第三章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 第三章 三角函数、解三角形 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 课程标准 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 核心素养 1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养． 2．扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养． 3．三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养． 4．三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养 考情聚焦 　　对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力 [必备知识] 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着　端点　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为　正角　、　负角　、　零角　.,按终边位置不同分为　象限角　和　轴线角　.)) (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝eq \f(π,180)rad； ②1 rad＝　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°　 弧长公式 弧长l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝　eq \f(1,2)　lr＝　eq \f(1,2)|α|r2　 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 　y　叫做α的正弦，记作sin α 　x　叫做α的余弦，记作cos α 　eq \f(y,x)　叫做α的正切，记作tan α 各象 限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口决 一全正、二正弦、三正切、四余弦 三角 函数线 有向线段　MP　为正弦线 有向线段　OM　为余弦线 有向线段　AT　为正切线 1．任意角三角函数的定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)． 2．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则eq \f(α,2)所在象限如图 [自主诊断] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (4)不相等的角终边一定不相同．(　　) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　　) (7)α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tan α>α>sin α.(　　) (8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√　(7)√　(8)√ [小题查验] 1．－870°角的终边在第几象限(　　) A．一　　　 B．二　　　　 C．三　　　 D．四 解析：C　[∵－870°＝－360°×3＋210°， ∴－870°与210°角终边相同． 又∵210°角的终边在第三象限， ∴－870°角的终边在第三象限．] 2．下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是(　　 ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z) 解析：C　[与eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．] 3．(2025·聊城模拟)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0 解析：D　[∵－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，∴－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上的角，∴sin 2α<0.] 4．(2025·唐山三模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－1，－2)，则sin2α＋sin 2α＝(　　) A.eq \f(5,8) B．eq \f(8,5) C.eq \f(\r(5),5) D．eq \f(2\r(5),5) 解析：B　[由三角函数的定义有 sin α＝eq \f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq \f(2,\r(5))， cos α＝eq \f(－1,\r(－12＋－22))＝－eq \f(1,\r(5))， 所以sin2α＋sin 2α＝sin2α＋2sin αcos α＝eq \f(4,5)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(5))))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(5))))＝eq \f(8,5).] 5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为____________． 解析：设扇形的半径为R，则eq \f(1,2)×4×R2＝2， ∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6. 答案：6 考点一　角的集合表示及象限角的判定(师生共研) [典例]　(1)若角θ的终边与eq \f(6π,7)角的终边相同，则在[0,2π)内终边与eq \f(θ,3)角的终边相同的角为______________． (2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是____________，角2α的终边所在位置是____________． [解析]　(1)∵θ＝eq \f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)， ∴eq \f(θ,3)＝eq \f(2π,7)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)． 依题意0≤eq \f(2π,7)＋eq \f(2kπ,3)＜2π⇒－eq \f(3,7)≤k＜eq \f(18,7)，k∈Z. ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与eq \f(θ,3)相同的角为eq \f(2π,7)，eq \f(20π,21)，eq \f(34π,21). (2)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜eq \f(3π,2)＋2kπ，∴－eq \f(3π,2)－2kπ＜－α＜－π－2kπ， 即eq \f(π,2)＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)， ∴角－α的终边在第二象限． 由π＋2kπ＜α＜eq \f(3π,2)＋2kπ， 得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)， ∴角2α的终边在第一、二象限或y轴的非负半轴上． [答案]　(1)eq \f(2π,7)，eq \f(20π,21)，eq \f(34π,21)　(2)第二象限　第一、二象限或y轴的非负半轴上 [互动探究] 在本例(2)的条件下，角eq \f(α,3)的终边所在的位置是____________． 解析：因为π＋2kπ＜α＜eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)， 所以eq \f(π,3)＋eq \f(2kπ,3)＜eq \f(α,3)＜eq \f(π,2)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)． 当k＝3n(n∈Z)时，eq \f(π,3)＋2nπ＜eq \f(α,3)＜eq \f(π,2)＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ＜eq \f(α,3)＜eq \f(7π,6)＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，eq \f(5π,3)＋2nπ＜eq \f(α,3)＜eq \f(11π,6)＋2nπ(n∈Z)． 综上可知，eq \f(α,3)的终边在第一、三、四象限． 