4.3.1对数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.1 对数的概念 数学 1.借助实例,体会对数概念生成的必要性,理解对数定义,准确使用符号; 2.能熟练进行指数式与对数式的互化,并根据定义求对数的值. 学习目标 实数运算的发展 (1)已知 x + 2=8, 求x的值. (2)已知 x 2=8, 求x的值. (3)已知 x2=8, 求x的值. 引入减法运算 引入除法运算 引入开方运算 x= 8-2 = 6 x=8 2=4 x= (4) 已知 8 , 求x的值. x=3 2x= 引入 ? 运算 课堂导入 (4) 已知 , 求x的值. 对数 x= log23 2x=3 有唯一实根 x∈(1,2) ≈1.585 log2(3 108) log10(3 108) ≈ 28.160 ≈ 8.477 4.3.1 对数的概念 引入 运算 2x=3 x= log23 课堂导入 纳皮尔 17世纪数学三大发明 1.纳皮尔的对数 2.牛顿的微积分 3.笛卡尔的坐标系 伽利略说:“给我时间、空间和对数,我就可以创造一个宇宙!” 课堂导入 课堂探究 1. 对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1), 那么数x叫做 ,记作_, 其中a叫做对数的 ,N叫做 . x= logaN 底数 真数 ax=N (a>0,且a≠1) 以a为底N的对数 底数 指数 幂 对数 真数 x logaN x∈ R N∈ ( 0,+∞) = 一、对数的概念 课堂探究 课堂导入 课堂探究 课堂探究 课堂探究 规律方法 要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解. 课堂探究 二、对数的性质 1.零和负数没有对数. 2.1的对数为零,即loga1=0. 3.底数的对数为1,即logaa=1. 4.对数恒等式:=N. 课堂探究 课堂探究 课堂探究 评价反馈 课堂探究 课堂探究 课堂探究 解 (1)由logx27=,可得=27,则x=2=(33=32=9. (2)由log2x=-,可得x=,则x=(. (3)由x=log27,可得27x=,即=3-2,则x=-. (4)由x=lo16,可得()x=16,即2-x=24,则x=-4. 课堂探究 小结 课堂探究 作业 任务1:通过查询互联网,进一步了解无理数e. 拓展任务 1.教材123页练习1,2,3题. 任务2: 阅读教材第128页、157页对数的发明、对数概念的形成与发展.通过查询互联网,进一步了解. 2.预习4.3.2 对数的运算. 布置作业 谢谢大家 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…… 思考1 (1)1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为16个,256个呢? (2)如果已知细胞分裂后的个数N,如何求分裂次数? (3)指数式和对数式的关系 若a>0,且a≠1,则 . 答案 ax=N logaN=x 2.对概念的深度剖析: (1)指数式ax=N中a的取值范围与对数式x=logaN中一样,不会发生改变, 都是 ;指数函数值域为 ,所以真数N的取值范围是 . 答案 a>0,且a≠1 (0,+∞) (0,+∞) (2)常用对数与自然对数: 以10为底的对数叫做 ,记作 ,可简记为 ; 以e(e=2.718 28…)为底的对数称为 ,记作 ,可简记为 . . 答案 常用对数 log10N lg N 自然对数 logeN ln N 例1 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=; (2)102=100; (3)ea=16; (4)6; (5)log39=2; (6)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0). 解 (1)log2=-2. (2)log10100=2,即lg 100=2. (3)loge16=a,即ln 16=a. (4)log64=-. (5)32=9. (6)xz=y. 规律方法 1.指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 2.指数式与对数式互化时应注意的问题 并非任意式子ab=N都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log-39=2, 只有 当a>0,且a≠1时,才有ab=N b=logaN. 例2 求下列各式中x的值: (1)log64x=-; (2)logx8=6; (3)lg 100=x; (4)-ln e2=x. (1)因为log64x=-,所以x=6=(43=4-2=. (2)因为logx8=6,所以x6=8. 又x>0,所以x==(23. (3)因为lg 100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2. (4)因为-ln e2=x,所以-x=ln e2, 即e-x=e2,所以x=-2. 例3 (1)若对数log(x-1)(2x-3)有意义,则x的取值范围是 . (2)求下列各式中x的值:①log2(log5x)=0;②log3(lg x)=1;③x=. 解析 由得x>,且x≠2. 所以x的取值范围是(,2)∪(2,+∞). (2)解 ①∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1,∴x=51=5. ②∵log3(lg x)=1, ∴lg x=31=3,∴x=103=1 000. ③x==7 =7 5=. 规律方法 1.底数a>0,且a≠1;真数N的取值范围是(0,+∞). 2.利用对数的基本性质解题时,从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题.logaN=0 N=1;logaN=1 N=a使用频繁,应在理解的基础上牢记. 3.符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:=N,logaaN=N. 1.在b=log3(m-1)中,实数m的取值范围是( ) A.R B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 答案 D 解析 由m-1>0得m>1,故选D. 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=- C.log39=2与=3 D.log55=1与51=5 答案 C 解析 C不正确,由log39=2可得32=9. 3.若log2(logx9)=1,则x= . 答案 3 解析 由log2(logx9)=1可知logx9=2,即x2=9,∴x=3(x=-3舍去). 4.log33+= . 答案 3 解析 log33+=1+2=3. 5.求下列各式中x的值: (1)logx27=; (2)log2x=-; (3)x=log27; (4)x=lo16. $