第二章 第10节 导数的概念与计算-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

第10节　导数的概念与计算 第二章 函数、导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数 核心素养 1.导数的概念，发展逻辑推理和数学运算素养． 2．导数的计算，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．导数的几何意义及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 考情聚焦 　　导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点，导数的运算一般不单独命题，常融合在与导数有关的其他题目中；而导数的几何意义是一个高频考点，常与函数、解析几何放在一起综合考查，有时还作为解答题的一部分呈现． [必备知识] 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝ eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或， 即f′(x0)＝ eq \f(Δy,Δx)＝　eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)　. (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的　切线的斜率　.相应地，切线方程为 　y－y0＝f′(x0)(x－x0)　. 2．函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin x　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝　axln a　 f(x)＝ln x f′(x)＝　eq \f(1,x)　 f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝　eq \f(1,xln a)　 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； (2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与　u对x　的导数的乘积． 1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　 ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　 ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　 ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　 ) (5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋eq \f(1,x).(　　 ) 答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √ [小题查验] 1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　 ) A．xsin x　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：B　[y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　 ) 解析：D　[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，D符合题意．] 3．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：B　[先求函数的导函数f′(x)＝4x3－6x2，则由导数的几何意义知在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝－2，又因为f(1)＝－1，由直线方程的点斜式得切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得y＝－2x＋1.] 4．(2025·烟台二模)曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为(　　) A．y＝eq \f(e,4)x B．y＝eq \f(e,2)x C．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4) 解析：C　[设曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－eq \f(e,2)＝k(x－1)， 因为y＝eq \f(ex,x＋1)， 所以y′＝eq \f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq \f(xex,x＋12)， 所以k＝y′|x＝1＝eq \f(e,4)， 所以切线方程为y－eq \f(e,2)＝eq \f(e,4)(x－1)， 所以曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4).] 5．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________. 解析：由2x＋5＝ex＋x＋a得ex＝x＋5－a，故可知y＝x＋5－a与y＝ex相切，y＝ex的导数y′＝ex，所以切点横坐标为0，所以5－a＝1，故a＝4. 答案：4 考点一　导数的概念(自主练透) [题组集训] 1．设f(x)是可导函数，且满足 eq \f(f1＋2x－f1,2x)＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为　________　. 解析：令2x＝Δx，由x→0，得Δx→0， 则有 eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝－1，即f′(1)＝－1， 由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1. 答案：－1 2．用导数的定义求函数y＝eq \f(1,\r(x))在x＝1处的导数． 解：设f(x)＝eq \f(1,\r(x))， 则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq \f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq \f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx)) ＝eq \f(1－\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx),\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx)) ＝eq \f(－Δx,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))， eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))， 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)； (3)计算导数 考点二　导数的计算(自主练透) [题组集训] 求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋eq \f(1,x)； (3)y＝eq \f(cos x,ex)； (4)y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))； (5)y＝ln(2x－5)． 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x＋\f(1,x)))′＝(ln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2). (3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos x,ex)))′＝eq \f(cos x′ex－cos xex′,ex2) ＝－eq \f(sin x＋cos x,ex). (4)∵y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) ＝eq \f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq \f(1,2)xsin 4x， ∴y′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(1,2)x·4cos 4x ＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcos 4x. (5)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝eq \f(1,2x－5)·2＝eq \f(2,2x－5)，即y′＝eq \f(2,2x－5). 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 考点三　导数的几何意义及应用(多维探究) [命题角度1]　求切线方程　 数学运算——求切线方程的“在”“过”两重天 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解． (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标． 1．(2024·全国甲卷(理))设函数f(x)＝eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A.eq \f(1,6)　　 B．eq \f(1,3)　　　 C.eq \f(1,2)　　 D．eq \f(2,3) 解析：A　[∵f(x)＝eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)， ∴f′(x)＝eq \f(ex＋2cos x1＋x2－ex＋2sin x·2x,1＋x22) ＝eq \f(x－12ex＋21＋x2cos x－4xsin x,1＋x22)， 则f′(0)＝3， ∴y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0， 令x＝0，得y＝1， 令y＝0，得x＝－eq \f(1,3)， ∴y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×1＝eq \f(1,6).] 2．(2025·广州质检)曲线f(x)＝xln(2x－1)＋eq \f(1,x＋1)在点(1，f(1))处的切线方程为________． 解析：因为f(x)＝xln(2x－1)＋eq \f(1,x＋1)，则f(1)＝1×ln 1＋eq \f(1,1＋1)＝eq \f(1,2)， 所以切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，且f′(x)＝ln(2x－1)＋eq \f(2x,2x－1)－eq \f(1,x＋12)， 则k＝f′(1)＝ln 1＋eq \f(2,2－1)－eq \f(1,22)＝eq \f(7,4)， 由直线的点斜式可得y－eq \f(1,2)＝eq \f(7,4)(x－1)，化简可得7x－4y－5＝0， 所以切线方程为7x－4y－5＝0. 答案：7x－4y－5＝0 已知切点A(x0，f(x0))，求切线方程的步骤：(1)求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________． 解析：设切点为(x0，y0)，y＝ln x＋x＋1求导得y′＝eq \f(1,x)＋1，依题有eq \f(1,x0)＋1＝2，得x0＝1， 所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案：2x－y＝0 [命题角度2]　求切点坐标　 4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝______. 解析：y＝ln x＋2的切线为y＝eq \f(1,x1)·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．y＝ln(x＋1)的切线为y＝eq \f(1,x2＋1)x＋ln(x2＋1)－eq \f(x2,x2＋1)(设切点横坐标为x2)． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1)，,ln x1＋1＝lnx2＋1－\f(x2,x2＋1)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,2)，,x2＝－\f(1,2)，))∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2 [命题角度3]　求参数的值　 5．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. 解析：由题意知y′＝(ex＋x)′＝ex＋1，当x＝0时，切线斜率k＝2， 则切线方程为y＝2x＋1，y′＝[ln(x＋1)＋a]′ ＝eq \f(1,x＋1)＝2，得x＝－eq \f(1,2)，y＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0， y＝ln(x＋1)＋a的切点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))， 即0＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋1))＋a，故a＝ln 2. 答案：ln 2 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))，求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k； (3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)求解. $