学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（甘肃兰州专用，北师大版九上1～3章：特殊平行四边形+一元二次方程+概率）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 三 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIICJID] 11[AJ[B]ICIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 12[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 14 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共10小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) (1)y2-9=0. (2)25x2-16=0 (3)x2+4x-12=0. (4)2x-3)=3xx-3) 18.(6分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 结业成绩频数分布直方图 结业成绩扇形统计图 频数 35 30 第5组 第4组 25 20 36d 第1 第3组 10 35% 第2组 5 0 7580859095100成绩/分 20.(6分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) D A大 7777717777 24.(8分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) 24米 LL4 LZL22E22222222222∠L∠LLd 26.(10分) A D B 图1 图2………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级数学上册第1~3章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 3．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 5．小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 6．方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（   ） A． B． C． D． 10．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 11．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知，是方程的两个根，则的值为 ． 14．如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 15．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 16．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）． 3、 解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题共8分）用适当的方法解方程： (1)． (2) (3)． (4) 18．（本小题共6分）如图，已知点E是矩形内一点，，求证：． 19．（本小题共6分）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 20．（本小题共6分）如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，当四边形是菱形时，求的长． 21．（本小题共6分）已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根 (1)若a为正整数，求a的值． (2)若、满足．求a的值． 22．（本小题共6分）某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 23．（本小题共8分）遵义市新蒲新区是一片风景秀丽、生机勃勃的地方．每逢春天，到了放风筝的时节，这里都会举办“风筝节”．八年级小丁同学在学完勾股定理后，为计算自己放的风筝在空中的垂直高度，和数学小组一同进行了如下测量：（不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的） ①测得小丁头顶到风筝正下方水平距离为； ②测得风筝线为； ③测得小丁身高为． (1)求风筝的垂直高度； (2)若小丁站立的位置不变，想让风筝沿方向下降，则他应该收回风筝线多少米． 24．（本小题共8分）如图，矩形的边在平面直角坐标系的x轴上，的中点与坐标原点O重合，已知，，点M的坐标是，N点是y轴上一动点，连接，设动点N的坐标为，直线记为l． (1)若直线l经过点A，求t的值； (2)当直线l与线段有公共点时，求t的取值范围． 25．（本小题共8分）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 26．（本小题共10分）正方形中，点O是对角线的中点，P为对角线上一个动点． (1)如图1，若P在线段上（点P不与A，O重合），连接，过点P作，垂足为F．作交直线于点E． ①求证： ②求证：． (2)若点P在线段上（点P不与C，O重合），同样连接，过点P作，垂足为F．作交直线于点E． 请你在图2中完成作图，并判断（1）中①，②的结论是否还仍然成立？若不成立，写出相应的结论（不用说明理由） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B D B C C D D D 二、填空题（本大题共4小题， 每小题3分，满分12分) 13.2 14.5 15.6 16.①③④ 三、解答题（本大题共10小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题共8分)【详解】(1)解：y2-9=0, y2=9 八=3，y=-32分 (2)25x2-16=0 x2=16 25' 4 4 (3)x2+4x-12=0 x2+4x=12 x2+4x+22=12+22 则(x+2=16, x+2=±4， x,=2,2=-66分 (4)2x-3=3xx-3 (x-3(3x-2)=0 x-3=0或3x-2=0, 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 解得x,=3,x= 3 8分 18.(本小题共6分)【详解】证明：：四边形ABCD是矩形， .∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC, :∠CDE=∠DCE, ∴.∠ADE=∠BCE,DE=CE, 2分 DE=CE 在△ADE与△BCE中， ∠ADE=∠BCE, AD=BC △ADE≌△BCE(SAS）, AE=BE.6分 19.(本小题共6分)【详解】(1)解：由图可知抽取的学生的总数量为35÷35%=100， 由扇形统计图可知第5组人数b=36 -×100=10, 360 1分 则第2组人数a=100-10+35+25+10=20, 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为2三×360°=90°，…2分 100 故答案为：20,10,90； (2)解：如图： 结业成绩频数分布直方图 频数 35 30 25 3分 20 10 5 0 7580859095100成绩/分 (3)解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： a,b),a,1,a,2),a,3),b,,b,2),b,3,12),1,3),2,3, 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 5分 2/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故概率为合号 6分 20.(本小题共6分)【详解】(1)证明：：△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE, .AD=AB,AE=AC,∠DAE=∠BAC. ·.∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,即∠DAB=∠EAC. 