答案：第一、三、四象限 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (2)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (3)已知角α终边所在的象限，求2α、eq \f(α,2)、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、eq \f(α,2)、π－α等的范围，再根据范围确定象限． [跟踪训练] 1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　 ) A．第一或第三象限　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：A　[当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．] 2．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为__________． 解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}． 答案： {α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z} 考点二　扇形的弧长及面积公式(师生共研) [典例]　已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ [思维导引]　建立扇形的面积S与其半径r的函数关系式求解． [解]　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. 又S＝eq \f(1,2)θr2＝eq \f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r－10)2＋100≤100. 当且仅当r＝10时，Smax＝100， 此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. 所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． [互动探究] 1．本例题条件若变为“周长为6，面积是2”，试求圆心角的弧度数． 解：设半径为r，弧长为l， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)lr＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.)) ∴圆心角的弧度数为α＝4或1. 2．本例题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l. 解：设半径为r.则由eq \f(6,r)＝sin 60°， ∴r＝4eq \r(3)，∴l＝|α|·r＝eq \f(8\r(3),3)π. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的三角形． [跟踪训练] 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为____________． 解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，记扇形的圆心角为α， 则eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq \f(5,27)，∴α＝eq \f(5π,6). ∴扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,c)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq \f(5,18). 答案：eq \f(5,18) 考点三　三角函数的定义(子母变式) [母题]　设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，则 sin α的值为____________． 数学运算——三角函数定义应用中的核心素养 信息提取 信息解读 数学运算 已知角α终边上一点P的坐标(－4a,3a)(a＜0) 角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边可以由点P的坐标确定 先求点P到坐标原点的距离r，在利用sin α＝eq \f(y,r)，求sin α的值 求sin α的值 可以利用任意角的三角函数定义，求sin α的值 [解析]　第一步：利用两点间的距离公式求出点P到坐标原点的距离r. 设P与原点的距离为r，∵P(－4a,3a)，a＜0， ∴r＝eq \r(－4a2＋3a2)＝|5a|＝－5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sin α的值．∴sin α＝eq \f(3a,－5a)＝－eq \f(3,5). [答案]　－eq \f(3,5) [子题1]　若母题中“a＜0”，改为“a≠0”，则sin α的值为______． 解析：当a＜0时，sin α＝－eq \f(3,5)；当a＞0时，r＝5a, sin α＝eq \f(3,5). 答案：－eq \f(3,5)或eq \f(3,5) [子题2]　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时， r＝5a，sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)； 当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)， tan α＝－eq \f(3,4). [子题3]　已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0), 且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，求cos α， tan α的值． 解：由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)， r＝ eq \r(3＋m2). ∴sin α＝eq \f(m,r)＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2))，∴r＝ eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)， 即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5). 当m＝eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝eq \r(5)， ∴cos α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)， tan α＝－eq \f(\r(15),3)； 当m＝－eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝－eq \r(5)， ∴cos α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)， tan α＝eq \f(\r(15),3). 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． 考点四　三角函数线、三角函数值的符号(自主练透) [题组集训] 1．下列各选项中正确的是(　　 ) A．sin 300°>0　　　　　 B．cos(－305°)<0 C．tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)π))>0 D．sin 10<0 解析：D　[300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；而－eq \f(22,3)π＝－8π＋eq \f(2,3)π，所以－eq \f(22,3)π是第二象限角， 故tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)π))<0，因为3π<10<eq \f(7,2)π，所以10是第三象限角，故sin 10<0.] 2．已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P(tan θ，cos θ)在第____________象限． 解析：法一：由sin 2θ<0，得2kπ＋π<2θ<2kπ＋2π (k∈Z)，kπ＋eq \f(π,2)<θ<kπ＋π(k∈Z)． 当k为奇数时，θ的终边在第四象限； 当k为偶数时，θ的终边在第二象限． 又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所以θ的终边在第二象限． 所以tan θ<0，cos θ<0，点P在第三象限． 法二：由|cos θ|＝－cos θ，知cos θ≤0，① 又sin 2θ<0，即2sin θcos θ<0，② 由①②可推出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＞0,cos θ＜0)). 因此θ在第二象限，P(tan θ，cos θ)在第三象限． 答案：三 熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦. $