4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解 数学 学习目标 1.通过具体实例，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解(给定精确度)，体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 2.通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来，通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件. 学习重难点 重点： 二分法的原理，用二分法求方程近似解的一般步骤. 难点： 对利用二分法求函数零点近似值的原理及精确度的理解. 【设置悬念】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路大约有200多根电线杆. 课堂导入 可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能确定出故障的很小范围，你知道他是如何做到的吗？ 如图所示，他首先从线段AB的中点C开始查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段的中点D，若这次发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD的中点E来查. 课堂导入 每查一次，可以把待查的线段缩减一半，所以要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了. 【情境问题】 思考1　上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？ 答案：二分法.　 思考2　工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆的关键是什么？ 答案：确立故障的范围.　 思考3　如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆？ 答案： 6次. 课堂探究 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) －4 1.307 1.099 3.386 5.609 7.792 9.946 12.079 14.197 【结论】函数只有一个零点，落在区间(2,3)内. 【问题】如何求出这个零点？ 函数f(x)=ln x+2x-6部分对应值表如下，那么这个函数有几个零点，落在哪个区间内？ 课堂探究 根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 2.5625 0.066 2.53125 0.009 （2，3） 2.75 2.625 0.084 0.512 0.215 2.5 （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） 课堂探究 缩小范围 零点在（2,3） （2.5,3） （2.5,2.75） ↓ ↓ 1. 算中点 2. 找异号 零点所在区间的长度 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的近似解 （精确度为0.1）. 课堂探究 根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 （2，3） 2.75 2.625 2.5625 0.084 0.512 0.215 0.066 2.5 （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.5625） 1 0.5 0.25 区间长度 0.125 0.0625 2.53125 0.009 课堂探究 问题:若给定精确度 ，如何选取近似值？ 说明: 由 |a-b|< 可知， 区间[a,b]中任意一个值都是零点x0 的满足精确度的近似值. 为了方便, 统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值. 课堂探究 11 根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.562 5） 2.53125 0.009 （2，3） 2.75 2.625 2.5625 0.084 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.512 0.215 0.066 2.5 区间长度 |2.562 52.5|=0.062 5<0.1, 方程的近似解为2.562 5. 课堂探究 对于区间[a, b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 课堂探究 【小试牛刀】 例1　下列图象所表示的函数中能用二分法求零点近似值的是（ ） 【解析】A中,函数无零点.B和D中,函数有零点,但它们在零点左右两侧的函数值符号均相同,因此它们都不能用二分法来求零点的近似值.而在C中,函数的图象是一条连续不断的曲线,图象与x轴有公共点,并且在零点的左右两侧的函数值符号相反.故选C. C 课堂探究 跟踪训练1 若函数f(x)的图象如图所示，则其中零点的个数与可以用二分法求近似值的零点个数分别为(　　) A．4,4　　　 B．3,4 C．5,4 D．4,3 D 【解析】 函数的图象与x轴有4个公共点,所以零点的个数为4;左右两侧函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求近似值的零点个数为3.故选D. 课堂探究 思考 (1)用二分法求函数的零点时，函数需要满足什么条件呢？ 提示：函数需要满足的前提条件是 ①f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断. ②在区间[a，b]端点的函数值满足f(a)f(b)<0. （2）在《庄子·天下》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若给木棒规定一个长度，是否就可以停止“取半” ？同样，若给区间规定一个长度，是否也可以结束周而复始的运算？ 提示：可以，所以二分法求函数的零点近似值时，规定了精确度. 课堂探究 用二分法求函数零点近似值的步骤： 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 第一步，确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. 第二步，求区间(a，b)的中点c. 第三步，计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0，（此时=）则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时x0∈(a，c))； (3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时x0∈(c，b))． 第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复第二至第四步． 课堂探究 1. 二分法定义 二分法是求函数零点近似值的一种计算方法. 二分法渗透了逼近的数学思想. 2. 利用二分法求方程近似解的操作步骤： （1）确定初始区间[a，b]； （2）取区间的中点c； （3）计算f(c )并确定缩小后的区间； （4）循环进行，达到精确度. 归纳反思 例2 证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点的近似值(精确度为0.1). 解 ∵f(1)=1<0，f(2)=4>0,即f(1)f(2)<0， 又f(x)是增函数,它的图象是一条连续不断的曲线，∴函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点.设该零点为x0,则x0∈(1,2).取x1=1.5，f(1.5)≈1.328>0， ∵f(1)f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).取x2=1.25，f(1.25)≈0.128>0， ∵f(1)f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25).取x3=1.125，f(1.125)≈0.444<0， ∵f(1.125)f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25).取x4=1.187 5，f(1.187 5)≈0.160<0， ∵f(1.187 5)f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴可取x0=1.25,则函数的零点的近似值可取为1.25. 课堂探究 跟踪训练2 用二分法求函数 在区间（0,1） 内的零点近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 解析：区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作，区间长度变 为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为 . 因为精确度为0.01,所以 <0.01.又n∈ 所以 n≥7， 所需二分区间的次数最少为7.故选C. C 课堂探究 例3 用二分法求方程2＋3－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1). 解 令f(x)=2x3+3x-3,经计算，f(0)=-3<0, f(1)=2>0，因为f(0)f(1)<0，函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在区间(0,1)内存在零点x0. 取区间(0,1)的中点0.5，则f(0.5)<0, 因为f(0.5)f(1)<0,所以x0∈(0.5,1). 如此继续下去,得到方程的正实数解所在的区间,如下表: 课堂探究 零点所在区间 中点的值 中点函数值符号 (0,1) 0.5 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 则x0∈(0.687 5,0.75). 因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1, 所以方程2x3+3x-3=0的一个正实数的近似解可取为0.687 5. 课堂探究 【规律方法】用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的解，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间的长度是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算. 课堂探究 跟踪训练3 用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2). 参考数据：，，2.594. 课堂探究 解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0 则函数零点x0∈(1.375,1.5). ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2， ∴2x＋x＝4在区间[1，2]内的近似解可取为1.375. . 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值及符号 (1，2) 1.5 0.33>0 (1，1.5) 1.25 －0.37<0 (1.25，1.5) 1.375 －0.031<0 课堂探究 1.用二分法求方程＝2的近似解时，可以取的一个区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 2.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[﹣3，5]，则第三次所取的区间可能是（　　） A．[1，5] B．[﹣2，1] C．[1，3] D．[2，5] 3.求方程﹣2x﹣3＝0在区间（1，2）内的实数解，用二分法确定的下一个有解的区间是______________.　　 （1.5，2） B C 课堂探究 4.以下是用二分法求方程+3x﹣5＝0的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整． 解：设函数f（x）＝+3x﹣5，其图象在定义域R上是一条连续不断的曲线 ，且f（x）在R上是单调递_________． (填“增”或“减”) 先求f（0）＝_____，f（1）＝______，f（2）＝________． 所以f（x）在区间________内存在零点，再填写下表： 课堂探究 （可参考条件：f（1.125）＜0，f（1.1875）＞0；符号填+、﹣） 区间 中点的值 中点函数值符号 区间长度 因为　　　　　　　　　　　　　　<0.1,  所以原方程的近似解可取为　　　　.  课堂探究 区间 中点的值 中点函数值符号 区间长度 (1,2) 1.5 + 1 (1,1.5) 1.25 + 0.5 (1,1.25) 1.125 - 0.25 (1.125,1.25) 1.187 5 + 0.125 (1.125,1.187 5)     0.062 5 答案:增　-5　-1　9　(1,2) |1.187 5-1.125|=0.062 5　 1.187 5 课堂探究 【课堂小结】 让学生回顾讨论，总结本节课学习内容： 1．知识：二分法的思想和步骤，函数零点的分类，及二分法的适用范围. 2．思想：数形结合的思想、二分法思想、转化思想. 完成教材第146页练习第1，2题，第155页习题4.5第1，4，5题. 布置作业 谢谢大家 $