第九章 第3节 二项式定理-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

艺考生文化课百日冲关·数学 第3节二项式定理 课程标准 核心素养 考情聚焦 预计2026年的高考将从以下四个方面 1.二项展开式中特定项或系数问题，达成进行考查： 1.能用计数原理证明 直观想象和数学运算的素养 1.二项展开式中特定项或系数， 二项式定理 2.二项式系数及项的系数问题，增强逻辑2.二项式展开式系数最大项. 2.会用二项式定理解决 推理和数学运算的素养， 3.二项式系数与二项式系数和的计算 与二项展开式有关的 3.多项式展开式中的特定项或系数问题，提4.二项式与其他知识的结合.一般以选择 简单问题 升逻辑推理和数学运算的素养 题、填空题形式出现，难度不大，属基础 题型 夯实引必备知识 对应学生用书P184 教材夯实强基固本 [必备知识] 重要结论 二项展开式形式上的特点 1.二项式定理 (1)项数为n+1. (1)二项式定理：(a+b)"=C0a”+Ca”1b+…十 (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b Cga"b'+…+Cb"(n∈N*); 的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项 (2)通项公式：T,+1=Ca”b,它表示第r十1项； 减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次 (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C,C,, 数由0逐项增1直到n. …,C% (4二项式的系数从C,C…一直到C.Cm 2.二项式系数的性质 [自主诊断 性质 性质描述 [思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 与首末等距离的两个二项式系数相等， 打“/”，错误的打“×” 对称性 (1)Ca”b是二项展开式的第k项. 即C=C (2)通项Ca”b中的a和b不能互换.( (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中 当<”1(m∈N)时，是递增的 间两项. ( 2 二项式 (4)(a+b)”的展开式中某一项的二项式系数与a, 增减性 系数C b无关. 当k>n1(m∈N“)时，是递减的 (5)C-2C+3C%-…+(-1)"-nC%=0.( (6)C%+C%+C+…=C,+C网+C+….( 答案：(1)×(2)√(3)×(4)/(5)/ 当n为偶数时，中间的一项C京取 (6)/ 二项式系 得最大值 [小题查验 数最大值 当n为奇数时，中间的两项C 1.(人教A版教材例题改编)二项式 2x+ 的展 与C宁取最大值 开式中，常数项的值是 A.240 B.60 C.192 D.180 3.各二项式系数和 (1)(a+b)”展开式的各二项式系数和：C+C+C 解析：A [二项式 展开式的通项为 +…+C%=2" T,+1=C%(2x) =2-C6x6-3r,令6-3r= (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系 数的和，即C”+C+C4+…=C,+C+C+… 0,得r=2,所以常数项为2-2C8=16×6X5 2×1 =2” 240.故选A.] ·350· 上篇：第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 2.(2024·北京卷)在(x一√)的二项展开式中，x3 4.(2025·上海)在二项式(2x-1)5的展开式中，x 的系数为 的系数为 解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法. A.6 B.-6 ,(2x一1)5展开式的通项T,+1=Cg(2x) C.12 D.-12 (-1)'=(-1)C525-·x5-v 解析：A[(x一√元)的展开式的通项T+1= 令5-r=3, Cx+(-)=(-1)Cx片，令4-多=3.解 得r=2 .x3的系数为：C%23(-1)2=80 得k=2,所以在(x一√工)的展开式中，x3的系数 答案：80 为(-1)2C=6.] 5.(2025·北京卷)已知(1-2x)*=a。-2a1x+4a2x2 -8a3x3+16a4x,则ao= ;a1十a2十 3.(2025·上饶市模拟)已知(2十my(2x-y)的 a3十a4= 解析：利用赋值法可求a。,利用换元法结合赋值法 展开式中x2y的系数为80，则m的值为 ( 可求a1十a2十a3十a4的值. A.-2 B.2 C.-1 D.1 令x=0,则ao=1, 解析：A [(+m2x-)=1(2x-+ 又(1-2.x)=an-2a1x+4a2x2-8a33+16a4x, 故(1-2x)=a,+a1(-2x)+a2(-2x)2+ my(2x-y)5,(2x-y)5的展开式中不存在x3y的 a3(-2x)3十a4(-2.x), 项，存在xy3的项的系数为CX22(一1)3， 令t=-2.x,则(1+t)=a,十a1t十a2t+at十at, 故有(2x十my)(x-y)5的展开式中x3y的系数为 令t=1,则a,十a1十a2十a3十a4=2,故a1十a2十a C×2(-1)3m=80,解得m=-2,故选A. +a4=15 答案：115 跃升关键能力 对应学生用书P185 层级突破素养提升 考点一二项展开式中特定项或系数问题（自主练透） [题组集训] 的通项公式是T+1=Cg·x·1',令5一r=2,得 1.(+) 的展开式中的x系数为 r=3,则x2项的系数为C=10. 答案：10 A.10 B.20 C.40 D.80 /题后反思/ 解析：C e+) 的第k+1项为T6+1= 求二项展开式中的项或项的系数的方法 C2x10-3.令10-3k=4,得k=2..x的系数为 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知 C×22=40.] 数的指数分别为零和整数.解决这类问题时， 2.(2025·天津卷)在(x一1)的展开式中，x3项的系 先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述 数为 特征进行分析. 解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数，T,+ (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或 =C%x-(-1)'=(-1)Cx,令6-r=3,.r 取值范围等，一般要利用通项公式，运用方 =3. 程思想进行求值，通过解不等式（组）求取 .展开式中含x3的系数为（一1）3C=一20. 值范围. 答案：一20 提醒：二项展开式中各项的系数与二项式系 3.(2024·上海卷)在(x+1)”的展开式中，若各项系 数是不同的概念.一般地，某一项的系数是 数和为32，则展开式中x2的系数为 指该项中字母前面的常数值（包括正负号）， 解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数 它与a,b的取值有关，而二项式系数与a,b 的和是(1+1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式 的取值无关。 ·351 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二二项式系数及项的系数问题（师生共研） [典例] (1)(2025·马鞍山市二模)二项式 (3)若f(x)=a。十a1z十a2x2+…十anx”,则f(x) x+ 1 的展开式中只有第11项的二项式系数 展开式中各项系数之和为f(1), 最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为 奇数项系数之和为a,十a2十a十…= f(1)+f(-1) A.3 B.5 C.6 D.7 2 偶数项系数之和为a1十a3十a,十… [解析] D [根据 的展开式中只有 f(1)-f(-1) 第11项的二项式系数最大，得n=20: 2 展开式的通项为 2.二项式系数最大项的确定方法 1)如果m是偶数，则中同一项（第（受+1项）的 T+1=C2·(5x)20- 1 (3)20-r·C20 二项式系数最大； ·x20- (2)如果n是奇数，则中间两项 要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴.r=0,3, 6,9,12,15,18;.x的指数是整数的项共有7项. 【第”空史项与第（生+项）的二项式系数 故选D.] 相等并最大 (2)(2025·雅安市模拟)已知（2反+) 展开式的 3.二项展开式系数最大项的求法 如求(a十b.x)"(a,b∈R)的展开式系数最大的 各个二项式系数的和为128，则2√+ 1 的展 项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数 开式中x2的系数 分别为A,A2,…,A。+1,且第k项系数最大， A.448B.560 C.7 D.35 [解析]A[由题意可知，2”=128，得n=7. 应用{A之A”从而解出来，即得。 A≥A+1. +-(+)共通项为下 [跟踪训练 (2025:朝阳区三模)在二项式(+2) 的展开 取r=2得=1.(2+) 式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为 的展开式中 2 B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为( x2的系数为2×C=448.故选A.] A.6 B.9 C.12 D.18 (3)(2025·青岛三模)二项式(x+1)”(n∈N*)的展 开式中x2的系数为15，则n等于 解析：B[在二项式(+3） 的展开式中， 解析：根据题意，(x十1)"(n∈N*)展开式的通项 令x=1得各项系数之和为4”，.A=4”. 为T,+1=Cx',令r=2,则C%=15→n=6. 据二项展开式的二项式系数和为2”，.B=2" 答案：6 方法指导引 .4"+2"=72,解得n=3. 1.