第二章 第5节 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

第5节　对数与对数函数 第二章 函数、导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 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第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 艺考生文化课百日冲关 数学 课程标准 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1) 核心素养 1.对数的基本运算，发展数学运算素养． 2．对数函数的图象及应用，提升直观想象和数学运算素养． 3．对数函数的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 考情聚焦 　　对数及对数的运算性质，以对数函数为载体的对数型函数的图象和性质，考查函数值的大小比较及单调性的应用，尤其是有关对数函数的复合函数是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 [必备知识] 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作　x＝logaN　，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为　10　 　lg N　 自然对数 底数为　e　 　ln N　 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝ 0　；②logaa＝　1　；③＝　N　； ④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②logaeq \f(M,N)＝　logaM－logaN　； ③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)； ④＝eq \f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：　logbN＝eq \f(logaN,logab)　(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝eq \f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝　logad　. 3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 底 数 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：　R　 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线　y＝x　对称． 　对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　 ) (2)log2x2＝2log2x.(　　 ) (3)当x>1时，logax>0.(　　 ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．(　　 ) (5)函数y＝lneq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．(log29)·(log34)＝(　　) A.eq \f(1,4)　　 B．eq \f(1,2)　　　 C．2　　 D．4 解析：D　[法一：原式＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3·2lg 2,lg 2·lg 3)＝4. 法二：原式＝2log23·eq \f(log24,log23)＝2×2＝4.] 2．(2025·柳州模拟)设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：D　[由a＝50.3＞1＞b＝log0.30.5＞0＞c＝log30.4，∴c＜b＜a.] 3．(2024·全国甲卷(理))已知a＞1且eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝－eq \f(5,2)，则a＝____________. 解析：因为eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝eq \f(3,log2a)－eq \f(1,2)log2a＝－eq \f(5,2)，所以(log2a＋1)(log2a－6)＝0，而a＞1，故log2a＝6，解得a＝64. 答案：64 4．(多选题)(2025·山东实验中学押题卷)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则(　　) A．f(ln 2)＝ln eq \f(5,2) B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2 解析：ACD　[f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝lneq \f(5,2)，A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln ex＝lneq \f(e2x＋1,ex)＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B错误；当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确．] 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，则不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,8)x))>0的解集为____________． 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0. ⇒x>2或0<x<eq \f(1,2)，∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)． 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) 考点一　对数的基本运算(自主练透) [题组集训] 1．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝____________. 解析：根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7. 答案：－7 2.eq \f(\r(lg 32－lg 9＋1)lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1 000),lg 0.3·lg 1.2) ＝____________. 解析：原式＝ eq \f(\r(lg 32－2lg 3＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2))),lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1) ＝eq \f(1－lg 3·\f(3,2)lg 3＋2lg 2－1,lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1)＝－eq \f(3,2). 答案：－eq \f(3,2) 3．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝____________. 解析：∵14b＝5，∴log145＝b，又log147＝a， ∴log3528＝eq \f(log1428,log1435)＝eq \f(log14\f(142,7),log145＋log147)＝eq \f(2－a,a＋b). 答案：eq \f(2－a,a＋b) 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后运用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 考点二　对数函数的图象及应用(子母变式) 直观想象——数形结合法在对数函数问题中的应用 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解． [母题]　当0<x≤eq \f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))　　　　　　　　 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2) [破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图象的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法． [解析]　B　[法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图象，可知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2<logaeq \f(1,2)，则a>eq \f(\r(2),2)， 所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 法二：∵0<x≤eq \f(1,2)，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝eq \f(1,2)，x＝eq \f(1,2)， 则有，显然4x<logax不成立，排除选项A.] [子题1]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，则实数a的取值范围是____________． 解析：由x2－logax<0，得x2<logax， 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax， 要使x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，不等式x2<logax恒成立， 只需f1(x)＝x2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，需f1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤f2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))， 所以有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤logaeq \f(1,2)，解得a≥eq \f(1,16)，∴eq \f(1,16)≤a<1. 即实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)). 答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)) [子题2]　将母题变为：当0<x≤eq \f(1,4)时，eq \r(x)<logax，则实数a的取值范围是____________． 解析：若eq \r(x)<logax在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))成立，则0<a<1，且y＝eq \r(x)的图象在y＝logax图象的下方，如图所示， 由图象知eq \r(\f(1,4))<logaeq \f(1,4)， 即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)) [子题3]　将母题变为：已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0,3x，x≤0))，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是___________． 解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 答案：a>1 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考点三　对数函数的性质及应用(师生共研) [命题角度1]　比较对数值的大小　 1．若a>b>0,0<c<1，则(　　 ) A．logac<logbc　　　　　 B．logca<logcb C．ac<bc D．ca>cb 解析：B　[∵0<c<1，∴当a>b>1时，logac>logbc，A项错误；∵0<c<1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴logca<logcb，B项正确； ∵0<c<1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a>b>0，∴ac>bc，C项错误； ∵0<c<1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a>b>0，∴ca<cb，D项错误．] [命题角度2]　解简单的对数不等式　 2．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为____________． 解析：∵f(x)＝logax， 则y＝|f(x)|的图象如图所示． 由图知，要使x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))时恒有|f(x)|≤1，只需eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))≤1， 即－1≤logaeq \f(1,3)≤1，即logaa－1≤logaeq \f(1,3)≤logaa. 当a>1时，得a－1≤eq \f(1,3)≤a，即a≥3； 当0<a<1时，得a－1≥eq \f(1,3)≥a，得0<a≤eq \f(1,3). 综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪[3，＋∞)． 答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪[3，＋∞) [命题角度3]　与对数有关的复合函数问题　 3．已知函数在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) D．(－∞，－1] 解析：B　[在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上是增函数，说明内层函数μ(x)＝x2－ax－a在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上是减函数且μ(x)＞0成立，只需对称轴x＝eq \f(a,2)≥－eq \f(1,2)且μ(x)min＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＞0，解得a∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).] [命题角度4]　利用对数函数的性质求参数　 4．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是__________． 解析：当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)；当x>2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a>1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1， ∴1<a≤2.即实数a的取值范围是(1,2]． 答案：(1,2] 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. $