4.4.2 对数函数的图象和性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数的概念、图像、性质、反函数及应用，以化学溶液pH值计算为导入实例，通过“问题链”搭建学习支架，从实际问题抽象出对数函数模型，衔接函数研究的一般方法（作图-观察-归纳），形成完整知识脉络。 其亮点在于融合“用数学眼光观察现实世界”“用数学思维思考现实世界”，通过合作探究作图（如描点绘制对数函数图像并归纳对称性、单调性）培养抽象能力与推理意识，结合实例比较大小、解不等式强化数学语言表达。这既激发学生探究兴趣，又为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

4.4.2 对数函数图象和性质 数学 ①巩固掌握对数概念、指数函数图象和性质，进一步掌握研究函数的一般过程与方法. ②初步了解对数函数的图象性质，并初步运用对数函数的性质解决比较大小等简单问题． ③培养数形结合的意识，提高识图能力；学会用联系、类比的观点分析问题. 一、学习前奏 历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. 课堂导入 【设置悬念】 在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= -lg[]，其中[]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如，在我国规定纯净水ph值只要在6.5~8.5之间即是合格产品.如果水的ph值过低则会有腐蚀作用，而ph值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的ph值都是控制在6.5~8.5之间.又如，人体的胃酸中氢离子的浓度大约为[]=2.5×摩尔/升. 课堂导入 思考1：已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[]=摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？人体的胃酸pH又是多少（可用计算器）？ 答案：7 是 1.60 思考2：请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？ （提示：若记溶液酸碱度为y，氢离子浓度为x，写出y关于x的函数解析式） 答案：越强；变化关系为y= -lg x，则需要研究对数函数y=lg x的单调性. 思考3：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？ 先根据解析式画出函数图象，然后借助图象归纳概括其性质. 课堂探究 【合作探究1】 利用“描点法”作函数和的图像．函数的定义域为，取x的一些值,列表如下： x … 1 2 4 … … -2[ -1 0 1[来源:] 2 … … 2 1 0 -1 -2 … 课堂探究 描点 连线 2 1 -1 -2 1 2 4 O y x 3 1 4 这两个函数的图象有什么关系呢？ 关于x轴对称 课堂探究 思考：观察函数和的图象，说出它们的性质？ （1）函数和的图像都在y轴的右边； （2）图像都经过点(1,0)； （3）函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势； （4）两个函数的图象关于x轴对称. 课堂探究 【合作探究2】学生以小组为单位合作完成： 在同一坐标系内，利用“描点法” 作函数和的图像，并总结图象的特点. 课堂探究 【合作探究3】对数函数的图象 把函数，，和的图象放到同一个坐标系中，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性?由此你能概括出对数函数（a>0，且a≠1）的值域和性质吗? 课堂探究 函数，，的图象 课堂探究 对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质 图 象 性 质 a ＞ 1 0＜a＜1 定义域: 值 域: 过定点: 在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是 (0,+∞) R (1,0), 即当x＝1时,y＝0 增函数 减函数 y x O x =1 (1,0) y x O x =1 (1,0) 课堂探究 【小试牛刀】 例1 （1）函数y=logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　) A．5　　　B. C.e D. (2)y＝logax＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点________． AC （1,1） 课堂探究 跟踪训练1：(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝与y＝的图象为(　　) （2）函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________. C　 (3,0) 课堂探究 【思考】（1）在同一坐标系内用描点法画出函数y＝图象与y＝的图象之后，说出这两个函数图象之间有什么关系. 提示：图象如图,图象关于y＝x对称. （2）对数函数中两个变量和函数值的取值范围分别是什么？有什么关系？ 提示：变量x的取值范围与指数函数中的y的取值范围相同，均为(0,+∞).变量y的取值范围与指数函数中的x的取值范围相同,均为R. 课堂探究 1.反函数 一般地，指数函数y＝(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 特别提醒： 互为反函数的两个函数图象关于y＝x对称． 原函数y＝的点()，则(，)在y＝上． 课堂探究 2.对数函数的图象与底数的关系 对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示. 课堂探究 【小试牛刀】 例2 （1） 如图所示，曲线是对数函数y＝(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取则相应于的a值依次为(　　) A．， B．C. D． A 课堂探究 (2)若函数y=的反函数为y=f（x），则f（2）=（　　） A．9 B．18 C．32 D．36 跟踪训练3：若函数f（x）=的反函数是g（x），则g（2）的值为 （　　） A．1 B． 2 C．3 D．4 A A 课堂探究 例3 比较下面两个值的大小 ⑴ ；⑵ ⑶ ( a＞0 , a≠1 ). 解：（1）用对数函数的单调性，考察函数y= .∵a=2 > 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是增函数.∵3.4<8.5，∴ （2）考察函数 , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数.∵1.8<2.7 ∴ . （3）考察 的大小，可看作函数y=的两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论;当a > 1时, 因为y=是增函数，且5.1 <5.9，所以 ； 当0< a < 1时, 因为y=是减函数，且5.1 <5.9，所以 课堂探究 跟踪训练3：比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8；　　　　　(2)； (3)与; (4)与. 课堂探究 解：(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以. (3)由于，. 又∵对数函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，且＞， ∴0＞ ＞ ，∴＜.∴<. (4)取中间值1， 所以 . 课堂探究 例4 (1)已知＞1，求a的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 解：(1)由＞1得＞. ①当a＞1时，有a＜，此时无解． ②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1. ∴a的取值范围是(,1). (2)∵函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，∴由解得x＞1. ∴x的取值范围是(1，＋∞)． 课堂探究 【归纳总结】常见对数不等式的两种解法 (1)形如的不等式，借助y＝的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝的单调性求解. 课堂探究 跟踪训练4:已知恒为正，求a的取值范围． 解：由题意知＞0＝. 当a＞1时，y＝是增函数， ∴解得a＞，∴a＞1； 当0＜a＜1时，y＝是减函数， ∴解得＜a＜,∴＜a＜. 综上所述，a的取值范围是(,)∪(1，＋∞). 课堂探究 例5 求下列函数的值域． (1)；(2)． 解：(1)的定义域是R. 因为≥4，所以≥＝2， 所以的值域为[2，＋∞)． (2)设u＝＝－＋4≤4. 因为u＞0，所以0＜u≤4. 又在(0，＋∞)上为减函数， 所以≥＝－2， 所以的值域为[－2，＋∞)． 课堂探究 【归纳总结】对数型函数的值域与最值 (1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值． 课堂探究 解：＝＋＋2＝＋6＋6＝－3. ∵f(x)的定义域为[1,9]， ∴中，x必须满足 ∴1≤x≤3，∴0≤≤1，∴6≤y≤13. ∴当x＝3时，y取得最大值，为13. 跟踪训练5:已知，∈[1,9]，求函数的最大值及此时的值． 课堂探究 1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，7]　　　　　　　　 B．(2,7] C．[7，＋∞) D．(2，＋∞) 2．已知，则(　　) A．n＜m＜1 B．m＜n＜1 C．1＜m＜n D．1＜n＜m B D 评价反馈 课堂探究 3．函数的单调递增区间是(　　) A. B．(0,1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 4．已知实数a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系 为(　　) A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a D D 课堂探究 5.如图所示的曲线是对数函数y＝，y＝，y＝，y＝的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________________． 6.函数 的反函数是_______________； 函数的反函数是_________________. b＞a＞1＞d＞c＞0 课堂探究 问题1：研究函数的一般方法是什么? 问题2：简述对数函数的性质. 问题3：本节课的学习用到了哪些思想方法? 课堂小结 教材第135页练习第1,2,3题；第140页习题4.4第1,2,7,12,13题. 布置作业 谢谢大家 $