4.1.2无理数指数幂及其运算性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 第四章 指数 数学 学习目标 ①认识实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)的含义. ②了解指数幂的拓展过程,掌握实数指数幂的运算性质. 学习重难点 重点: 掌握并运用实数指数幂的运算性质,能利用已知条件求值. 难点: 理解无理数指数幂的意义. 课堂探究 1.分数指数幂的意义: (1)=_ (a>0,m,n∈N*,且n>1); (2)=_ (a>0,m,n∈N*,且n>1); (3)0的正分数指数幂等于_; (4)0的负分数指数幂_. 0 无意义 学习前奏 课堂导入 2.有理数指数幂的运算性质 (1)=_ (a>0,r,s∈Q) ; (2)=_ (a>0,r,s∈Q); (3)=_ (a>0,b>0,r∈Q). 学习前奏 课堂导入 问题1 上面我们规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理指数,即将(a>0)中指数的取值范围拓展到了有理数。那么,当指数是无理数时,这个指数幂有没有意义?那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用? 设置悬念 课堂导入 问题2 无理数既然存在,无理数幂也应该存在,是否存在的标准应该是在数轴上能否找到与其唯一对应的点. 问题3 无理数是如何发现的?请设计一个方案在数轴上找到这个数的位置. 设置悬念 希帕索斯(Hippasus,公元前5世纪)发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即)永远无法用最简整数比来表示(不可公度比),从而发现了第一个无理数. 当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时,相应的有理数指数幂都趋向于同一个数. 课堂导入 1.无理数指数幂定义:一般地,无理数指数幂(a>0, 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 归纳新知 【合作探究】根据的不足近似值和过剩近似值,利用计算工具计算相应的的近似值并填入表中,观察它们的变化趋势,你能有什么发现? 课堂探究 观察下表:的是 否表示一个确定的实数? 的过剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 由上可以看出: 可以由的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近. 课堂探究 思考 任何正数的实数指数幂是一个确定的实数吗? 结论拓展: 无理数指数幂(a>0, 是无理数)是一个确定的实数,这样,我们就将指数幂(a>0)中的指数的取值范围从整数逐步拓展到实数,实数指数幂是一个确定的实数. 课堂探究 2.实数指数幂的运算性质 (1); (2); (3) 归纳新知 课堂探究 计算下列各式: (1). 【例1】 解 (1). (2) 课堂探究 (1)( ) A. B.5 C. D.25 (2)若,化简=_. C 【变式训练1】 课堂探究 将下列根式化成有理数指数幂的形式: (; ; (3). 【例2】 课堂探究 解 (1)原式=. (2)原式=. (3)原式=. 课堂探究 把下列根式化成分数指数幂: (1); (2). 【变式训练2】 (1). (2). 课堂探究 根式与分数指数幂互化的规律 1)根指数 分数指数的分母被开方数(式)的指数 分数指数的分子 2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题 【反思感悟】 课堂探究 计算: (1) ; (2); (3). 【例3】 课堂探究 解 (1)原式= =. (2)原式= =. (3)原式=. 课堂探究 指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3.底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质. 【反思感悟】 课堂探究 若=3,=4,则=( ) A.﹣1 B.1 C. D. C B 已知正数x满足,则=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【例题4】 【变式训练3】 课堂探究 利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题的思路 (1)将条件中的式子用待求式表示出来,进而代入化简得出结论. (2)当直接代入不易求解时,可以从总体上把握已知,式和所求式的特点,从而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简,再用整体代入法来求值. (3)适当应用换元法,能使公式的使用更清晰,过程更简洁. 【反思感悟】 课堂探究 1. 可以化简为( ) A. B. C. D. 2.计算 (n∈N*)的结果为( ) A. B. C.2-2n+6 D. C D 评价反馈 课堂探究 3. 若则的值为( ) A.7 B.10 C.12 D.34 4. 已知=3,则的值为( ) A. B.1 C. D. 1 5. 已知,化简_. C C x7 评价反馈 课堂探究 6. 已知,则 评价反馈 课堂探究 课堂小结 总结归纳 我们今天都讲了哪些知识? (一)知识点小结 无理数指数幂及其运算性质 : 1.无理数指数幂; 2.运算性质; 3.指数幂综合练习. (二)数学思想方法小结:转化思想,类比思想,整体思想. 1.认真整理教材所讲内容,形成知识脉络. 2.预习下节内容. 布置作业 谢谢大家 $