第二章 第8节 函数与方程-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第8节　函数与方程 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性 1.判断函数零点的个数，发展直观想象素养． 2．确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 　　由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间，求方程的根，函数的零点个数，基本初等函数的图象是高考的热点．以函数的零点，方程的根及函数图象的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归思想，考查函数与方程思想，数形结合等思想．本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多，在解答题中也有所体现，难度较大 　　　　　　　　对应学生用书P39 [必备知识] 1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　. (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②　f(a)·f(b)<0　；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 　(x1,0)，　 　(x2,0)　 　(x1,0)　 无交点 零点个数 2 1 0 3.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　一分为二　使区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示： 所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在(a，b)上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) 函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　 ) (2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　 ) (3) 函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　 ) (4) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [小题查验] 1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　 ) 解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．] 2．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0,0.3)　　　　　 B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2) 解析：B　[f(x)＝0.3x－(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减． ∵f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0. f(0.5)＝0.30.5－＝0.30.5－0.50.5＜0， ∴f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上．] 3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．] 4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为____________． 解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2,1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56 5．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是____________. 解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示． 直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即<a<. 答案： 　　　　　　对应学生用书P40 考点一　确定函数零点所在的区间(自主练透) [题组集训] 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 ) A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．] 2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　 ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：B　[法一　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如右： 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)． 法二　易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．] 3．(2025·大理州一模)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－1，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　 ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解析：D　[令f(x)＝2x＋x＝0，解得x＜0， 令g(x)＝x－1＝0，解得x＝1，由h(x)＝log3x＋x， 令h＝－1＋＜0，h(1)＝1＞0，又函数h(x)是增函数，因此h(x)的零点x0∈. 则b＞c＞a.] 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点二　判断函数零点的个数(师生共研) [典例]　已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是_________． 数学抽象、直观想象——确定函数零点个数中的核心素养 信息提取 信息解读 数学抽象、直观想象 f(x)＝ 当x>0时，y＝|lg x|的图象是函数y＝lg x的图象在x轴上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称到x轴上方 在同一坐标系中画出函数y＝|lg x|在x>0时的图象和函数y＝2|x|在x≤0时的图象 当x≤0时，y＝2|x|＝2－x＝x的图象就是y＝x的图象在y轴左侧的部分 函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点 函数的零点就是方程的根 函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点，即方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的根 函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点，也就是方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的根，把f(x)看成一个整体，本方程就是关于f(x)的一元二次方程，通过解方程可以得出f(x)＝1或 解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或 解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的根，是解适合此方程的x的值，也就是方程f(x)＝或f(x)＝1对应的x的值 结合函数f(x)的图象，观察y＝和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数 零点个数 函数的零点个数就是对应方程的根的个数，即方程f(x)＝或f(x)＝1对应的x的值的个数，转化为y＝和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数，借助图象利用数形结合求解 y＝和y＝1与函数y＝f(x)的图象交点个数之和即为本题的零点个数 [解析]　第一步 作函数y＝f(x)的图象 作出函数y＝f(x)的图象． 第二步　解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝或f(x)＝1. 第三步　观察y＝和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数 由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点， y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点． 第四步　得出函数的零点个数 因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个． [答案]　5 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数) [跟踪训练] 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1 　　　　C．2　　　 D．3 解析：C　[f(x)＝0时，得或 解得x＝－1或x＝1.故所求函数的零点个数是2.] 2．(2025·成都二模)已知函数f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k＜0，使得f(x)有一个零点； ③∃k＜0，使得f(x)有三个零点； ④∃k＞0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是____________． 解析：令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的交点问题． 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两个交点，①正确； 对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误； 对于④，当k＞0时，过点(0,2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．综上可知①②④符合题意． 答案：①②④ 考点三　函数零点的应用(子母变式) 数学建模——唇齿相依的函数与方程 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决． [母题]　若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为____________． [解析]　令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>，所以，当0<x<时，函数g(x)单调递减；当x>时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－<a<0.故实数a的取值范围为. [答案]　 [子题1]　若本例中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是__________． 解析：由本例解析知a＝－或a≥0. 答案：[0，＋∞)∪ [子题2]　若函数变为f(x)＝ln x－x－a，其他条件不变，则a的取值范围是_________． 解析：函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即为关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0，化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) [子题3]　若函数变为f(x)＝ 若函数y＝f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是__________． 解析：令g(x)＝h(x)＝a，则问题转化为g(x)与h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图．由图象知－＜a＜1.故实数a的取值范围是. 答案： 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离得a＝f(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 学科网（北京）股份有限公司 $