第一章 第3节 不等关系与不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

该高中数学高考复习教案围绕不等关系与不等式专题，涵盖不等关系表示、数（式）大小比较、不等式性质及应用等核心考点，按“基础方法-性质梳理-应用突破”逻辑架构知识。通过考点梳理、方法指导（如作差法步骤）、真题训练（小题查验、典例精讲）等环节，帮助学生构建知识网络，突破性质应用难点，体现复习的系统性和针对性。 教案突出逻辑推理与数学建模素养培养，如比较大小采用作差变形判断符号的分层教学，不等式性质应用结合“条件-结论”双向推理训练。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点。助力学生快速掌握性质应用规律，提升应考准确性，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第3节　不等关系与不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用 1.用不等式(组)表示不等关系，达成数学建模素养． 2．比较两个数(式)的大小，发展逻辑推理和数学运算素养． 3．不等式的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 　　不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，高考中常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题，有时以新概念(定义)比较两个数的大小，多以选择题为主，题目难度不会太大 　　　　　　　　对应学生用书P7 [必备知识] (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔ b＜a ⇔ 传递性 a＞b，b＞c⇒ a＞c ⇒ 可加性 a＞b⇔ a＋c＞b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ ac>bc ； ⇒ ac＜bc c的符号 同向可 加性 ⇒ a＋c＞b＋d ⇒ 同向同正 可乘性 ⇒ ac＞bd ⇒ 可乘方性 a＞b＞0⇒ an＞bn (n∈N，n≥2) a，b同为正数 可开方性 a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2) a，b同为正数 　不等式的一些常用性质 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数的性质 <；>(b－m>0)． (2)假分数的性质 >；< (b－m>0)． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)一个不等式的两边同加上或同乘一个数，不等号方向不变．(　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　) (4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(　　) (5)若ab＞0，则a＞b⇔＜.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M>N　　　　　　　 B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：A　[M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.] 2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　　 ) A．v<40 km/h B．v >40 km/h C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h 解析：D　[由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h，即v≤40 km/h.] 3．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析：C　[由≥2⇔≥0⇔≤0⇔⇔－2≤x<1.] 4．用不等号“＞”或“＜”填空． (1)a＞b，c＜d⇒a－c____________b－d； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac____________bd； (3)a＞b＞0⇒____________； (4)a＞b＞0⇒____________. 答案：(1)＞　(2)＜　(3)＞　(4)＜ 5．已知a>b>0，且c>d>0，则与的大小关系是____________． 解析：∵a>b>0，c>d>0，∴>>0， ∴ >. 答案： > 　　　　　　对应学生用书P8 考点一　用不等式(组)表示不等关系(自主练透) [题组集训] 1．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 食物种类 甲 乙 维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg) 800 400 设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为_______． 解析：依题意，有 整理化简得 答案： 2．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为____________． 解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.即x2－28x＋190≤0，同时10≤x≤20. 答案：x2－28x＋190≤0(10≤x≤20) 用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策略 (1)常见类型 ①常量与常量之间的不等关系； ②变量与常量之间的不等关系； ③函数与函数之间的不等关系； ④一组变量之间的不等关系． (2)解题策略 ①分析题目中有哪些未知量； ②选择其中起关键作用的未知量，设为x，再用x来表示其他未知量； ③根据题目中的不等关系列出不等式(组)． 提醒：①在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略，从而导致错解． ②将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如下表： 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 考点二　比较两个数(式)的大小(师生共研) [典例]　(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M<N　　　　　　　 B．M>N C．M＝N D．不确定 [解析]　B　[因为M－N＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又a1，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0， 所以(a1－1)(a2－1)>0，所以M>N.] (2)已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． [解]　∵－(1＋a)＝， ①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a. ②当a<1，且a≠0时，>0，∴>1＋a. ③当a>1时，<0，∴<1＋a. [互动探究] 若将本例(1)中a1，a2∈(0,1)这个条件去掉，又将如何判断M，N的关系？ 解：作差，即M－N＝(a1－1)(a2－1)． ①当a1，a2∈(－∞，1)时，(a1－1)(a2－1)>0， 即M>N； ②当a1，a2∈(1，＋∞)时，(a1－1)(a2－1)>0， 即M>N； ③当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，(a1－1)(a2－1)≤0，即M≤N. 综上，当a1，a2∈(－∞，1)或a1，a2∈(1，＋∞)时，M>N，当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，M≤N. 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法． (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤． (3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小． [跟踪训练] 已知实数a、b、c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(　　 ) A．c≥b＞a B．a＞c≥b　 C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：A　[∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b. ∵(b＋c)－(c－b)＝2a2＋2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＞0，∴b＞a.综上可知，a、b、c的大小关系是c≥b＞a.] 考点三　不等式的性质及应用(多维探究) 逻辑推理——不等式的性质及应用中的核心素养 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．应用不等式的性质可以判断或证明不等式是否成立，进一步增强逻辑推理的核心素养． [命题角度1]　判断或证明不等式是否成立　 1．若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b　　　　　　 B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 解析：B　[由指数与对数运算可得：2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，又因为22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，即2a＋log2a<22b＋log22b，令f(x)＝2x＋log2x，由指，对函数单调性可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(a)<f(2b)，可得a<2b.] 2．若a＞b，则(　　) A．ln(a－b)＞0　　　　　 B．3a＜3b C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b| 解析：C　[若a＞b，则a3＞b3，即a3－b3＞0.] (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等． [命题角度2]　求某些代数式的取值范围　 3．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是____________． [破题关键点]　一是将f(－2)用f(－1)和f(1)表示出来；二是求f(－2)＝4a－2b在即在条件下的最值． 解析：法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1) (m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得，解得， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法二：由， 得， ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 答案：[5,10] 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围 应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 学科网（北京）股份有限公司 $