赋值法研究二项式的系数和问题 (+)=+)》 的展开式的通项为 (1)形如(ax十b)”,(ax2+bx十c)"(a,b,c∈R)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值 T+1=C(WG)3 法，只需令x=1即可. (2)对形如(a.x十by)"(a,b∈R)的式子求其展开 令33r=0得，=1，故展开式的常数项为T, 2 式各项系数之和，只需令x=y=1即可. 3C=9,故选B.] 考点三多项式展开式中的特定项或系数问题（多维探究） [命题角度1]几个多项式和的展开式中的特定项 C(x3)1-m (系数)问题 （)=G(-2x,◆12 的展开式中的常数项为( 4m=0,解得m=3,十 的展开式的通项为 A.32 B.34 C.36 D.38 T+=CG-()-C,令8-2a=0解n 解析：D [x3- 的展开式的通项为Tm+1 =4,所以所求常数项为C(-2)3十C。=38.] 352· 上篇：第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 方法点拨/ 解析：原式等于(x十y)8一义(x十y),由二项式定理， 对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数） 问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中 其展开式中x2y°的系数为C⑧-C=C%-C8=一28. 分别得到特定的项，再求和即可· 答案：一28 [跟踪训练] [命题角度3】三项展开式中特定项（系数）问题 (2025·台州市一模)在(2x一1)2十(2x-1)3十… 3,(2025·龙岩市模拟)已知二项式〔+子一2a 十(2x-1)8的展开式中，含x2项的系数 则展开式的常数项为 为 A.-1 B.1 C.-47 D.49 解析：在(2x-1)2+(2x-1)3+…十(2x-1)8的 展开式中，含x2项为C9(2x)2-C(2x)2+C 解析：B (2x)2-C(2x)2+C(2x)2-C(2x)2+C8(2x)2, 则含x2项的系数为4×(1一3+6-10十15-21十28) +4日-2+62-2x =64. +4-2 x -2 答案：64 [命题角度2]几个多项式积的展开式中的特定项 .二项式展开式中的常数项产生在1,6 (系数)问题 2.(2025·湖北八市联考)(1+x2)(1十x)5的展开式 中x的系数为 分别是1,6×2· ·(-2x),C 解析：(1十x)5的展开式通项为T+1=C·x(0≤ ·(-2x); ≤5，k∈N),因为(1+x2)(1+x)5=(1+x)5+ 它们的和为1-24+24=1.故选B.] x2(1+x)5,在(1十x)5中，其通项为C·x(0≤k 方法点拨/ ≤5，k∈N),令k=4,在x(1+x)中，展开式通项 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决， 为x2C·x=C·x+2(0≤r≤5，r∈N),令r+2 把其中两项看做整体展开，再把这两项继续展开， =4,可得r=2,所以，(1十x2)(1十x)5的展开式中 要注意各参数的取值范围，适当地运用分类方法， x的系数为C+C号=15. 以免重复或遗漏. 答案：15 [跟踪训练] /方法点拨/ (2025·黄冈中学押题卷)已知等差数列{an}的第5 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题， 般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用 项是(+2】 展开式中的常数项，则a2十a8 二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适 当地运用分类方法，以免重复或遗漏。 A.20 B.-20 C.40 D.-40 6 跟踪训练】 解析：D x- x 展开式中的常数项为 (2025·准安二模)（一兰)x+)的展开式中 x2y的系数为 (用数字作答) (-1) (2y)°=一20，（题眼） .a5=-20,.a2十a8=2a5=-40,故选D.] 课时分组冲关 对应课时作业P282 素能提升规范演练 1.在(x一2)8的展开式中，x的系数为 解析：A[T+1=Cx A.16 B.-16 C.24 D.-24 解析：B[(x一2)8的展开式的通项为T,+1=C8· C(-2)2x5-岁，令6- =3,即k=2,所以T= 2 x8·(-2)',令8-r=7,得r=1. C(-2)2x3=60x3,所以x3的系数为A=60,二项 .在(x一2)8的展开式中，x7的系数为一2×C= 式系数为B=C=15,所以合-0=4.] B-15 -16.故选B.] 3.(2025·北京质检)若(2x-1)4=a4x+ax3+ 2.设 的展开式中x3的系数为A,二项式系 a2x2十a1x十a0,则a十a2十a4= A.40B.41 C.-40D.-41 数为B,则合 ( 解析：B[当x=1时，1=a4十a3十a2十a1十ao①： 当x=-1时，81=a4-a+a2-a1十a,②；①+② A.4 B.-4 C.2 D.-2 得原式=41.] ·353·