专题03 直线与方程10考点（期中真题汇编，吉林专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03直线与方程 10大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角 考点02 直线的斜率 考点03 已知两条直线的平行求参数 考点04 已知两条直线的垂直求参数 考点05 由两条直线的平行与垂直求直线方程 考点06 直线过定点问题 考点07 求解直线方程 考点08 两点间的距离 考点09 点到直线的距离与点关于直线的对称点 考点10 两条平行线的距离 地 城 考点01 直线的倾斜角 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)直线的倾斜角为（    ） A．1 B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 7．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·吉林八校·期中)直线的倾斜角的取值范围是 ． 9．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为 ．    10．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 直线的斜率 1．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)（多选）对于直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线斜率可以不存在 C．时直线的倾斜角为 D．时直线在轴上的截距为 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 4．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)若，又三点，，共线，求的值． 5．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（    ） A．183 B．182 C．181 D．180 地 城 考点03 已知两条直线的平行求参数 1．(24-25高二上·吉林·期中)若直线与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D． 2．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)若直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 3．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知直线与平行，则a等于（    ）. A．-7或-1 B．7或1 C．-7 D．-1 4．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 6．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．2或 7．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知直线，，若，则实数a的值是（    ） A． B．2 C．2或 D．或1 地 城 考点04 已知两条直线的垂直求参数 1．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线与直线互相垂直，垂足为则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)（多选）已知三条直线，，，则下列结论正确的有（   ） A．经过定点 B．，的交点坐标为 C．若，则 D．若，则 3．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)（多选）已知直线，直线，则下列选项正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．直线可能与轴垂直 C．若，则 D．“”是“”的充分不必要条件 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 地 城 考点05 由两条直线的平行与垂直求直线方程 1．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)经过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林四平·期中)与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（    ）． A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且直线平行的直线方程为 B．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称的直线方程为 5．已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 6．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)已知直线. (1)若，求的值； (2)若，求过原点与点的直线的方程. 7．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)（1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程． 地 城 考点06 直线过定点问题 1．(24-25高二上·吉林八校·期中)已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 地 城 考点07 求解直线方程 1．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知直线过点，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为 6．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)经过点，且在 x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是 . 7．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴上围成的三角形面积为，求直线的方程． 8．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程． 9．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程； (3)已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程. 10．(24-25高二上·吉林八校·期中)0．已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 11．(21-22高二上·吉林四平第一高级中学·月考)1．已知点，求满足下列条件的直线l的一般方程. （1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍； （2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为. 12．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)2．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. （1）斜率是 ，经过点A(8，2); （2）经过点B(4，2)，且平行于x轴; （3）在x轴和y轴上的截距分别是，3; （4）经过两点P1(3，2)，P2(5，4). 13．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)3．已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点． （1）求点D的坐标； （2）求直线BD的方程． （3）求△ABD的面积． 14．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)4．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 地 城 考点08 两点间的距离 1．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．(21-22高二上·吉林四平第一高级中学·月考)已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则 . 3．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 地 城 考点09 点到直线的距离与点关于直线的对称点 1．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线与直线互相垂直，垂足为则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为(　　) A．1 B．2 C． D． 3．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)（多选）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 5．