4.4.1对数函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.1 对数函数的概念 数学 1.从实际问题情境中,抽象出对数函数的概念,认识与指数函数间的关系; 2.在对数函数概念形成过程中进一步体会函数的本质,感受知识间内在联系. 学习目标 创设情境,生成问题 对中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认,河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型,专家推断这条黄河巨龙活着的时候,体重应该在60吨左右,是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”. 课堂导入 思考1:同学们知道专家是怎样依据“龙骨”化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗? 答案:考古学家是通过提取附着在“龙骨”化石上的残留物,利用为碳14含量)估算出黄河巨龙的生活年代t的. 思考2:t是的函数吗?为什么? 答案:t是的函数,因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f:t=,都有唯一的值与之相对应,故t是P的函数. 课堂导入 思考3:函数t=的解析式与函数y=的解析式有什么共同特征? 两个函数都是对数的真数作为函数的自变量. 课堂导入 1.对于一般的指数函数(a>0,且a≠1),根据指数与对数的运算关系,转换成(a>0,且a≠1),能否将x看成是y的函数? 2.通常,我们用x表示自变量,y表示函数.为此,可将(a>0,且a≠1)改写为(a>0,且a≠1).这就是对数函数. 课堂探究 一、对数函数 1.函数(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是_. 2.对概念的深度剖析: (1)对数函数中的底数和对数运算中的底数相同,都是_. (2)对数的运算中N>0,对数函数中的自变量_,对数函数的 定义域是_. (3)对数函数的形式: 系数:对数符号前面的系数是_; 底数:_ ; 真数:对数的真数仅有自变量x. a>0,且a≠1 x>0 1 a>0,且a≠1 课堂探究 【小试牛刀】 例1 (1)下列给出的函数: ①;②(a>0,且a≠1);③; ④;⑤(x>0,且x≠1);⑥. 其中是对数函数的为( ) A③④⑤ B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥ (2)若函数是对数函数,则=_. D 4 课堂探究 规律方法: 课堂探究 跟踪训练1:(1)(多选题)下列函数是对数函数的是( ) A. B. C.y=+1 D.y=lg x (2)对数函数的图象过点(16,2),则对数函数的解析式为 . (3)若函数f(x)=是对数函数,则a=_. AD 2 课堂探究 例2 求下列函数的定义域: (1)f(x)=+ln(x+1); (2)f(x)=log(2x-1)(-4x+8). 课堂探究 【解】(1)函数式若有意义,需满足 解得-1<x<2,故函数的定义域为(-1,2). (2)由题意得,解得. 故函数)的定义域为. 课堂探究 规律方法 在求解对数型函数的定义域时,应遵循的原则: (1)分母不能为0; (2)根指数为偶数时,被开方数非负; (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1 课堂探究 【解析】 (1)要使函数有意义,需满足解得x>2且x≠3, 所以函数定义域为(2,3)∪(3,+∞). (2)要使函数有意义,需满足 解得-1<x<0或0<x<4,所以函数定义域为(-1,0)∪(0,4). 跟踪训练2:求下列函数的定义域: (1)=lg(x-2)+;(2). 课堂探究 例3 假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过年后的物价为. (1)该地的物价经过几年后会翻一番? (2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 课堂探究 【解】(1)由题意可知,经过年后物价为 ,即. 由对数与指数间的关系,可得 . 由计算工具可得,当x=2时,y≈14.所以,该地区的物价大约经过14年后会翻一番. 课堂探究 (2)根据函数,x∈[1,+∞),利用计算工具,可得下表: 由表中的数据可以发现,该地区的物价随时间的增长而增长,但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 规律方法: 在充分理解了对数函数概念的基础上,利用对数函数概念进一步解决类似的实际问题,从而巩固概念,进一步理解概念.并在此基础上,通过列表的方式,初步体会对数函数的性质,为下一节内容作铺垫. 课堂探究 跟踪训练3:已知集合A={1,2,3,4,…},集合B={2,4,8,16,…},下列函数能体现集合A与B对应关系的是_. ①②③; ④ 【解析】观察集合A和集合B的数据,猜测其对应关系为以2为底的指数函数,将数据依次代入函数进行检验,发现都满足该函数的解析式,所以选①. 课堂探究 1.下列函数中,定义域为R的是( ) A. B. C. D. 2.(多选题)下列点中,既在指数函数图象上,也在对数函数 的图象上的点可以是( ) A.(1,1) B.(2,2) C.(2,4) D. C BD 评价反馈 课堂探究 3.函数的定义域是( ) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 4.对数函数的图象过点(16,2),则对数函数的解析式为 . 5.若函数,. D 4 3 课堂探究 概述本节课得到对数函数概念的基本过程. (1)先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题,利用图象上x与y的对应关系,理解x也是y的函数,再利用指数与对数的运算关系,依据函数的定义,从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究,得到对数函数的概念. (2)对数函数的现实背景是什么? 对数函数与指数函数是密不可分的.对于呈指数增长或衰减变化的问题,我们可以用指数函数进行描述,还可以从对数函数的角度进行描述,从而能够更全面地研究其中蕴含的规律. 课堂小结 教材第130页练习第1,2题;第140页习题4.4 第1,3,5题. 布置作业 谢谢大家 $