4.2.2 指数函数的图象和性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，课堂导入通过回顾指数函数定义及幂函数“概念—图象—性质”的研究过程，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知识探究。 其亮点在于以合作探究作图（如描点绘制y=2^x等函数图象并发现对称性）培养直观想象，结合比较大小、解不等式（如例1比较1.7^2.5与1.7^3）锻炼逻辑推理，实际问题（人口增长、药熏消毒）应用体现数学建模。采用分层练习和归纳总结，帮助学生提升数形结合能力，教师可借助结构化流程高效教学。

第四章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质 数学 学习目标 ①能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质，进一步锻炼数形结合的能力.(直观想象、数学抽象)． ②学会用指数函数的图象和性质比较函数值的大小.(逻辑推理、数学运算)． ③能在实际问题中建立指数函数模型，并利用指数函数的性质解决问题.(数学建模、数据分析)． 1.请说出指数函数的定义. 一般地，函数叫做指数函数(exponential function)， 其中指数是自变量，定义域是R. 2.回顾对幂函数的研究，研究一类函数有怎样的过程和方法? 对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质”的过程进行研究，接下来研究指数函数的图象和性质. 课堂导入 1.指数函数的图像　 【合作探究1】在同一坐标系中用描点法作出和;和的图象，并简述它们有什么关系？你能推出一个一般结论吗？ 课堂探究 0 1 1 关于y轴对称 2.描点、连线 x -2 -1 0 1 2 y=2x 1 2 4 4 2 1 y=3x 1 3 9 9 3 1 1.列表 函数y=2x的图像与 的图像有什么关系？ 思考： （1）若 ，则函数 与 的图象具有什么关系? 答案：函数 与 的图象关于y轴对称。 （2）“指数函数的图象一定在x轴的上方"这种说法正确吗? 答案：正确 课堂探究 【小试牛刀】 函数(且)的图象可能是（ ） 【解析】在选项AB中，，于是，所以图象与y轴交点的纵坐标应在区间(0,1)内，显然AB选项 的图象均不正确.在选项CD中，于是，所以D项符合题意，故选D. 课堂探究 跟踪训练1：已知函数 的大致图像如图所示，则下列不等式一定成立的是（　　） A．b+d＞a+c B．b+d＜a+c C．a+d＞b+c D．a+d＜b+c 解：由图像可得0＜b＜a＜1＜d＜c，由不等式的性质可得b+d＜a+c． 故选B． 课堂探究 2.指数函数的图像和性质 【合作探究3】 观察上述四个图象，看看它们有哪些共同特征？ 答案：图象都在x轴的上方，都过点（0,1） 【合作探究4】 图象的上升与下降，这与底数有联系吗？ 答案：有，当a>1,图象上升；当0<a<1时，图象下降。 课堂探究 【合作探究5】尝试完成下表 x O y x O y R 在R上是增函数 在R上是减函数 课堂探究 【小试牛刀】 求下列函数的定义域和值域： 【解析】：(1)定义域：(−∞,4)∪(4,+∞).值域：(0,1)∪(1,+∞). (2)定义域：R.值域：[1,+∞). (3)定义域：[0,+∞).值域：[0,1). 课堂探究 跟踪训练2：函数的定义域是 (　　) A.[-2,+ ∞)　　　 B. [-1, + ∞)　 C. (- ∞,-1] D. (- ∞,-2] 解：由题意得所以 又指数函数在R上单调递减，所以，所以 故选C. 课堂探究 【学以致用】 例1.比较下列各题中两个值的大小 (2) 课堂探究 解：（1）和可以看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值，因为底数1.7大于1，所以指数函数为增函数，又因为2.53，所以； （2）同（1）理，因为0﹤0.8﹤1，所以指数函数是减函数.因为，所以. （3）由指数函数的性质可知，所以. 课堂探究 跟踪训练3： 比较大小:(1)1.012.7与1.013.5; (2); (3)0.82与. 课堂探究 解 (1)1.012.7和1.013.5可以看作函数y=1.01x当x分别取2.7和3.5时所对应的两个函数值,因为1.01>1,所以指数函数y=1.01x是增函数. 因为2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (2)y=是减函数,因为<1,所以. (3)由指数函数的性质可知所以0.82<. 课堂探究 例2：如图.某城市的人口呈指数增长. （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人? 课堂探究 例2：如图.某城市的人口呈指数增长. （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人? 课堂探究 【解析】（1）观察题图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年. （2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人. 课堂探究 跟踪训练4　为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比;药物释放完毕后，y 与x的函数关系式为y= (a为常数)，根据图中提供的信息，回答下列问题:(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式; (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 课堂探究 解 (1)易知图象过点(0.1，1)，则=1，得a=0.1，则y与x之间的函数关系式为y= (2)令≤0.25，得x≥0.6，故至少需要经过0.6 小时后，学生才能回到教室. 课堂探究 例3.求满足下列条件的x的取值范围： （1）； （2）； （3）且 【解析】（1）原不等式化为：；因为在R上是增函数，所以，所以，所以x得取值范围为： 课堂探究 (2)原不等式可化为5-x<52，因为y=5x在R上是增函数，所以-x<2，所以x>-2，所以x的取值范围是(-2，+∞). (3)当a>1时，可得x+7<-5x，解得x<-. 当0<a<1时，可得x+7>-5x，解得x>-. 综上:当a>1时，x∈; 当0<a<1时，x∈. 课堂探究 跟踪训练5.若满足不等式，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【解析】由，可得，因为在R上是增函数， 所以，即，解得， 所以，即函数的值域是， 故选B. B 课堂探究 【归纳总结】 1.比较指数式大小的类型及处理方法： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断. (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较. 2.指数不等式的三种求解方法： (1)性质法：解形如的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分0<a<1与a>1两种情况讨论. (2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解. (3)图象法：解形如>的不等式，可利用对应的函数图象求解 课堂探究 1.函数y=与y=2x的图象(　 　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 C 2.当a>1时，函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是(　　) A 课堂探究 3. 函数f(x)=-3(a>0,且a≠1)的图象所过定点的坐标为 (　　) A.(-1,2) B.(1,-2) C.(-1,-2) D.(1,2) 4. 设,则(　　) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 5. 不等式的解集为______. D B 　 课堂探究 (1)指数函数的图象和性质； (2)求指数型函数的定义域和值域的一般方法； (3)比较指数式大小的类型及处理方法； (4)指数不等式的三种求解方法. 课堂小结 整理本节课的题型； 完成教材第1181120111818~120页习题4.2第3题、6题、10题11 118~120页习题4.2第3题、6题、10题8~120页习题4.2第3题、6题、10题 布置作业 $