又：AB=AC, AD=AB=AC=AE.1分 在△AEC和△ADB中， AE=AD ∠EAC=∠DAB, AC=AB △AEC≌△ADB（SAS）.2分 (2)解：：四边形ADFC是菱形， DF=AC=AB=√2，ACII DF. ·.∠DBA=∠BAC=45°. 又：AD=AB, .∠DBA=∠ADB=45°. LDAB=180°-45°-450=90°.4分 在RtAABD中，根据勾股定理： BD=VAB2+AD2=VN22+(W2)}=2, BF=BD-DF=2-√万.6分 21.(本小题共6分)【详解】(1)解：：关于x的一元二次方程x2-2(a-1x+a2-a-2=0有两个不相等的 实数根， A=[-2(a-1]-4a2-a-2>0,1分 解得：a<3, :a为正整数， 0=1,224分 (2)解：根据题意得+2=2(a-，2=Q2-a-2,3分 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :x2+x-xx2=16, (+)-3x2=16,4分 [2(a-1]-3a2-a-2=16, 解得：41=-1，a2=6, :a<3, 0=-1.6分 22.(本小题共6分)【详解】(1)解：①设每千克茶叶应降价x元， 振据题意，得40-r-240200+6×40-=41600, 整理得x2-110x+2400=0,解得x1=30,x2=80 答：每千克茶叶应降价30元或80元；2分 ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， :要尽可能让利于顾客， :每千克茶叶应降价80元， 320 此时的售价为：400-80=320（元）， ×10=8. 400 答：该店应按原售价的八折出售； 3分 (2)解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价y元， 根据题意，得400-y-240) 200+上×40=50000， 10 整理得y2-110y+4500=0, △=(-110)-4×1×4500=-5900<0， ·原方程没有实数根， :该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元. 6分 23.(本小题共8分)【详解】(1)解：根据题意得：BA⊥AE,DE⊥AE,BD∥AE, AB∥DE, :BD∥AE, 4/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :四边形ABDE为平行四边形， :∠BAE=90°， .四边形ABDE为矩形，2分 ∠BDE=90°，DE=AB=1.6m, ∠BDC=180°-90°=90°， .CD=√BC2-BD2=V202-122=16m), CE=CD+DE=16+1.6=17.6(m);4分 (2)解：将风筝沿CD方向下降7m后CD=16-7=9(m), 根据勾股定理得：BC=√CD2+BD2=V92+122=15(m), 他应该收回风筝线的长度为：20-15=5(m.。 .8分 24.(本小题共8分)【详解】(1)解：矩形ABCD中BC=2,AB=1.5 点A的坐标是(-1,1.5)，D的坐标是1,1.5).1分 :直线1经过M(-2,0)和点A, 又：直线经过点N(0,, 设直线1对应的函数为：y=kx+t :直线1经过点M-2,0和点A-1,1.5) -2k+t=0 有： -k+t=1.5 解得：k=1.5,1=3,3分 答：若直线1经过点A,t的值为3； (2)解：当直线1经过点D时， 5/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即经过M(-2,0)和D1,1.5)两点，设对应函数为：y=x+b, 「-2k+b=0 所以有 k+b=1.5 解得：k=0.5,b=1,6分 直线1：y=0.5x+1与y轴交点N(0,1), 即t=1 所以当1≤1≤3时，直线1与线段AD有公共点.8分 25.(本小题共8分)【详解】解：(1)x2-4x+5 =x2-4x+4+1 =(x-2)+1, :(x-22≥0， (x-22+1≥1， 2分 :.当x=2时，代数式x2-4x+5有最小值1； 3分 (2)①根据图示，矩形鸡场的长为40-2x)米， :墙长24米， .0<40-2x≤24， 8≤x<20, .矩形鸡场的面积为40-2x)x=-2x2+40x(8≤x<20);5分 ②-2x2+40x =-2x2-20x+100)+200 =-2(x-10)2+200, :-2(x-10≤0， -2(x-10)+200≤200， 当x=10时，代数式-2x2+40x有最大值200,8分 :当x=10米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米。 6/9 画学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 26.(本小题共10分)【详解】(1)①证明：如图，连接PD, 四边形ABCD是正方形，点P在对角线AC上， B ∴.∠BCP=∠DCP,BC=DC,∠BCD=90°， 又：PC=PC, aBCP≌△DCP(SAS, .1分 .ZPBC ZPDC,PD PB PB⊥PE, ∠BPE=90°， .∠PBC+∠PEC=360-∠BPE-∠BCE=180, ∠PEC+LPED=I80, .∠PBC=∠PED, .∠PED=∠PBC=∠PDC, ∴PD=PE, :PF⊥CD, ..DF=EF. 2分 ②过点P作PG⊥AD,垂足为点G. B :正方形ABCD, ∠PCF=∠PAG=45°，∠D=90° :PF⊥CD, ∴.△PCF和△PAG均为等腰直角三角形， .·PF⊥CD,PG⊥AD,∠D=909 .四边形DFPG为矩形，3分 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .PG=DF, DF=EF, ..PG=EF ∴.PA=VAG2+PG2=V2PG=√2EF, 同理可得PC=√2CF, .PC=V2CF=V2(CE+EF）=V2CE+V2EF=V2CE+PA;4分 (2)解：①中DF=EF仍然成立；②PC=PA+√2CE不成立，结论是：PC=PA-√2CE 连接PD, D 四边形ABCD是正方形，点P在对角线AC上， :.∠BCP=∠DCP,BC=DC,∠BCD=90°， 又：PC=PC, .△BCP≌aDCP(SAS), 5分 .ZPBC =ZPDC,PD=PB, .PB⊥PE, .LBPE=90°， .:∠BCE=90°，∠BKP=∠EKC .∠PBC=∠PED, .∠PED=∠PDC, :PD PE, PF⊥CD, ..DF=EF, 故①结论成立；7分 过点P作PG⊥AD,垂足为点G. :正方形ABCD, ∴.∠PCF=∠PAG=45°，∠ADC=90 8/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :PF⊥CD, .△PCF和△PAG均为等腰直角三角形， :PF⊥CD,PG⊥AD,∠D=90° :四边形DFPG为矩形， .PG=DF, .DF=EF, .PG=EF PA=√AG2+PG2=√2PG=√2EF,8分 同理可得PC=√2CF, PC=2CF=(EF-CE)=2EF-2CE=PA-2CE, ②中PC=PA+√2CE不成立，新的结论是：PC=PA-√2CE.10分 9/92025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 11.[A1[B1[CJ[D] 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 12.[A][B][C1[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13 14. 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共10小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) (1)y2-9=0. (2)25x2-16=0 (3)x2+4x-12=0. (4)2(x-3)=3.x(x-3) 18.(6分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 结业成绩频数分布直方图 结业成绩扇形统计图 频数 35 第5组 第4组 2 20 6 第1组 15 第3组 35% 10 第2组 5 7580859095100成绩/分 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) B 24.(8分) VA M B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) 24米 LL2ELEE22222222121222222222 26.(10分) D E 图1 图2 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级数学上册第1~3章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 3．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 5．小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 6．方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（   ） A． B． C． D． 10．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 11．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知，是方程的两个根，则的值为 ． 14．如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 15．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 16．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）． 3、 解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题共8分）用适当的方法解方程： (1)． (2) (3)． (4) 18．（本小题共6分）如图，已知点E是矩形内一点，，求证：． 19．（本小题共6分）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 20．（本小题共6分）如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，当四边形是菱形时，求的长． 21．（本小题共6分）已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根 (1)若a为正整数，求a的值． (2)若、满足．求a的值． 22．（本小题共6分）某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 23．（本小题共8分）遵义市新蒲新区是一片风景秀丽、生机勃勃的地方．每逢春天，到了放风筝的时节，这里都会举办“风筝节”．八年级小丁同学在学完勾股定理后，为计算自己放的风筝在空中的垂直高度，和数学小组一同进行了如下测量：（不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的） ①测得小丁头顶到风筝正下方水平距离为； ②测得风筝线为； ③测得小丁身高为． (1)求风筝的垂直高度； (2)若小丁站立的位置不变，想让风筝沿方向下降，则他应该收回风筝线多少米． 24．（本小题共8分）如图，矩形的边在平面直角坐标系的x轴上，的中点与坐标原点O重合，已知，，点M的坐标是，N点是y轴上一动点，连接，设动点N的坐标为，直线记为l． (1)若直线l经过点A，求t的值； (2)当直线l与线段有公共点时，求t的取值范围． 25．（本小题共8分）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 26．（本小题共10分）正方形中，点O是对角线的中点，P为对角线上一个动点． (1)如图1，若P在线段上（点P不与A，O重合），连接，过点P作，垂足为F．作交直线于点E． ①求证： ②求证：． (2)若点P在线段上（点P不与C，O重合），同样连接，过点P作，垂足为F．作交直线于点E． 请你在图2中完成作图，并判断（1）中①，②的结论是否还仍然成立？若不成立，写出相应的结论（不用说明理由） 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级数学上册第1~3章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 2．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 3．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 4．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 5．小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意画出图表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能结果，其中小华赢的结果有6种， ∴小华赢的概率为． 故选：D． 6．方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 7．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 8．如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、余角的性质、勾股定理、正方形的性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的性质与判定． 首先根据题意，利用判定出，然后再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 根据勾股定理，可得：， ∴， ∴正方形的面积． 故选：C． 9．菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，如图，根据题意可得是等边三角形，则，由菱形的性质得到，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故这个菱形较长的对角线长是． 故选：C． 10．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．中，，符合题意； 故选：D． 11．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 12．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，综合运用以上知识点，正确做辅助线构造全等是解题的关键；由正方形的性质可证，即可判断①，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断③，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断④，在上截取，连接， 则是等边三角形，证明即可得解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，，， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， ， ， ， 故④正确； 在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，然后即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴． 故答案为：2． 14．如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：5 15．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 16．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义、根的判别式等知识，对每个说法逐一进行分析判断． 【详解】解：①若，则是方程的一个根，所以方程有实数根，故，①正确． ②若是方程的一个根，则，当时，；当时，，则不一定等于，②错误． ③若，则当时，，所以它有一个根是，③正确． ④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即．对于方程，其判别式，因为，，所以，故方程必有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 3、 解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题共8分）用适当的方法解方程： (1)． (2) (3)． (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用开平方法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， （2） ∴， ∴， （3） ∴ 则， ∴， ∴， （4） ∴或， 解得， 18．（本小题共6分）如图，已知点E是矩形内一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．证出，由证明，得出对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ． 19．（本小题共6分）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)图象见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 20．（本小题共6分）如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）要证明，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）要求的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合菱形的边求出． 【详解】（1）证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ，，． ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ （）． （2）解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在中，根据勾股定理： ， ∴ ． 21．（本小题共6分）已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根 (1)若a为正整数，求a的值． (2)若、满足．求a的值． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键． （1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； （2）根据题意得，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵a为正整数， ∴，2； （2）解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 22．（本小题共6分）某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【分析】（1）①通过设每千克茶叶降价元，利用“每千克利润×销售量 = 总利润”的关系列出方程求解；②在①的基础上，根据让利于顾客的要求确定降价金额，进而求出折扣； （2）设降价元，依据上述利润关系列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定获利能否达到． 本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“每千克利润×销售量 = 总利润”的等量关系以及一元二次方程的解法、判别式的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得． 答：每千克茶叶应降价30元或80元； ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时的售价为：（元），． 答：该店应按原售价的八折出售； （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得， ， 原方程没有实数根， 该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 23．（本小题共8分）遵义市新蒲新区是一片风景秀丽、生机勃勃的地方．每逢春天，到了放风筝的时节，这里都会举办“风筝节”．八年级小丁同学在学完勾股定理后，为计算自己放的风筝在空中的垂直高度，和数学小组一同进行了如下测量：（不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的） ①测得小丁头顶到风筝正下方水平距离为； ②测得风筝线为； ③测得小丁身高为． (1)求风筝的垂直高度； (2)若小丁站立的位置不变，想让风筝沿方向下降，则他应该收回风筝线多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，是解题的关键． （1）先证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ； （2）解：将风筝沿方向下降后， 根据勾股定理得：， 他应该收回风筝线的长度为：． 24．（本小题共8分）如图，矩形的边在平面直角坐标系的x轴上，的中点与坐标原点O重合，已知，，点M的坐标是，N点是y轴上一动点，连接，设动点N的坐标为，直线记为l． (1)若直线l经过点A，求t的值； (2)当直线l与线段有公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)若直线l经过点A，t的值为3 (2)当时，直线l与线段有公共点 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用临界点解析式确定坐标的取值范围，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）根据矩形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）求出直线过点时的解析式，然后求出值，即可得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵矩形中 ∴点A的坐标是，D的坐标是 ∵直线l经过和点A， 又∵直线经过点， 设直线l对应的函数为： ∵直线l经过点和点 有： 解得：， 答：若直线l经过点A，t的值为3； （2）解：当直线l经过点D时， 即经过和D两点，设对应函数为：， 所以有， 解得：， 直线l：与y轴交点， 即 所以当时，直线l与线段有公共点． 25．（本小题共8分）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 26．（本小题共10分）正方形中，点O是对角线的中点，P为对角线上一个动点． (1)如图1，若P在线段上（点P不与A，O重合），连接，过点P作，垂足为F．作交直线于点E． ①求证： ②求证：． (2)若点P在线段上（点P不与C，O重合），同样连接，过点P作，垂足为F．作交直线于点E． 请你在图2中完成作图，并判断（1）中①，②的结论是否还仍然成立？若不成立，写出相应的结论（不用说明理由） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①中仍然成立；②不成立，结论是： 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）①连接，先证明，则，然后根据对角互补证明，则，故，再由三线合一证明即可； ②过点P作，垂足为点，则和均为等腰直角三角形，可得四边形为矩形，则，而，那么由勾股定理得，同理可得，； （2）证明同（1）即可． 【详解】（1）①证明：如图，连接， 四边形是正方形，点在对角线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． ②过点P作，垂足为点． ∵正方形， ∴， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 同理可得， ∴； （2）解：①中仍然成立；②不成立，结论是： 连接， 四边形是正方形，点在对角线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ， ， ， ， ， 故①结论成立； 过点P作，垂足为点． ∵正方形， ∴， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴②中不成立，新的结论是：． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $