第三章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

第2节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 第三章 三角函数、解三角形 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq \f(sin α,cos α)＝tan α.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)) 2．借助单位圆的对称性，能利用三角函数线推导出诱导公式(eq \f(π,2)±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切) 核心素养 1.同角三角函数的基本关系，发展数学抽象和数学运算素养． 2．三角函数的诱导公式，提升数学抽象和数学运算素养． 3．诱导公式、同角三角函数关系式的活用，提升数学抽象和数学运算素养 考情聚焦 　　同角三角函数基本关系式及诱导公式多与和角、差角的正弦、余弦、正切公式及倍角公式综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的运算求解能力、等价转化能力及方程思想、整体思想的运用 [必备知识] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系：　eq \f(sin α,cos α)＝tan α　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)). 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α eq \f(π,2)－α eq \f(π,2)＋α 正弦 sin α 　－sin α　 　－sin α　 　sin α　 　cos α　 　cos α　 余弦 cos α 　－cos α　 　cos α　 　－cos α　 　sinα　 　－sin α　 正切 tan α 　tan α　 　－tan α　 　－tan α　 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 　对于eq \f(kπ,2)±α，k∈Z诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)sin2θ＋cos2φ＝1.(　　 ) (2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．(　　 ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　 ) (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　 ) (5)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 　(4)√　(5)× [小题查验] 1．sin 2 025°的值为(　　 ) A．－eq \f(\r(2),2)　　 B．－eq \f(\r(3),2)　　　 C.eq \f(1,2)　　 D．eq \f(\r(2),2) 解析：A　[sin 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＝ sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2).] 2．(2025·呼和浩特市一模)若sin α＝eq \f(5,13)，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　 ) A.eq \f(12,5) B．－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12) 解析：D　[因为sin α＝eq \f(5,13)，且α为第二象限角，得cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13)， 所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(5,12).] 3．(2025·泉州模拟)已知sin θ＋cos θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sin θ－cos θ＝(　　) A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3) 解析：A　[(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝eq \f(16,9)，则2sin θcos θ＝eq \f(7,9)， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝eq \f(2,9)， ∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))， ∴sin θ＞cos θ，则sin θ－cos θ＝eq \f(\r(2),3).] 4．(2024·潍坊二模)若3sin α－sin β＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f(π,2)，则sin α＝____________，cos 2β＝____________. 解析：由题3sin α－sin β＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f(π,2)， 所以3sin α－cos α＝eq \r(10)，又∵sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝eq \f(3\r(10),10).所以cos 2β＝cos(π－2α) ＝－cos 2α＝2sin2α－1＝eq \f(4,5). 答案：eq \f(3\r(10),10)　eq \f(4,5) 5.eq \f(sin2π－α·cosπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝____________. 解析：原式＝eq \f(sin－α·－cos α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))) ＝eq \f(sin αcos α,－sin αcos α)＝－1. 答案：－1 考点一　同角三角函数的基本关系(子母变式) [母题]　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝eq \f(1,5). (1)求tan α的值； (2)把eq \f(1,cos2α－sin2α)用tan α表示出来，并求其值． [破题关键点]　(1)法一，利用已知条件及平方关系先求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．法二： 利用已知条件及平方关系先求出sin α－cos α的值，再求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．(2)先进行“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，再化弦为切求值． [解]　(1)法一：联立方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＋cos α＝\f(1,5)，　①,sin2α＋cos2α＝1， 　②)) 由①得 cos α＝eq \f(1,5)－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(4,5)，,cos α＝－\f(3,5)，))∴tan α＝－eq \f(4,3). 法二：∵sin α＋cos α＝eq \f(1,5)， ∴(sin α＋cos α)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sin αcos α＝eq \f(1,25)， ∴2sin αcos α＝－eq \f(24,25)， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25). ∵sin αcos α＝－eq \f(12,25)＜0，且0＜α＜π， ∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. ∴sin α－cos α＝eq \f(7,5). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＋cos α＝\f(1,5)，,sin α－cos α＝\f(7,5，)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(4,5)，,cos α＝－\f(3,5)，)) ∴tan α＝－eq \f(4,3). (2)eq \f(1,cos2α－sin2α)＝eq \f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α) ＝eq \f(\f(sin2α＋cos2α,cos2α),\f(cos2α－sin2α,cos2α))＝eq \f(tan2α＋1,1－tan2α).∵tan α＝－eq \f(4,3)， ∴eq \f(1,cos2α－sin2α)＝eq \f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2)＝－eq \f(25,7). [子题1]　将母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)， 求 sin α＋cos α的值． 解：由tan α＝－eq \f(1,3)，得sin α＝－eq \f(1,3)cos α， 将其代入 sin2α＋cos2α＝1， 得eq \f(10,9)cos2α＝1，∴cos2α＝eq \f(9,10)，易知cos α＜0， ∴cos α＝－eq \f(3\r(10),10)， sin α＝eq \f(\r(10),10)， 故 sin α＋cos α＝－eq \f(\r(10),5). [子题2]　保持母题条件不变， 求：(1)eq \f(sin α－4cos α,5sin α＋2cos α)； (2)sin2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题解析可知：tan α＝－eq \f(4,3). (1)eq \f(sin α－4cos α,5sin α＋2cos α)＝eq \f(tan α－4,5tan α＋2)＝eq \f(－\f(4,3)－4,5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＋2)＝eq \f(8,7). (2)sin2α＋2sin αcos α＝eq \f(sin2α＋2sin αcos α,sin2α＋cos2α) ＝eq \f(tan2α＋2tan α,1＋tan2α)＝eq \f(\f(16,9)－\f(8,3),1＋\f(16,9))＝－eq \f(8,25). [子题3]　若母题条件变为eq \f(sin α＋3cos α,3cos α－sin α)＝5, 求tan α的值． 解：由eq \f(sin α＋3cos α,3cos α－sin α)＝5, 得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，即tan α＝2. (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cos α)＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 考点二　三角函数的诱导公式(自主练透) [题组集训] 完成下列各题 (1)(2025·济南市二模)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)， 则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值为________． (2)设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) (1＋2sin α≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝____________. (3)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝_________. 解析：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3). (2)∵f(α)＝eq \f(－2sin α－cos α＋cos α,1＋sin2α＋sin α－cos2α) ＝eq \f(2sin αcos α＋cos α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cos α1＋2sin α,sin α1＋2sin α) ＝eq \f(1,tan α)(1＋2sin α≠0)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))) ＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan\f(π,6))＝eq \r(3). (3)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－eq \f(3,5)或2， 又α是第三象限角，∴sin α＝－eq \f(3,5)， ∴cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)， ∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(－\f(3,5),－\f(4,5))＝eq \f(3,4)， ∴原式＝eq \f(cos α－sin α,sin α·cos α)·tan2α＝－tan2α＝－eq \f(9,16). 答案：(1)eq \f(1,3)　(2)eq \r(3)　(3)－eq \f(9,16) 诱导公式应用的原则和步骤 ①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了． ②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～eq \f(π,4)之间角的三角函数，然后求值，其步骤为： 考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的活用(师生共研) 数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养 三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角公式，完成三角运算． [典例]　(1)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝____________. (2)已知θ是第四象限角，且sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)， 则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝____________. [解析]　(1)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝π， ∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3). (2)因为θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)， 所以θ＋eq \f(π,4)是第一象限角，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)， 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))) ＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(4,5)， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))) ＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)， 所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))＝－eq \f(4,3). [答案]　(1)－eq \f(\r(3),3)　(2)－eq \f(4,3) 巧用相关角的关系、简化解题过程 (1)常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等． (2)常见的互补的角：eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ；eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等． [跟踪训练] 1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝____________. 解析：∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(π,2)， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 2．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A.eq \f(\r(5),3)　　B．eq \f(2,3)　　　C.eq \f(1,3)　　 D．eq \f(\r(5),9) 解析：A　[原式化简得3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－eq \f(2,3)或2(舍)，又α∈(0，π)，所以sin α＝eq \f(\r(5),3).] $