3.1.2函数的表示法 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示法，涵盖三种表示法、分段函数及解析式求解，通过回顾初中知识与教材问题，以笔记本购买、绝对值函数等问题探究为支架，衔接旧知与新知，引导学生逐步构建知识体系。 其亮点在于以真实情境（个税计算、成绩分析）驱动，用数学眼光观察现实，通过待定系数法、换元法等培养数学思维，分段函数图象与实例结合强化数学语言表达。采用问题链与跟踪训练，学生提升应用能力，教师易实施分层教学。

3.1.2 函数的表示法 一、学习目标 二、课堂探究 三、课堂练习 四、课堂小结 五、课后作业 学习目标 （1）掌握函数的三种表示方法； （2）理解分段函数的概念并能简单应用； （3）掌握求解函数解析式的常见方法. 【问题探究1】 回顾教材60~62页问题1~问题4，结合初中所学函数的表示方法，回答四个问题中所涉及到的函数的表示方法分别是什么？ 结论　问题1与问题2用的是解析法,即用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; 问题3用的是图象法,即用图象表示两个变量之间的对应关系; 问题4用的是列表法,即列出表格表示两个变量之间的对应关系. 课堂探究 【问题探究2】 表示法 优点 缺点 解析法 列表法 图象法 某种笔记本的单价是5元，买 个笔记本需要 y 元，试用函数的三种表示法表示函数 ；并比较三种表示方法的优缺点，完成下面表格. 可以简单全面地表示出变量之间的关系,并可以直接求任意自变量对应的函数值 不够形象,并且并不是所有的函数都有解析式 不需要计算便可以直接看出变量之间的对应关系 仅能表示自变量个数较少的函数,不适合表示连续函数 可以形象直观地表示出函数的变化情况 单纯由函数图象不能准确表达两变量之间的对应关系 课堂探究 课堂探究 【小试牛刀】 例1 根据已知条件，求出下列函数的解析式： （1）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式； （2）已知 ，求 的解析式； （3）已知 ，求 的解析式； （4）已知 满足 ，求 的解析式. 课堂探究 解 (1)因为f(x)是一次函数,不妨设f(x)=ax+b,则f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b, 所以解得a=3,b=-2, 所以f(x)=3x-2. (2)f（x+）=x2+=（x+）2-2, 令t=x+,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞), 所以f(t)=t2-2,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞), 所以f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 课堂探究 (3)令t=x+1,则t∈R,x=t-1, 又f(x+1)=x2+6x+5, 则f(t)=(t-1)2+6(t-1)+5=t2+4t,t∈R. （4）因为 ① 以代替①中的,可得,② ①②联立解得 课堂探究 反思感悟 求函数解析式的常用方法有： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； （2）当已知函数表达式为 时，可考虑用配凑法或换元法，要注意新元的范围； （3）若已知 与 或 与 的关系表达式时，通常采用方程组法. 课堂探究 【跟踪训练1】 根据已知条件，求出下列函数的解析式： （1）已知 ，求 的解析式； （2）已知 ，求 的解析式. 课堂探究 课堂探究 【问题探究3】 画出函数 的图象，观察其图象特征，思考能否用其它形式表示该函数？ 课堂探究 结论　通过分段讨论,将函数y=|x|的绝对值号去掉,当x≥0时,y=x;当x<0时,y=-x,因此,为了更明确地表示出自变量与函数值之间的对应关系,我们可以将函数y=|x|的解析式改写为y= 这种函数我们称为分段函数. 课堂探究 【问题探究4】 分段函数是不是一个函数？分段函数的定义域是怎样定义的？值域呢？ 结论　分段函数是一个函数,只是在自变量的不同取值范围上的对应关系不同;分段函数的定义域是各段上自变量取值范围的并集,值域是各段上函数值取值范围的并集. 课堂探究 【小试牛刀】 例2　给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R, (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)}. 例如,当x=2时,M(2)=max{f(2),g(2)}=max{3,9}=9. 请分别用图象法及解析法表示函数M(x). 课堂探究 （1）如图（右上）. （2）结合(1)中图象及函数M(x)的定义,可得函数M(x)的图象如图（右下）.由x+1=(x+1)2,得x(x+1)=0. 解得x=-1,或x=0. 结合上面图象,可得函数M(x)的解析式为M(x)= 课堂探究 【跟踪训练2】 给定函数 ， ， . （1）在同一直角坐标系中画出函数 ， 的图象； （2） ，用 表示 ， 中的较小者，记为 . 请分别用图象法及解析法表示函数 . 课堂探究 （1）如图（左）. （2）由-x+1=(x-1)2,得x(x-1)=0.解得x=0,或x=1;结合上面图象（右）,可得函数m(x)的解析式为m(x)= 课堂探究 【思考】对于一个具体的问题，如果涉及函数，你会选择恰当的方法表示问题中的函数关系吗？我们通过两个例题训练一下. 例3 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 你能直接通过表格信息对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析吗？ 课堂探究   解 从表中可以知道每名同学在每次测试中的成绩,但不太容易分析每名同学的成绩变化情况.如果将每名同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象(均为6个离散的点)表示出来,如下图,那么就能直观地看到每名同学成绩变化的情况,这对我们的分析很有帮助. 从图中可以看到,王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平,学习情况比较稳定而且成绩优秀,张城同学的数学学习成绩不稳定,总是在班级平均水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但表示他成绩变化的图象呈上升趋势,表明他的数学成绩在稳步提高. 课堂探究 例4 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额=应纳税所得额×税率—速算扣除数. ① 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额=综合所得收入额—基本减除费用—专项扣除 —专项附加扣除—依法确定的其他扣除. ② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元，税率与速算扣除数见下表. 课堂探究 （1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y = f（t），并画出图象； （2）小王全年综合所得收入额为117 600 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入的比例分别是8%，2%， 1%，9%，专项附加扣除是9 600元，依法确定其他扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所得税？ 课堂探究 解 (1)根据题干中表格,可得函数y=f(t)的解析式为y=③ 函数图象如图所示: (2)根据②,小王全年应纳税所得额为 t=117 600-60 000-117 600(8%+2%+1%+9%)-9 600-560 =0.8×117 600-70 160 =23 920. 将t的值代入③,得y=0.03×23 920=717.6. 所以,小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元. 课堂探究 1. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事. （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；　　 （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. 【跟踪训练】 课堂探究 解 （1）D　（2）A　（3）B C图情景:我离家之后感觉时间充裕,一点一点地放慢了前进速度. 课堂探究 2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5 km以内（含5 km），票价2元； （2）5 km以上，每增加5 km，票价增加1元（不足5 km的按5 km计算）. 如果某条线路的总里程为20 km，你能根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象吗？ 【跟踪训练】 课堂探究 解 设票价y元,里程为x km,由题意可知,自变量x的取值范围为(0,20],函数解析式为y= 由此画出函数图象: 课堂探究 1.已知函数 ，则 （ ）. A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 解析 因为f(x)=则f(0)=3, 所以f(f(0))=f(3)=3-4=-1.故答案为A. A 评价反馈 课堂探究 2.已知函数 y = f (x)的对应关系如下表,函数 y = g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2),，则 f (g(2))的值为( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 x 1 2 3 f (x) 2 3 0 B 课堂练习 课堂探究 3.函数 的图象如图所示，则 的解析式是（ ） A. B. C. D. C 课堂练习 课堂探究 4.已知函数 ，那么 的值为（ ）. A. 25 B. 16 C. 9 D. 3 C 课堂练习 课堂探究 5.如图，已知 ， ，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线 l，记直线 l 左侧部分的多边形为Ω，设 ，Ω的面积为 ，Ω的周长为 ． （1）求 和 的解析式； （2）记 ，求 的最大值. 课堂练习 课堂探究 解 (1)作△ABC的高AD,因为AB=AC=5,BC=8,所以AD=3, 课堂练习 课堂探究 当0<x≤4时,△ABD∽△MBP,所以MB=x,PM= x,S(x)=BP·MP=x·x=x2,L(x)=x+x+x=3x. 当4<x≤8时,△ADC∽△MPC,所以PM=(8-x),AM=5-(8-x),S(x)=12-(8-x)2=-x2+6x-12,L(x)=x+5+[5-(8-x)]+(8-x)=6+x. 故S(x)= L(x)= (2)当0<x≤4时,F(x)=x≤,最大值为. 当4<x≤8时,F(x)==-+6≤6-2, 当且仅当x=4-4时,F(x)有最大值6-2,又6-2,故最大值为6-2. 课堂练习 课堂探究 1.函数的三种表示法及其各自的特点； 2.函数的解析式的求法； 3.分段函数的概念及表示法； 4.选择恰当的方法表示实际问题中的函数关系. 课堂小结 五、课后作业 完成学案后的核心素养专练 布置作业 谢谢大家 解 (1)(方法1　配凑法)f(+2)=x+4+5=()2+4+5=(+2)2+1, 令t=+2,t∈[2,+∞), 所以f(t)=t2+1,t∈[2,+∞), 所以f(x)=x2+1,x∈[2,+∞). (方法2　换元法)令t=+2,则t∈[2,+∞),x=(t-2)2,又f(+2)=x+4+5, 则f(t)=(t-2)2+4(t-2)+5=t2+1,t∈[2,+∞), 所以f(x)=x2+1,x∈[2,+∞). (2)f(x)+2f(-x)=x2+2x, ① 以-x代替①中的x,可得f(-x)+2f(x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x, ② ①②联立解得f(x)=x2-2x. $