第二章 第4节 指数与指数函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

该高中数学教案围绕指数与指数函数专题，整合根式、分数指数幂运算及指数函数图象性质等核心考点，按“必备知识梳理-考点分层突破-真题实战演练”逻辑架构，通过概念辨析、方法归纳、典例精讲帮助学生构建知识网络，突破运算化简、图象应用等难点，体现复习系统性与针对性。 教案突出直观想象与逻辑推理素养培养，创新设计“问题变形-图象绘制-关系分析”三步法解决指数不等式，如转化2ˣ(x-a)<1为x-a<(1/2)ˣ后结合图象分析参数范围。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4节　指数与指数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 1.根式与有理数指数幂的运算，提升数学运算素养． 2．指数函数的图象及应用，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．指数函数的性质及应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　幂的运算性质、指数函数的图象和性质是高考命题的热点，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 　　　　　　　　对应学生用书P27 [必备知识] 1．根式 (1)概念：式子叫做 根式 ，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝ a (a使有意义)；当n为奇数时，＝ a ，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 没有意义 ． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ arbr ，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝ax(a>0且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x<0时，　y>1　； 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是 　增函数　 在(－∞，＋∞)上是 　减函数　 1.()n＝a(n∈N*)． 2.＝ 3．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)2a·2b＝2ab.(　　) (2)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (3)函数的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [小题查验] 1．化简的结果为(　　 ) A．－9　　　 B．7　　　 C．－10　　 D．9 解析：B　[原式＝－1＝8－1＝7.] 2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　 ) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：A　[∵y＝x＝2－x， ∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．] 3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1,5)　 B．(1,4)　　 C．(0,4)　 D．(4,0) 解析：A　[由a0＝1知，当x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1,5). ] 4．(2025·山东济宁模拟)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析：D　[由y＝1.01x在R上单调递增， 则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.] 5．(2025·日照二模)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为____________． 解析：当x＞0时，y＝2x＞1，当x≤0时，y＝1，故值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 　　　　　　对应学生用书P28 考点一　根式与有理数指数幂的运算(自主练透) [题组集训] 1．下列等式能够成立的是(　　) 2．求值与化简． 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点二　指数函数的图象及应用(师生共研) [典例]　(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) [解析]　A　[将函数解析式与图象对比分析， 因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．] (2)(2025·长春市模拟)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞)　　　　　 B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 直观想象——函数图象在不等式中的具体应用 信息提取 信息解读 直观想象 存在 正数x 存在正数x，即x>0，体现在图象上就是y轴的右侧 将不等式2x(x－a)<1变形为x－a<x 2x(x－a) <1成立 题干给出的不等式2x(x－a)<1不易求解，可转化为两个基本初等函数构成不等式x－a<x 画出y＝x的图象 考虑利用初等函数的图象解决，即转化为直线y＝x－a在(0，＋∞)上，有一部分在曲线y＝x的下方 画出直线y＝x－a的图象，满足在y轴的右侧，有一部分在曲线y＝x的下方 求a的 取值 范围 观察图象，写出满足的条件，即可求得结果 根据在同一平面直角坐标系内直线y＝x－a与y＝x的图象，列出有关a的不等式，求得结果 [解析]　D　[第一步　将不等式2x(x－a)<1变形为两个基本初等函数构成的不等式 不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<x. 第二步　画出函数y＝x与y＝x－a的图象 在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方． 第三步　观察图象，列出有关a满足的条件 观察可知，有－a<1，所以a>－1.] (3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是____________. [解析]　曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． [答案]　[－1,1] [互动探究] 1．若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是____________． 解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1) 2．若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是____________． 解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 3．若将本例(3)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________________． 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的． 当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)； 当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点， 则0＜2a＜1，得到0＜a＜，如图(2)． 综上可知，a的取值范围是. 答案： 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． 易错警示：应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图象的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论． [跟踪训练] 1．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析：D　[法一：当0<a<1时，函数y＝ax－是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，结合各选项知选D. 法二：因为函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D.] 2．方程2x＝2－x的解的个数是____________． 解析：方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)． 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：1 考点三　指数函数的性质及应用(多维探究) [命题角度1]　比较指数式的大小　 1．(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c　　　　 B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：B　[因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3＜0＜0.3，所以0＜4.2－0.3＜4.20＜4.20.3， 所以0＜4.2－0.3＜1＜4.20.3，即0＜a＜1＜b， 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上递增，且0＜0.2＜1， 所以log4.20.2＜log4.21＝0，即c＜0， 所以b＞a＞c.] [命题角度2]　简单的指数方程或不等式的应用　 2．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：C　[当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3， 因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0； 当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1， 所以0≤a＜1.综上可知，a的取值范围是(－3,1)．] [命题角度3]　探究指数型函数的性质　 3．已知函数. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [思路导引]　(1)遵循“同增异减”法则求f(x)的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，由此可求出a的值． 解：(1)当a＝－1时，， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)， 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0. 　指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $