式，的方程为，即， 故椭圆上存在，关于直线对称，直线的方程为. 【点睛】方法点睛： 对椭圆上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用一下两种方法: (1) 先设出直线方程，再联立方程得到二次方程，利用韦达定理得到中点坐标，根据题意解决相关问题. (2) “点差法”，其中直线的斜率，中点坐标为M，点代入椭圆方程作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式，解决相关问题． 地 城 考点10 椭圆的中点弦问题 1．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知直线与直线平行，且与椭圆的交点为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点在椭圆上，结合斜率，利用点差法可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为，即， 因为，都在椭圆上， 所以，， 则， 即， 所以， 所以， 故选：A. 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案. 【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得. 故选：A. 3．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)以原点为对称中心的椭圆C1，C2焦点分别在x轴，y轴，离心率分别为e1，e2，直线l交C1，C2所得的弦中点分别为，若，则直线l的斜率为 ． 【答案】±1． 【分析】利用点差法可得，，进而可得，然后结合条件即求. 【详解】设椭圆，椭圆， 设直线l与C1的交点为，直线l的斜率为， 则， ∴，即， ∴， 同理可得， 又， ∴ ，， 又， ∴，即， ∴，. 故答案为：. 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. （3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . （3）设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 地 城 考点11 椭圆中的定值定点问题 1．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为． (1)求曲线的方程； (2)求的取值范围； (3)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的定义求标准方程； （2）若直线与轴重合，直接计算，若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点，直线方程代入椭圆方程消元后应用韦达定理得，然后由点的坐标及参数计算，代入韦达定理的结论得关于的函数，再求得其范围； （3）在（2）的基础上计算可得． 【详解】（1）连接，则．设点圆的圆心，半径为4，，   点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距， 曲线的方程为． （2）（法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则； ②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点， 联立，消去，得， 则， 由韦达定理得， 由弦长公式可得 ， ，则． 综上所述，的取值范围是． （2）（法二）分以下两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，，不妨设； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点， 联立，消去，得，则， 由韦达定理得， 由弦长公式可得 ． 综上所述，的取值范围是． （2）（法三）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则 ②若直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点，， 联立，消去，得，则， 由韦达定理得， ， ，则． 综上所述，的取值范围是． （3）（法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，点都在轴上， ②若直线不与轴重合，由（2）知，直线的方程为，点， ， 综上所述：． （3）（法二）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，； ②若直线不与轴垂直，由（2）知，直线的方程为， 设点， 综上所述：． 【点睛】方法点睛：椭圆中范围或定值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求范围或定值的量，如本题中线段积或斜率和，如果是范围则可转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得范围，如果是定值，则代入后化简可得定值． 2．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. (2)设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解； （2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证. 【详解】（1）设，由，得. 由，得. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且， 所以可化为，所以， 则，故的取值范围为. （2）由得，化简得曲线的方程为， 则的右焦点为，设，， （i）联立，得， 则，且， 所以， （ii）联立，得， 则，且， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 ， 当时，， 故直线过定点. 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)＝1，＝1 (2)存在 【分析】（1）根据椭圆离心率，及焦点三角形周长，即可求得a，c的值，进而可得椭圆方程；设双曲线方程为（），根据题意，可求得m的值，即可得双曲线方程； （2）设的方程为，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得的表达式，同理可得的表达式，再可得，从而化简可解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 又，所以， 又，因此， 故椭圆的标准方程为. 由题意设等轴双曲线的标准方程为， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以， 因此双曲线的标准方程为. （2）设的方程为， 将其代入椭圆方程得， 显然，显然， 由韦达定理得，， 所以| ， 同理可得， 则， 设，则，， ∵点在双曲线上，所以， ∴，即， 所以， 故，因此存在， 使恒成立． 【点睛】关键点点睛：设，则，，由点在双曲线上，得从而. 4．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意得，将点代入椭圆的方程可求得的值，进而可得椭圆的方程； （2）设，，，，，联立直线和椭圆的方程，可得，，直线的方程为，令，得，同理，由斜率公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以，再将点代入得， 解得，故椭圆的方程为； （2）由题意可设， 由可得， 易知恒成立，所以， 又因为， 所以直线的方程为，令，则，故， 同理， 从而， 故为定值． 5．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，是椭圆上一点． （1）求椭圆方程的离心率 （2）若为椭圆上异于顶点的任意一点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知且，，利用椭圆的定义可求得，即可求到椭圆的离心率； （2）设，得直线,的方程求得和，进而得,即可证明为定值. 【详解】（1）在椭圆中，∵， ∴，，又知为上的点， 根据椭圆定义有, 解得, ，即椭圆方程为， 故； （2）设，（且） 根据（1）知，， 则直线， 令，得，即得， 直线， 令，得，即得， 则，， 于是 ， 将代入整理得， 故为定值． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解和椭圆的几何性质的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中设出，根据直线和椭圆的方程，化简得到是解答的关键. 地 城 考点12 椭圆中的弦长与面积问题 1．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)（多选）已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出弦长的取值范围即可判断得解. 