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)（多选）已知直线与交于点，则（    ） A． B． C．点到直线的距离为 D．点到直线的距离为 6．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知直线 ， 则下列结论正确的是（    ） A．存在实数 ， 使得直线 与直线 垂直 B．存在实数 ， 使得直线 与直线 平行 C．存在实数 ， 使得点 A到直线 的距离为 4 D．存在实数 ， 使得以线段 为直径的圆上的点到直线 的最大距离为 7．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)点到直线的距离为 ． 8．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是 ． 9．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)点关于直线对称的点的坐标为 ． 10．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)若点和点关于直线对称，则 ． 11．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 12．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 . 13．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)设直线：及直线外一点． (1)写出点到直线的距离公式； (2)推导点到直线的距离公式． 14．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)求直线关于直线对称的直线的方程． 地 城 考点10 两条平行线的距离 1．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)直线 与直线 之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知两直线，若，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)（多选）已知直线：，：，则（    ） A．当时， B．存在实数m，使得 C．当时， D．与直线之间的距离为 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直线与方程 10大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角 考点02 直线的斜率 考点03 已知两条直线的平行求参数 考点04 已知两条直线的垂直求参数 考点05 由两条直线的平行与垂直求直线方程 考点06 直线过定点问题 考点07 求解直线方程 考点08 两点间的距离 考点09 点到直线的距离与点关于直线的对称点 考点10 两条平行线的距离 地 城 考点01 直线的倾斜角 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)直线的倾斜角为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程确定斜率，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方程知，直线的斜率为， 根据斜率与倾斜角关系知，直线倾斜角大小为. 故选：D 2．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角与斜率的关系计算即可得. 【详解】由，得倾斜角为． 故选：C. 3．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，进而求倾斜角. 【详解】由题，直线方程可化为， 则斜率为，所以倾斜角为， 故选：C. 4．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率，又，所以直线的倾斜角为. 故选：B 5．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 6．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义可得结果 【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为， 故选:C. 7．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 8．(24-25高二上·吉林八校·期中)直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得，先算得的取值范围，再结合斜率与倾斜角的关系求解即得. 【详解】依题意，直线的斜率，则，所以. 故答案为： 9．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为 ．    【答案】 【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为， 所以，，故． 故答案为：. 10．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用直线方向向量可求得，结合特殊角的三角函数值即可求得结果. 【详解】由题意知，设直线l的倾斜角为，则， 又， 所以，即. 故选：C. 地 城 考点02 直线的斜率 1．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 2．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)（多选）对于直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线斜率可以不存在 C．时直线的倾斜角为 D．时直线在轴上的截距为 【答案】AB 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A；当时斜率不存在，即可判断B；求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断C；求出直线与轴的交点，即可判断D. 【详解】对于A，直线，令，则，所以直线过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，斜率不存在，故B正确； 对于C，当时，直线，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，故C错误； 对于D，当时，直线，令，得，即直线在轴上的截距为，故D错误. 故选：AB. 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 【答案】是 【分析】通过计算斜率来进行判断. 【详解】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率. 因为， 即两条直线的斜率相同， 并且它们过同一点， 所以，，三点在同一直线上． 故答案为：是 4．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)若，又三点，，共线，求的值． 【答案】 【分析】将三点共线转化为以三点确定的两条直线重合，其斜率相同，利用两点的斜率公式列出方程求出. 【详解】试题分析： ∵、、三点共线，∴直线、的斜率相等， ∴， 解之得：． 5．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（    ） A．183 B．182 C．181 D．180 【答案】A 【分析】根据两点坐标可利用两点式求直线的方程，代入即可求解. 【详解】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得. 故选:A. 地 城 考点03 已知两条直线的平行求参数 1．(24-25高二上·吉林·期中)若直线与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用两直线平行的判定方法列出方程，求解后检验即得. 【详解】因为 ，所以，解得或. 当时，重合，不合题意； 当时，，符合题意. 故选：C. 2．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)若直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故选：B. 3．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知直线与平行，则a等于（    ）. A．-7或-1 B．7或1 C．-7 D．-1 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由题意，解得或， 时，两直线方程为，，重合，舍去， 时，两直线方程为，，平行． 故选：C. 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，但在由平行求参数量，一般用必要条件求解，然后代入检验． 4．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由两直线平行求得参数的值，再进行充要条件判断即得. 【详解】直线和平行，则， 等价于，即， 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 5．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】根据两条直线平行的条件列方程，化简求得的值，由此判断充分、必要条件. 【详解】两直线平行时，应得或， 又时两直线重合，所以. 所以是直线与直线平行的充要条件. 故选:A 6．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．2或 【答案】C 【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解. 【详解】当直线与直线不相交时，，解得， 当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去； 当时，直线，即与直线平行， 所以实数的值为. 故选：C 7．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知直线，，若，则实数a的值是（    ） A． B．2 C．2或 D．或1 【答案】A 【解析】由两直线平行，得，解得，在检验此时两直线是否重合即可. 【详解】由两直线平行，可知，解得， 当时，，，此时两直线平行； 当时，，，此时两直线重合，不满足题意舍去． 故选：A. 【点睛】易错点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时， （1） （）； （2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 地 城 考点04 已知两条直线的垂直求参数 1．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线与直线互相垂直，垂足为则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为直线与直线互相垂直，则，可得， 由题意可知，点为两直线的公共点，则，解得， 再将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 因此，. 故选：D. 2．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)（多选）已知三条直线，，，则下列结论正确的有（   ） A．经过定点 B．，的交点坐标为 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】分离参数可得直线过定点，联立直线方程可得交点坐标，再根据直线间位置关系可列方程，解得参数值. 【详解】A选项：，即， 令，解得，即直线过点，A选项正确； B选项：联立直线方程，解得，即直线，的交点坐标为，B选项错误； C选项：由，可得，解得，C选项错误； D选项：时，直线，满足，即，D选项正确； 故选：AD. 3．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)（多选）已知直线，直线，则下列选项正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．直线可能与轴垂直 C．若，则 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【分析】对于A，通过可判断，对于B，由斜率存在可判断，对于CD，可通过垂直及平行的判定判断. 【详解】对于A：当时，可得：，过定点，错误； 对于B：由，可知直线斜率存在且为，不可能与轴垂直，错误； 对于C：若，则，即，正确； 对于D：由，则，解得：，经验证都符合， 所以“”是“”的充分不必要条件，正确； 故选：CD 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 地 城 考点05 由两条直线的平行与垂直求直线方程 1．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)经过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程. 【详解】令所求直线方程为，则， 所以，所求直线为（或）. 故选：A 2．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 3．(24-25高二上·吉林四平·期中)与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由题得所求直线的斜率为， ∴所求直线方程为， 整理为． 故选：A 【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）. 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且直线平行的直线方程为 B．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称的直线方程为 【答案】ACD 【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求出，即可判断A，当截距都为时求出直线方程，即可判断B，设点关于直线的对称点坐标为，即可得到方程组，解得即可判断C，求出直线上任意两点关于点对称的点的坐标，从而求出对称的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A：设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且直线平行的直线方程为，故A正确； 对于B：若截距都为，即过点且经过坐原点的直线为， 此时直线的斜率，但是，，所以直线与直线不垂直，故B错误； 对于C：设点关于直线的对称点坐标为，则，解得， 所以点关于直线的对称点坐标为，故C正确； 对于D：因为点、在直线上，点关于点对称的点为， 点关于点对称的点为， 则过和的直线方程为，即， 所以直线关于点对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 5．已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 6．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)已知直线. (1)若，求的值； (2)若，求过原点与点的直线的方程. 【答案】(1)3或-1 (2). 【分析】（1）根据直线平行得到关于a的方程，求出a，检验后得到答案； （2）根据直线垂直得到关于a的方程，求出，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，解得或， 当或时，与均不重合， 所以的值为3或-1. （2）因为，所以，解得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 7．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)（1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）由题意设直线方程为：，代入即可求； （2）分直线截距为0和不为0两种情况讨论即可求. 【详解】（1）设所求直线方程为：， 因为直线经过点， 所以，解得， 所以直线的一般式方程为； （2）当直线的截距为0时，直线方程为：， 当直线的截距不为0时，由题意可设直线方程为：， 因为直线经过点， 所以，所以， 所以直线方程为：，即， 综上所述：直线方程为或. 地 城 考点06 直线过定点问题 1．(24-25高二上·吉林八校·期中)已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过点，然后利用关于原点对称的性质求出其对称点，即可得解. 【详解】因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为， 所以直线恒过点. 故选：A 2．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由中点坐标公式可得，所以直线化为，令，定点 3．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】AB 【分析】求出两条直线的动点，对进行分类讨论，当，直接可求出三角形面积， 当时，两条直线互相垂直，即可求得面积的最大值. 【详解】动直线过定点，直线化简为 ，则，则直线过定点， 当时，两条直线分别为，交点， ； 当时，两条直线的斜率分别为：，所以两条直线互相垂直， ， 当且仅当时，面积达到最大值， 则的面积的值可以是或，不可以是, 故选：AB 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 地 城 考点07 求解直线方程 1．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 2．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意设出在轴上的截距，即可知在轴上的截距，进而可写出直线方程，再把点代入直线方程中，可求出，即可求得答案. 【详解】设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线方程为，在直线上，或，则直线为或. 故选：B. 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知直线过点，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】分类讨论截距为零和截距不为零两种情况，列出截距式计算即可. 【详解】分以下两种情况讨论： ①当直线过原点时，设直线的方程为时，，即； ②当直线不过原点时，设直线的方程为时， 则，即. 综上所述，直线共2条． 故选：B. 5．直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为 【答案】 【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可. 【详解】由题意知：直线的方程为，即， 所以在轴上的截距为. 故答案为：. 6．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)经过点，且在 x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是 . 【答案】或 【分析】分截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，代入得到直线方程. 【详解】当截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故，即； 当截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即. 故答案为：或 7．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴上围成的三角形面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，代入点坐标可得答案； （2）设直线的方程为，求出横截距、纵截距，利用可得答案. 【详解】（1）设直线的方程为 过点， 的方程：； （2）设直线的方程为， 横截距为，纵截距为， ， 或， 方程为或. 8．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解； （2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解； 【详解】（1）解：设， ∵AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为． ∴，解得． ∴． （2）设，则， 解得． ∴． ∴． ∴直线BC的方程为，即为． 9．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程； (3)已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由两直线垂直求得直线的斜率为，再由点斜式方程可得结果； （2）依题意可得点在的垂直平分线上，再由可得点坐标，即可求得直线的方程； （3）对直线的斜率是否存在进行讨论，利用点到直线距离公式可求得直线的方程. 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即. （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为， 所以线段垂直平分线的方程为，即. 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得， 解得或， 所以点坐标为或， 当点坐标为时，，所以，即； 当点坐标为时，，所以，即； 因此直线的方程为或. （3）当直线方程斜率不存在时，过点的直线的方程为， 此时点到的距离为4，满足题意； 当直线方程斜率存在时，设过点的直线的方程为， 此时点到的距离为，解得； 所以直线的方程为，即； 综上可知，直线的方程为或. 10．(24-25高二上·吉林八校·期中)0．已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）求出直线的斜率，根据平行四边形的性质结合直线的方程，即可求出的方程，联立即可求得答案； （2）求出以及点到直线的距离，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得直线的斜率为，则其方程为， 直线的斜率为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为1． 联立，解得，即点的坐标为． （2）因为， 又点到直线的距离， 故平行四边形的面积. 11．(21-22高二上·吉林四平第一高级中学·月考)1．已知点，求满足下列条件的直线l的一般方程. （1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍； （2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据题意，分直线l过坐标原点和直线不过坐标原点，两种情况分类讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解； （2）设直线l的方程为，求得围成的三角形的面积为，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）当直线l过坐标原点，可得直线l的斜率为， 可得直线l的方程为，即； 当直线不过坐标原点，设直线l的方程为， 代入点的坐标，可得，解得， 可得直线的方程为，即， 所以所求直线l的一般方程为或. （2）直线显然不过坐标原点，设直线l的方程为，即. 直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 与坐标轴围成的三角形的面积为，解得或， 故直线的方程为或， 即直线的一般方程为或. 12．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)2．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. （1）斜率是 ，经过点A(8，2); （2）经过点B(4，2)，且平行于x轴; （3）在x轴和y轴上的截距分别是，3; （4）经过两点P1(3，2)，P2(5，4). 【答案】（1）x+2y4=0；（2）y2=0；（3）2y3=0；（4）x+y1=0. 【分析】各小问根据直线方程直接可以得出结论. 【详解】（1）由点斜式方程，得y (2)= (x8)，即x+2y4=0. （2）由点斜式方程，得y2=0. （3）由截距式方程，得=1，即2y3=0. （4）由两点式方程，得，即x+y1=0. 【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题型. 13．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)3．已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点． （1）求点D的坐标； （2）求直线BD的方程． （3）求△ABD的面积． 【答案】(1) 点D的坐标为（0，1）;(2) 2x+y–1=0;(3)12. 【分析】（1）利用中点坐标公式求得点的坐标.（2）利用点斜式求得直线的方程.（3）利用两点间的距离公式求得的长度，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，再利用三角形的面积公式求得面积. 【详解】（1）设D（x，y）， 则，， ∴点D的坐标为（0，1）． （2）∵直线BD的斜率为． ∴直线BD的方程为：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0． （3）∵， ∴A到直线BD的距离为． ∴△ABD的面积为． 【点睛】本小题主要考查中点坐标公式，考查直线方程点斜式，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 14．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)4．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 地 城 考点08 两点间的距离 1．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 2．(21-22高二上·吉林四平第一高级中学·月考)已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则 . 【答案】 【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可. 【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：. 3．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，， 【分析】设，根据坐标运算可转化为关于的二次函数，利用二次函数的最值求解即可. 【详解】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，    则 ， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 地 城 考点09 点到直线的距离与点关于直线的对称点 1．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知直线与直线互相垂直，垂足为则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为直线与直线互相垂直，则，可得， 由题意可知，点为两直线的公共点，则，解得， 再将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 因此，. 故选：D. 2．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为(　　) A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可 【详解】由点到直线的距离公式 故选 【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离公式，属于基础题 3．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 4．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)（多选）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【答案】BC 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 5．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)（多选）已知直线与交于点，则（    ） A． B． C．点到直线的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可. 【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确， ∴到直线的距离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 6．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知直线 ， 则下列结论正确的是（    ） A．存在实数 ， 使得直线 与直线 垂直 B．存在实数 ， 使得直线 与直线 平行 C．存在实数 ， 使得点 A到直线 的距离为 4 D．存在实数 ， 使得以线段 为直径的圆上的点到直线 的最大距离为 【答案】ABD 【分析】先求出直线经过定点的坐标，再根据两直线平行、垂直的性质，直线和圆的位置关系，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：直线，，， 直线的斜率为，直线的斜率为1， 故当时，直线与直线垂直；当时，直线与直线平行，故AB正确； 直线，即，令，求得，可得直线经过定点， 由于，故点到直线的最大距离为3，故C错误； 由于，，，故以为直径的圆的圆心， 且，故圆的半径为，圆心到直线的最大距离为， 故以线段为直径的圆上的点到直线的最大距离为，故D正确， 故选：ABD． 7．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】运用点到直线距离公式计算即可. 【详解】运用点到直线距离公式,得到. 故答案为：1. 8．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近线性质及图形判断③；利用的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④. 【详解】曲线化为， 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线，    对于①，当时，，①错误； 对于②，当时，；当时，， 当时，，因此的取值范围为，②正确； 对于③，直线与直线平行且在该直线左侧，曲线在直线的右侧， 因此直线与曲线无公共点，不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与直线平行且在该直线左侧，且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于， 当在上时，该点到直线的距离可取得最大值， 设，则到直线的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为，④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 9．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用已知直线与已知点，求得过该点并垂直于已知直线的直线方程，联立求交点，利用中点坐标公式，建立方程组，解得答案. 【详解】由直线方程，则其斜率， 与直线垂直的直线斜率， 设直线过，可得其直线方程，整理可得， 联立可得，解得，交点坐标， 设关于直线对称点坐标，则，解得， 所以关于直线对称点坐标. 故答案为：. 10．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】根据对称满足垂直关系以及中点在直线上，即可求解. 【详解】, 由于点和点关于直线对称，所以，解得， 和点的中点为，则在直线上， 故，解得， 故答案为： 11．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由中点在直线上且所成直线斜率为，并应用和角正余弦公式展开化简得且，进而求θ值. 【详解】由题设，中点在直线上，且， 所以，且， 即，且， 所以，且， 故，且， 所以，且， 综上，，可得，显然满足. 故答案为：（答案不唯一） 12．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果. 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为， 由于直线 与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N， 则由可得点N的坐标为， ①若点M和点A重合，如图： 则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线， 求得. ②若点M在点O和点A之间，如图： 此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于， 即，即，可得，求得， 故有. ③若点M在点A的左侧， 则，由点M的横坐标，求得. 设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ， 即 ，化简可得，由于此时， 所以，两边开方可得，所以， 故有. 综上可得b的取值范围应是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性. 13．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)设直线：及直线外一点． (1)写出点到直线的距离公式； (2)推导点到直线的距离公式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】过点分别作，轴的平行线，与直线相交于点，作于点，用含或的式子表示出和，由勾股定理求得，再由等面积法求出的长即可． 【详解】（1）点到直线的距离公式：； （2）设，则直线与轴和轴都相交，过点分别作轴的平行线，与直线相交于点，作于点，如图所示， 设，， ∵和均在直线上，∴，， ∴，， ∴， ， 由勾股定理知， ， ∵， ∴， 即点到直线的距离． 可以验证，当，或时，上述公式也成立． 14．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】联立方程组求得两直线的交点，再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，得出方程组，求得点点的坐标为，进而求得直线的方程. 【详解】联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为， 可得点也在直线上． 再在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即点的坐标为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故直线的方程为. 地 城 考点10 两条平行线的距离 1．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，得到的方程，再利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】由，所以，则，所以可得， 根据两平行直线距离公式. 故选：B 2．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)直线 与直线 之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可． 【详解】∵直线不同时为0与直线不同时为0,之间的距离， ∴直线与直线之间的距离． 故选：C． 【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，应用公式得前提是x、y的系数必须一致，属于基础题． 3．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知两直线，若，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线平行求得参数，再根据平行线之间的距离公式求解即可得结论. 【详解】因为，所以，解得， 所以， 由平行线之间的距离公式可得：. 故选：D. 4．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)（多选）已知直线：，：，则（    ） A．当时， B．存在实数m，使得 C．当时， D．与直线之间的距离为 【答案】AD 【分析】通过的取值结合垂直和平行的要求判断A，B，C；，利用平行线间的距离公式判断D. 【详解】对于A，当时，：，：， 此时，所以，故A正确； 对于B，当时，且，无解， 故不存在实数m，使得；故B错误； 对于C，当时，：，：， 此时，所以与不垂直，故C错误； 对于D，因为且，所以与直线平行， 距离为，故D正确， 故选：AD. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $