第3章 实数（高效培优单元测试·强化卷）数学浙教版2024七年级上册

第三章 实数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数，，0，中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较实数的大小关系，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为； 故选A． 2．计算（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．在下列各数，，，，，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数及算术平方根，熟练掌握无理数的定义及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据无理数是无限不循环小数及算术平方根可进行求解． 【详解】解： 由题意知：，，，是无理数，其他几个数都是有理数；所以无理数有3个； 故选C． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．数轴上的点都表示有理数 B．用根号表示的数不一定都是无理数 C．的立方根是± D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，平方根，数轴上的点与实数，无理数等，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据数轴上的点的特征，无理数的概念，立方根的概念，平方根的概念一一判断即可． 【详解】解：A．数轴上的点都表示实数，故选项错误； B．带根号的数不一定都是无理数，如 是有理数，故选项正确； C． 的立方根是，故选项错误； D．任何实数的平方根不一定都有两个，如0的平方根是0，只有一个，故选项错误； 故选：B． 5．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根、立方根．根据平方根和算术平方根、立方根的定义即可求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 那么的立方根是：， 故选：B． 7．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用算术平方根的定义求得小宇制作的正方体礼盒的棱长，然后将其减去即可． 本题考查算术平方根，几何体的表面积，理解题意并求得小宇制作的正方体礼盒的棱长是解题的关键． 【详解】解：小宇制作的正方体礼盒的表面积为， 其棱长为， 小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小， 小恒制作的正方体礼盒的边长为， 故选：B． 8．一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求出m的值，继而得出答案． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， ， 这个数是， 故选：D． 9．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 10．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵点表示的数为， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、平方根的定义，将化简是解题的关键．先化简，然后再求得它的平方根即可． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为： ． 12．若的平方等于，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：由题可知：， ∴， 故答案为：． 13．比较大小： 1．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较．先估算出，再估算出，最后估算出的大小，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．已知   则 （精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的求解，立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则． 对立方根进行变式，然后根据给出的值进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 15．已知表示不大于的最大整数，那么 ． 【答案】606 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先分别估算出各无理数的整数部分，然后再计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ． 故答案为：． 16．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴, ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ……， 以此类推可得，当为奇数时，；当为偶数时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）计算：．     （2）解方程 【答案】（1）；（2）4． 【分析】本题考查了实数的运算，利用立方根定义解方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据立方根，平方根，绝对值的意义化简，再计算即可； （2）直接利用立方根定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ． 18．（8分）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，，0.12，，，，300% (1)负数集合：{__________________________}； (2)非负数集合：{__________________________}； (3)分数集合：{__________________________}； (4)无理数集合：{__________________________}； 【答案】(1) (2) （相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，0.12，，，，300% (3) (4) （相邻两个2之间的5的个数逐个加1），， 【分析】本题考查实数的分类，先化简各数，再根据负数、非负数、分数、无理数的定义，直接填空即可． 【详解】（1）解：，，，． 负数集合：； （2）解：非负数集合： （相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，0.12，，，，300%； （3）解：分数集合：； （4）解：无理数集合： （相邻两个2之间的5的个数逐个加1），，． 19．（8分）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算． （1）运用平方根知识列出方程并求解； （2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， ∴； （2）解：由（1）所求， ∴关于x的方程为， 移项，得， 化系数为1，得， 开立方，得． 20．（8分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 21．（10分）对于立方根，我们曾经得出以下规律：被开方数扩大（缩小）1000倍，立方根扩大（缩小）10倍，即若，则．下面我们来证明这一规律． 证明：，两边立方得_________， （__________）3， ． 应用：已知， 则___________，___________． 【答案】a；；； 【分析】本题主要考查了有理数的乘方法则，立方根，熟练掌握题干中的方法，并熟练运用是解题的关键．利用有理数的乘方法则和立方根的意义解答即可． 【详解】解：，两边立方得， ， ． 应用：已知， 则，． 22．（10分）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 23．（10分）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】(1)， (2)①，画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数． （2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：， （2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 24．（10分）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数，，0，中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．计算（   ） A．3 B． C． D． 3．在下列各数，，，，，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法中，正确的是（   ） A．数轴上的点都表示有理数 B．用根号表示的数不一定都是无理数 C．的立方根是± D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数 5．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 7．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 8．一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 9．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 10．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．的平方根是 ． 12．若的平方等于，则 ． 13．比较大小： 1．（填“”“”或“”） 14．已知   则 （精确到百分位） 15．已知表示不大于的最大整数，那么 ． 16．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）计算：．     （2）解方程 18．（8分）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，，0.12，，，，300% (1)负数集合：{__________________________}； (2)非负数集合：{__________________________}； (3)分数集合：{__________________________}； (4)无理数集合：{__________________________}； 19．（8分）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 20．（8分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 21．（10分）对于立方根，我们曾经得出以下规律：被开方数扩大（缩小）1000倍，立方根扩大（缩小）10倍，即若，则．下面我们来证明这一规律． 证明：，两边立方得_________， （__________）3， ． 应用：已知， 则___________，___________． 22．（10分）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 23．（10分）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 24．（10分）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $