第三章 函数的概念与性质 本章小结课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念、性质（单调性、奇偶性、最值）、幂函数及应用，通过知识框架将函数定义、表示方法、性质与幂函数串联，帮助学生构建完整的函数知识体系。 其亮点在于采用“考点-例题-变式”分层训练模式，如定义域问题从基础分式根式到复合函数定义域，奇偶性结合单调性的综合题，培养学生数学思维与符号语言表达能力。这种设计让不同水平学生巩固提升，教师也能高效开展针对性复习。

第三章 函数的概念与性质 数学 本章小结 学习目标 ①明确函数的概念与函数的表示方法． ②会用符号语言刻画函数的单调性与最值． ③掌握函数单调性、奇偶性的定义，并能够利用定义解决相关问题． ⑤在解决与函数相关的实际问题时，能根据已知条件选取合适的函数模型并解决问题． ④掌握常见幂函数的图象与性质，并能解决具体的数学问题． 学习重难点 重点： 函数的概念与性质,幂函数的概念与性质. 难点： 函数定义的理解,利用函数的单调性、奇偶性解决函数相关问题. 课堂探究 【复习导入】 结合本章教材内容，画出本章知识框架. 课堂导入 【例1】 （1）函数 的定义域为(　　) A． B． C． D． D 考点一　函数的概念 课堂探究 （2）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A． B． C． D． C 课堂探究 【变式训练1】 （1）函数 的定义域为(　　) A． B． C． D． D 课堂探究 （2）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A． B． C． D． A 课堂探究 【反思感悟】 求函数定义域的方法 （1）已知函数解析式 ①若函数解析式为整式,定义域是R; ②若函数解析式为分式,则分式的分母不能为0; ③若函数解析式为偶次根式,则被开方数非负; ④若函数解析式为y=x0,则x≠0; ⑤若函数解析式是由一些简单函数通过四则运算的形式构成时,函数定义域是使得各部分有意义的公共部分的集合,即各部分自变量x的取值范围的交集. 课堂探究 (2)①已知函数f(x)的定义域D,求f[g(x)]的定义域:令g(x)∈D,求出x的范围即为定义域; ②已知函数f[g(x)]的定义域D,求f(x)的定义域:由定义域D求出g(x)的值域,即为f(x)的定义域; ③已知函数f[g(x)]的定义域D,求f[h(x)]的定义域:由定义域D求出g(x)的值域A,令h(x)∈A,求出x的范围即为定义域. 课堂探究 【例2】 设 f (x)＝ 若 ，则 (　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 C 考点二　分段函数 课堂探究 【变式训练2】 （1）函数 的图象的大致形状是(　　) A 课堂探究 （2）设函数 ． ①画出函数 的图象； ②若不等式 的解集非空，求 a 的取值范围． 课堂探究 解 ①由于f(x)=则函数y=f(x)的图象如图所示. ②由函数y=f(x)与y=ax的图象(图象略)可知,当且仅当a≥,或a<-2时,函数y=f(x)与y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围是(-∞, -2)∪[,+∞). 课堂探究 【反思感悟】 1.分段函数是一个函数,只不过是对于自变量x的不同取值区间,有不同的对应关系. 2.分段函数的定义域是所有分段上自变量取值范围的并集,但是要注意,同一个自变量不能同时属于两个不同的分段. 3.分段函数的值域是所有分段上函数值取值范围的并集. 4.绝对值函数是可以转化为分段函数的. 课堂探究 【例3】 （多选）下列函数中，满足对任意 ， 的是(　　) A. f (x) = －2(x－1)2－2　 　 B. f (x) = 3x+5 C. 　　　 D. f (x) = |x－4| AC 考点三　函数的单调性与最值 课堂探究 【变式训练3】 （1）函数 定义域 ， ， 且 ， .若 ，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. A 课堂探究 （2）（多选）已知函数 f (x)= ，则该函数(　　) A. 有最小值3 B. 有最大值 C. 没有最小值 D. 在区间(1，2)上是增函数 AD 课堂探究 【例4】 若f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且 f (x)＋g (x)＝ ，则函数 f (x) = ，g (x) = ． 考点四　函数的奇偶性 课堂探究 【变式训练4】 定义在[－2，2]上的偶函数 f (x)在区间[0，2]上单调递减，若 f (1－m) < f (m)，则实数 m 的取值范围为________． [-1,) 解析 ∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(|x|)，∴f(1-m)=f(|1-m|)，f(m)=f(|m|). ∴原不等式等价于解得-1≤m<. ∴实数m的取值范围是[-1,). 课堂探究 【反思感悟】 1.函数f(x)具有奇偶性的前提条件是其定义域要关于原点对称. 2.设函数f(x)的定义域为D,则 函数f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于坐标原点对称⇔对∀x∈D, f(-x)=-f(x); 函数f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称⇔对∀x∈D,f(-x)=f(x). 课堂探究 【例5】 已知定义域（-1，1）的奇函数 ，当 时，函数 f (x)为增函数，若 ，则实数 a 的取值范围为( ) A. B. C. D. 考点五　函数性质的综合应用 B 课堂探究 解析 ∵f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数, ∴由f(a-3)+f(9-a2)<0,得f(a-3)<-f(9-a2)=f(a2-9). ∵当x∈[0,1)时,函数f(x)单调递增, ∴函数f(x)在区间(-1,0]上单调递增, ∴函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数, ∴解得3<a<. ∴实数a的取值范围是(3,). 课堂探究 【变式训练5】 （多选） 符号 表示不超过 x 的最大整数，如 ， ， ，定义函数 ，以下结论正确的是( ) A. 函数 的定义域是R，值域是 B. 方程 有无数个解 C. 函数 是奇函数 D. 函数 是增函数 AB 课堂探究 【反思感悟】 函数的单调性和奇偶性的综合考查,常见的出题形式有两种: (1)抽象函数不等式求解,基本解题思路是首先利用奇偶性转化为不等号两侧都为函数值的形式,然后借助于函数单调性将不等式转化为关于自变量的不等式,进而求解; (2)比较大小,基本解题思路是首先利用奇偶性相关性质将函数值对应自变量转化到同一单调区间上,然后借助于自变量大小关系及单调性,比较出对应函数值的大小关系. 课堂探究 1.函数f(x)=的定义域是(　　) A.[1,2)∪(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,2) D.[1,+∞) 评价反馈 A 解析 函数f(x)=有意义,则有解得x≥1且x≠2, 所以函数f(x)的定义域是[1,2)∪(2,+∞). 课堂探究 2.若幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4),则f(3)= (　　) A.2 B.3 C.8 D.9 评价反馈 D 解析 设f(x)=xα,则2α=4,得α=2,所以f(x)=x2, 所以f(3)=32=9. 课堂探究 3.已知定义在区间[a-1,2a]上的偶函数f(x),若当x∈[0,2a]时,f(x)单调递减,则关于x的不等式f(x-1)>f(2x-3a)的解集是(　　) A.(0,) B.C.(] D.(] 评价反馈 D 解析 由题意,定义在区间[a-1,2a]上的偶函数f(x),可得a-1+2a=0,解得a=, 即函数f(x)的定义域是[-].又由函数当x∈[0,2a]时,f(x)单调递减,则不等式f(x-1)>f(2x-3a)可化为f(|x-1|)>f(|2x-3a|),即f(|x-1|)>f(|2x-1|), 可得不等式组解得<x≤,即原不等式的解集为(]. 课堂探究 4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(单位:万元),一万件该商品的售价为20万元.为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为　　　　　万件.  评价反馈 18 解析 设利润为L(x),则L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值,故答案为18. 课堂探究 5.求下列函数的解析式. (1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x; (2)已知函数f(x)满足f(+1)=x-2; (3)已知函数f(x)满足f(x)+2f()=3x. 评价反馈 课堂探究 解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(0)=c=1,又f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x, 所以解得 因此f(x)=x2-x+1. (2)令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,代入f(+1)=x-2有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,因此f(x)=x2-4x+3(x≥1). (3)由f(x)+2f()=3x可得f()+2f(x)=,解得f(x)=-x(x≠0). 评价反馈 课堂探究 课堂小结 总结归纳 我们今天都讲了哪些知识？ 1. 函数的概念与表示方法 ． 2. 函数的单调性、最值、奇偶性及其应用 ． 3. 幂函数的定义与性质． 4 . 函数的应用. 完成学案后的素养专练. 布置作业 谢谢大家 $