第五章 第1节 数列的概念与简单表示法-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

该高中数学高考复习课件聚焦数列专题，覆盖等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等核心考点，依据高考评价体系分析“通项公式求解”“数列求和”等高频考点权重，归纳递推关系应用、错位相减求和等常考题型，体现备考针对性。 课件以“夯实必备知识+跃升关键能力”构建体系，通过高考真题训练提升数学思维，如解析裂项相消求和时强调“通项分解、前后抵消”步骤，培养运算能力与推理意识。设置易错点如等比数列公比q=1的讨论，帮助学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习框架，助力艺考生百日冲刺。

第五章 数 列 第1节　数列的概念与简单表示法 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第五章 数列 课程标准 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 核心素养 1.由数列的前几项求数列的通项公式，达成数学抽象素养． 2.由an与Sn的关系求通项an，发展逻辑推理和数学运算素养． 3.由数列的递推关系求数列的通项公式，增强逻辑推理和数学运算素养 考情聚焦 　　简单数列的通项公式的求解，数列的前n项和与通项的关系，求数列的各项，及由Sn求an是高考的热点．高考中三种题型都有可能出现，试题难度中等 [必备知识] 1．数列的概念 (1)数列的定义：按照　一定顺序　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的　项　. (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以　正整数集N*(或它的有限子集)　为定义域的函数an＝f(n)．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． (3)数列有三种表示法，它们分别是　列表法　、　图象法　和　 通项公式法　. 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数　有限　 无穷数列 项数　无限　 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an＋1　>　an 其中n∈N* 递减数列 an＋1　<　an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与　序号n　之间的关系可以用一个式子　an＝f(n)　来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　S1　n＝1，,　Sn－Sn－1　n≥2.)) 1．一些常见数列的通项公式 (1)数列1,2,3,4，…的通项公式为an＝n； (2)数列2,4,6,8，…的通项公式为an＝2n； (3)数列1,3,5,7，…的通项公式为an＝2n－1； (4)数列1,2,4,8，…的通项公式为an＝2n－1； (5)数列1,4,9,16，…的通项公式为an＝n2； (6)数列1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…的通项公式为an＝eq \f(1,n). (7)数列1，－1,1，－1，…的通项公式为an＝(－1)n－1或(－1)n＋1； (8)数列－1,1，－1,1，…的通项公式为an＝(－1)n. 2．典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 累加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 累乘法 a1＝1，an＋1＝2nan an＋1＝pan＋q (p≠0,1，q≠0) 构成等 比数列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝pan＋q·pn＋1 (p≠0,1，q≠0) 构成等 差数列 a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1 其中(1)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的求解方法是：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋pλ－λ，与an＋1＝pan＋q比较即可知只要λ＝eq \f(q,p－1). (2)an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得eq \f(an＋1,pn＋1)－eq \f(an,pn)＝q，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,pn)))为等差数列． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(　　 ) (2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　 ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　 ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　 ) (5)已知an＋2＝f(an＋1，an)时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a1，a2.(　　 ) (6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(2025·长沙市模拟)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　 ) A．an＝(－1)n－1＋1　 B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2，n为奇数，,0，n为偶数)) C．an＝2sineq \f(nπ,2) D．an＝cos(n－1)π＋1 解析：C　[对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sineq \f(nπ,2)不合题意．] 2．数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为(　　) A．－9　　 B．－7　　 C．－3　　 D．－19 解析：D　[令an＝2n－11＜0，因为n∈N*，所以解得n＝1,2,3，所以数列{an}的前3项为负，从第4页起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19.] 3．(2025·柳州质检)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋eq \f(1,a1)，b2＝1＋eq \f(1,a1＋\f(1,a2))，b3＝1＋eq \f(1,a1＋\f(1,a2＋\f(1,a3)))，…，依此类推，其中ak∈N*(k＝1,2，…)．则(　　) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 解析：D　[(取特殊值)取an＝1，于是有b1＝2，b2＝eq \f(3,2)，b3＝eq \f(5,3)，b4＝eq \f(8,5)，……，分子分母分别构成斐波那契数列，于是有b5＝eq \f(13,8)，b6＝eq \f(21,13)，b7＝eq \f(34,21)，b8＝eq \f(55,34).于是得b1＞b5，b3＝1＋eq \f(2,3)＞1＋eq \f(22,33)＞1＋eq \f(21,34)＝b8，b6＝1＋eq \f(8,13)＞1＋eq \f(1,2)＝b2.综上可知，b4＜b7.] 4．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x)，设an＝f(n)(n∈N*)，则{an}是________数列(填“递增”或“递减”)． 解析：因为f(x)＝1－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数， 故f(n)(n∈N*)是增函数，所以{an}是递增数列． 答案：递增 5．在数列{an}中，a1＝1，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100＝____________. 解析：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1. 两式相加得an＋3＝－an，则an＋6＝－an＋3＝an， 即数列{an}的周期为6，所以a100＝a16×6＋4＝a4 ＝a3－a2＝(a2－a1)－a2＝－a1＝－1. 答案：－1　　 考点一　由数列的前几项求数列的通项公式(自主练透) [题组集训] 1．已知n∈N*，给出4个表达式： ①an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))②an＝eq \f(1＋－1n,2)， ③an＝eq \f(1＋cos nπ,2)，④an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2))). 其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　　 ) A．①②③　　　　　　　 B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析：A　[检验知①②③都是所给数列的通项公式．] 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…； (3)1,0,1,0，…； (4)9,99,999,9 999，…. 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 an＝2(n＋1)，n∈N*. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×eq \f(1,nn＋1)，n∈N*. (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此数列的一个通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，n为奇数，,0，n为偶数.))或an＝(－1)n＋1eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)，n∈N*. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1， 1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*. 用观察法求数列的通项公式的技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． [提醒]　不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一． 考点二　由an与Sn的关系求通项an(师生共研) [典例]　(1)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝_________________. (2) 若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋2n＋1，则{an}的通项公式是an＝____________. [解析]　(1) 根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1， 两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an， 当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1， 所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列， 所以S6＝eq \f(－1－26,1－2)＝－63. (2) 因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2， 由于a1不适合此式， 所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2.)) [答案]　(1)－63　(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2.)) 已知Sn，求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”． (3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2.)) 提醒：在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形． [跟踪训练] 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则{an}的通项公式为____________． 解析：a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. 答案：an＝4n－5 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3n＋b，则an＝____________. 解析：a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3n－1； 当b≠－1时，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＋b，n＝1，,2·3n－1，n≥2.)) 答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＋b，n＝1，,2·3n－1，n≥2.)) 考点三　由数列的递推关系求数列的通项公式(多维探究) [命题角度1]　形如an＋1＝an＋f(n)，求an　 1．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式． 解：(1)由题意，得an＋1－an＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－2)－\f(1,n－1)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋2＝3－eq \f(1,n). (2)由题意知an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1. [命题角度2]　形如an＋1＝anf(n)，求an　 2．在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq \f(n＋2,3)an.求数列{an}的通项公式． 解：由题设知，a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(n＋2,3)an－eq \f(n＋1,3)an－1. ∴eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n－1). ∴eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n－1)，…，eq \f(a4,a3)＝eq \f(5,3)，eq \f(a3,a2)＝eq \f(4,2)，eq \f(a2,a1)＝3. 将以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到eq \f(an,a1)＝eq \f(nn＋1,2).又∵a1＝1，∴an＝eq \f(nn＋1,2). [命题角度3]　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an　 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3， ∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. [命题角度4]　形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)，求an　 4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，a1＝1，∴an≠0， ∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)， 又a1＝1，则eq \f(1,a1)＝1， ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列． ∴eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)＋eq \f(1,2)， ∴an＝eq \f(2,n＋1)(n∈N*)． 由数列的递推公式求通项公式 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度1)．注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度3、4)转化为特殊数列求通项. $