【详解】当直线的斜率存在时，设过点斜率存在的直线方程为：， 由消去y，并整理得，恒成立， 设，则， ， 当直线的斜率不存在时，因此， 所以弦长可能是，. 故选：BC 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于原点对称 C．面积的最大值为2 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】设，根据化简得到A正确，根据对称性得到B正确，计算，得到面积的最大值为，错误，确定，，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：设，则，即， 整理得到，即，正确； 对选项B：当点在曲线，即，则也在曲线， 正确； 对选项C：设，，则， 故，面积的最大值为，错误； 对选项D：，解得， ，故，正确； 故选：ABD. 3．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 . 【答案】 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设点、，联立，可得，， 由韦达定理可得，， 所以， 椭圆的上顶点为，点到直线的距离为， 所以，. 故答案为：. 4．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知椭圆，若点、在椭圆上. (1)求的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线、分别交椭圆于两点、. （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见机解析；（ii）. 【分析】（1）将点、的坐标代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）分别将直线、与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出、两点的坐标，由数量积可得为钝角，得出证明； （ii）由（i）可写出四边形的面积为，再利用基本不等式以及函数单调性即可得出面积的最大值. 【详解】（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）（i）易知、， 由椭圆对称性可知，不妨设，、， 根据题意可知直线、斜率均存在，且，， 所以直线的方程为，的方程为， 联立直线和椭圆方程， 消去可得， 由韦达定理可得，解得，则， 联立直线和椭圆方程，消去可得， 由韦达定理可得，解得，则， 则，， 所以； 即可知为钝角，所以点在以为直径的圆内； （ii）易知四边形的面积为， 设，则，当且仅当时等号成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为. 【点睛】关键点点睛：证明点和圆的位置关系时，可利用向量数量积的正负判断与直径所对圆周角的大小即可得出结论；在求解四边形面积的最值时，首先可用一个变量表示出面积的表达式，再根据函数单调性或基本不等式求出最值即可. 5．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知椭圆的离心率，一个焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出、，即可解出椭圆方程； （2）设直线方程为，联立椭圆方程再利用弦长公式即可求出直线方程； 【详解】（1）由题知，，则， 椭圆的方程为. （2）设直线方程为，点，， 由方程组，化简得：， ，可得. ， ，解得， 直线方程或. 6．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知椭圆的离心率为，过椭圆E的左焦点且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两点，O为坐标原点，的面积为. （1）求椭圆E的方程； （2）点M，N为椭圆E上不同两点，若，求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）离心率提供一个等式，是椭圆的通径，通径长为，这样的面积又提供一个等式，两者联立方程组结合，可求得得椭圆标准方程． （2）设，由得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得.应用韦达定理得，代入 可得的关系，注意，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长，求出到直线的距离，求得的面积，化简可得为定值，同样直线的不斜率存在时，也求得的面积和刚才一样，即得结论． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则① 过椭圆左焦点且与x轴垂直的直线方程为，与椭圆方程联立解得， 所以，所以② 把①代入②，解得 又，解得 所以E的方程为： （2）设，因为，， 所以，即， 即 （i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得. 则， ③ 所以，整理得，代入③， ， O到直线的距离， 所以 ，即的面积为定值1     （ii）当直线的斜率不存在时，不妨设的斜率为且点M在第一象限，此时的方程为，代入椭圆方程，解得，此时的面积为. 综上可知，的面积为定值1 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线的方程为，设交点，，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得，代 入得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线斜率不存在的情形． 7．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)在中，已知点边上的中线长与边上的中线长之和为，记的重心G的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)若圆，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求得曲线的方程. （2）直线为，通过联立方程组等求得两点的坐标，求得面积的表达式，利用换元法以及函数的单调性求得面积的最大值． 【详解】（1）设的中点为S，的中点为T，所以，， 所以 ，所以， 所以G点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．所以， 所以，，所以曲线C的方程为．   .   （2）设直线为（不妨设），设，，    所以，，， 解得（舍去），则， 由于AB是单位圆的直径，所以， 所以直线EN的斜率为，直线EN的方程为， 同理可求得，则， 由上述分析可知，，而， 所以 ， 所以，令， 当且仅当，时等号成立， 则，函数在上单调递增， 所以当时，取得最大值为． 【点睛】关键点睛：在圆锥曲线中，求解三角形面积最值、范围等的有关问题，关键点有两点，第一点是求得三角形面积的表达式，可考虑根与系数关系、点到直线的距离公式等等来进行求解；第二点根据面积的表达式，使用基本不等式、二次函数等知识求得面积的最值或取值范围. 8．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为. (1)求的方程； (2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，设，，，表达出，从而得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）先考虑，的斜率不存在时四边形面积为，再考虑，的斜率存在时，结合弦长公式，表达出四边形面积为，换元后得到，求出，求出四边形面积的取值范围. 【详解】（1）由题意得，设，，， 则，， 故， 又，的斜率之积为，故，解得， 所以椭圆； （2）由（1）知，， 故， 当，的斜率不存在时，四边形为矩形， 令得，，故，同理可得， 故，， 故四边形面积为， 当，的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形， 设，联立得， 易得，设， 则， 则 ， 设点到直线的距离为，则， 故四边形面积为， 令，则， 则， 因为，所以，故，， ，， 故， 综上：四边形面积的取值范围是. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 9．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知椭圆：的长轴长等于6，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由椭圆的定义，结合余弦定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，，∴. ∵，即，∴. ∴. ∴椭圆的方程为. （2）由（1）知，，， 设，， 则， 即， 将，代入后，得， ∴，即， ∴. ∴ . ∴ 的面积为 . 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $