专题02 分式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

专题02 分式（7知识&14题型&4易错） 【清单01】分式的定义及有意义的条件： (1)分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有 ，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. (2)分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式 ;当B=0时 . (3)分式值为零的条件：当A=0且 B 时，分式的值为零 【清单02】分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有 的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的 . 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 【清单03】分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相 ，分母 ，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取 ，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以 ；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成 的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的 的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的 这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为 的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号 进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成 是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 【清单04】分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘 、分母乘 分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母 ，约分后，再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带括号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行 ，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果，符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别 ，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 【清单05】分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先 ，再 ，然后加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按 的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 【清单06】整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数 ，指数 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数 ，二是除法运算，二者缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数 ，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为 ）次幂，等于这个数的n次幂的 .即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时 ，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 【清单07】可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有 的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的 。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的 变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去 ，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的 的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为 时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是 时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上 . 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出 ，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有 和 ，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设 未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合 . （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【题型一】分式的定义及有意义的条件 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列各式，，，中，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子是分式的是 （    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知x、y是实数，，则 ． 【变式1-4】若分式在时无意义，在时值为0，则 ． 【题型二】分式的基本性质 【例2】（24-25九年级下·黑龙江·期中）下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各式中，不能化简的分式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【题型三】分式的加减 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果为（    ） A．m B． C．1 D． 【变式3-1】化简： 【变式3-2】对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型四】分式的乘法和除法 【例4】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算的结果是（   ） A．a B． C．b D． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【变式4-2】计算： (1)； (2)． 【变式4-3】计算： 【题型五】分式的乘方 【例5】（24-25八年级上·四川成都·期中）化简等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】计算： ． 【题型六】分式的混合运算 【例6】（25-26八年级上·全国·期中）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】计算： ． 【变式6-2】化简：． 【变式6-3】计算：． 【题型七】分式的化简求值 【例7】先化简，再求值：，其中． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中． 【变式7-3】先化简，再求值：，其中． 【变式7-4】化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【题型八】零次幂、负整数次幂 【例8】计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【变式8-1】已知无意义，则的值为 ． 【变式8-2】我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为 ． 【变式8-3】计算： ． 【变式8-4】计算： ． 【题型九】整数指数幂的运算 【例9】计算： ． 【变式9-1】已知一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为 ． 【变式9-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-3】计算：． 【题型十】分式方程的定义及解法 【例10】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【变式10-2】方程的解为 ． 【变式10-3】解方程：． 【题型十一】分式方程无解的情况 【例11】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如果关于的分式方程有增根，则 ． 【变式11-2】若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【变式11-3】若分式方程无解，则的值为 ． 【变式11-4】【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【题型十二】分式方程的实际应用 【例12】某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m． 【变式14-2】举世瞩目的港珠澳大桥于年月日建成通车，这对促进我国三地经济发展具有十分重要的战略意义，今后，香港、澳门、珠海三地之间的时空距离将大大缩短，大桥建成前，驾车从香港特别行政区到珠海某地路程为千米，大桥建成后，两地路程缩短为原来的一半，平均速度也比原来快千米/小时，这样，相同的两地行驶时间只需原来的，求港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度？ 【变式14-3】在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？ 【题型一】概念理解类 1.混淆“分式”与“整式” 错误表现：将分式（如 ）误认为整式，或忽略分式分母不为零的条件。 归因：未掌握分式的定义（分母含字母且分母≠0）。 纠正：遇到含字母的分母，先标注“分母≠0”（如 ）。 2.忽略“无意义”的情况 错误表现：求解分式值时未排除使分母为零的取值。 典型题：当 为何值时，分式 无意义？ 漏解：只注意到 （分子为零），忽略 （分母为零）。 【例1】下列代数式：，，，，，，．其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-2】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【变式1-3】若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【题型二】分式变形时符号错误 易错场景： ① （应为 ）； ② 分式前有负号，分子或分母未变号（如 错误）。 规律：分式整体的负号可放在分子、分母或分式前，但需同时变两项符号。 【例2】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【变式2-1】根据分式基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式= 【变式2-3】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】分式方程去分母时漏乘项 错误表现：解方程 时，只乘 而漏乘常数项。 规范步骤：每项同乘最简公分母（如 ），得 。 【例3】解分式方程： (1)； (2)． 【变式3-1】解方程： ． 【变式3-2】换元法解方程：． 【变式3-3】解方程：． 【题型四】应用题中单位不统一 典型错误：行程问题中，速度单位为“km/h”，但时间未换算为“小时”。 案例：设时间为 分钟，未转化为 小时，导致方程错误。 【例4】黄冈首届国际半程马拉松将于5月6日在遗爱湖公园起跑.小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练.两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒 米 【变式4-1】年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【变式4-2】甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？ 学科网（北京）股份有限公1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式（7知识&14题型&4易错） 【清单01】分式的定义及有意义的条件： (1)分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. (2)分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. (3)分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 【清单02】分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 【清单03】分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 【清单04】分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带括号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果，符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 【清单05】分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 【清单06】整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 【清单07】可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上括号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【题型一】分式的定义及有意义的条件 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列各式，，，中，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如（，为整式），且中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可． 【详解】解：，，，中，是分式的有，，，共个， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分式无意义分母等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-1】下列式子是分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键． 一般地，如果表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式． 【详解】解：A、的分母中不含字母，不是分式，不合题意； B、的分母中不含字母，不是分式，不合题意； C、的分母中不含字母，不是分式，不合题意； D、是分式，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出，是关键．根据分式等于0的条件可得，，再代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴ ． 故选：C． 【变式1-3】已知x、y是实数，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件、分式有意义的条件、代数式求值，先根据算术平方根的性质及分式有意义的条件求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即且， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】若分式在时无意义，在时值为0，则 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式无意义的条件和值为零的条件可得a、b的值，从而可得答案． 【详解】解：时无意义， ， 解得：， 时值为0， ，且， ， ， 故答案为：7． 【题型二】分式的基本性质 【例2】（24-25九年级下·黑龙江·期中）下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，分式的性质：分子和分母同时乘以或者除以非0的数或整式，分式的值不变；根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式2-1】下列各式中，不能化简的分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，运用平方差公式进行因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，正确的化简分式是解题的关键． 对各选项进行化简，然后判断作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，无法化简，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义． 将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式． 【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； ，即不是最简分式； ，即不是最简分式； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式． 综上，最简分式的个数是个． 故选：． 【题型三】分式的加减 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果为（    ） A．m B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，对分子因式分解，然后约分后计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式3-1】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式3-2】对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型四】分式的乘法和除法 【例4】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算的结果是（   ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除混合运算．熟练掌握分式乘除法法则是解题关键，先将除法变成乘法，再相乘即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式4-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算． （1）先将除法变成乘法，再将分式相乘即可； （2）先将除法变成乘法，并因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式4-3】计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式，提公因式，分式的约分． 先将除法变成乘法，并因式分解，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【题型五】分式的乘方 【例5】（24-25八年级上·四川成都·期中）化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的分式乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算分式乘方，再计算乘法和约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式5-1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式5-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方和分式的乘方运算． 根据分式的乘方运算法则可进行求解． 【详解】解：． 故选：A． 【变式5-3】计算： ． 【答案】 【分析】含乘方的分式的乘除法混合运算，分式的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除，最后算加减. 有括号的，先算括号里的. 【详解】解： 故答案为. 【题型六】分式的混合运算 【例6】（25-26八年级上·全国·期中）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，先通分并化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解 【详解】解：原式 ， 故选：A 【变式6-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除混合运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-2】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先通分计算括号内，再除法变乘法，然后约分化简即可． 【详解】解：， ， ． 【变式6-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 先对括号内通分后相减，再将除法化为乘法约分计算即可． 【详解】解： ． 【题型七】分式的化简求值 【例7】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中变形后，利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时， 原式． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ； 把代入：． 【变式7-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先计算括号内异分母分式的加法，同时对分式的分子分母因式分解，然后将分式除法转化为乘法，得到化简结果，最后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式7-4】化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【题型八】零次幂、负整数次幂 【例8】计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）求解即可． 【详解】解：， 故选：． 【变式8-1】已知无意义，则的值为 ． 【答案】34 【分析】本题考查代数式求值，涉及零指数幂的定义、乘法公式等知识，熟练掌握零指数幂的定义、乘法公式是解决问题的关键． 先由零指数幂的定义求出，再由完全平方和公式、平方差公式化简，最后将代入化简结果即可得到答案． 【详解】解：由零指数幂的定义，当无意义时，， 解得， ， 把代入，原式． 【变式8-2】我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式8-3】计算： ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：1． 【变式8-4】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则； 先将乘方和0次幂化简，再进行计算即可． 【详解】． 故答案为：． 【题型九】整数指数幂的运算 【例9】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式9-1】已知一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整数指数幂的运算和正方体的体积公式，熟练掌握整数指数幂的运算法则是解题的关键；根据体积公式列出式子按整数指数幂的运算法则进行计算即可得到结果. 【详解】解：根据正方体的体积公式可得： 故答案为： ． 【变式9-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式除以单项式，多项式除以单项式，整数指数幂的运算等，熟练掌握相关运算顺序是解题的关键； （1）先计算积的乘方，再进行单项式除以单项式运算； （2）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项； （3）先利用整数指数幂化简，再进行计算； （4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算． 【详解】（1） ， ． （2） ， ． （3） ， ． （4） ， ． 【变式9-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【题型十】分式方程的定义及解法 【例10】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式10-1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意； D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式10-2】方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，原方程的解为． 故答案为：． 【变式10-3】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程去分母得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，方程的解为． 【题型十一】分式方程无解的情况 【例11】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 【变式11-1】如果关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握分式方程增根的产生原因，增根的求法．分式方程去分母，化成整式方程，求出，再根据分式方程有增根，得到，求出的值，进而求出m值即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得：， 整理得， 解得， 关于的分式方程有增根， ， 或， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上可知，或， 故答案为：或． 【变式11-2】若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1或 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 【详解】解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 故答案为：或 【变式11-3】若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的无解问题，解题关键是熟练掌握分式方程的无解问题的解法． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，将代入整式方程即可求解． 【详解】解：原方程去分母得， 分式方程无解， ， ， 将其代入得． 故答案为：． 【变式11-4】【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【答案】 【分析】先对原分式方程进行整理，然后通过去分母化为整式方程求解，再根据分式方程增根的定义，即整式方程的解使原分式方程的分母为，求出对应的的值．本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的定义（使分式方程分母为的根）以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程整理，得，即， 方程两边乘，得， 解得． ∵整式方程的解x是分式方程的增根， 或，即或， 或， 解得或（舍）， 时，方程有增根． 【题型十二】分式方程的实际应用 【例12】某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设该作家原计划每天写章，则实际每天写章，根据实际截稿时间提前了天，列出方程即可． 【详解】解：设该作家原计划每天写章， 根据题意得， 故选：A． 【变式14-1】甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m． 【答案】1600 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求． 【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． 所以． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有． 故答案为：1600 【变式14-2】举世瞩目的港珠澳大桥于年月日建成通车，这对促进我国三地经济发展具有十分重要的战略意义，今后，香港、澳门、珠海三地之间的时空距离将大大缩短，大桥建成前，驾车从香港特别行政区到珠海某地路程为千米，大桥建成后，两地路程缩短为原来的一半，平均速度也比原来快千米/小时，这样，相同的两地行驶时间只需原来的，求港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度？ 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时，根据“相同的两地行驶时间只需原来的，”建立方程求解，并检验，即可解题． 【详解】解：设港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时， 根据题意得：， 解得，， 经检验， 是原方程的解且符合题意． 答：港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时． 【变式14-3】在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？ 【答案】现在平均每天生产160台机器 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设现在平均每天生产台机器，根据现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产台机器，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：现在平均每天生产160台机器． 【题型一】概念理解类 1.混淆“分式”与“整式” 错误表现：将分式（如 ）误认为整式，或忽略分式分母不为零的条件。 归因：未掌握分式的定义（分母含字母且分母≠0）。 纠正：遇到含字母的分母，先标注“分母≠0”（如 ）。 2.忽略“无意义”的情况 错误表现：求解分式值时未排除使分母为零的取值。 典型题：当 为何值时，分式 无意义？ 漏解：只注意到 （分子为零），忽略 （分母为零）。 【例1】下列代数式：，，，，，，．其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据分式的定义逐个判断即可得到答案．本题考查分式的定义，熟记“分式的定义：形如（其中A、B都是整式，且B中含有字母）的式子叫作分式”是解答本题的关键． 【详解】根据分式的定义，分式有，，，，共4个． 故选：B． 【变式1-1】使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且， 故选：D． 【变式1-2】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 【变式1-3】若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴实数x的取值范围是． 故答案为： 【题型二】分式变形时符号错误 易错场景： ① （应为 ）； ② 分式前有负号，分子或分母未变号（如 错误）。 规律：分式整体的负号可放在分子、分母或分式前，但需同时变两项符号。 【例2】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的， 故选：C． 【变式2-1】根据分式基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质变形即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2-2】不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式= 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 将分子提取负号化简即可． 【详解】 故答案为： 【变式2-3】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． （1）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答； （2）利用分式的基本性质，把分母负号放到分式外面，即可解答； （3）利用分式的基本性质，分子、分母同乘，即可解答； （4）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型三】分式方程去分母时漏乘项 错误表现：解方程 时，只乘 而漏乘常数项。 规范步骤：每项同乘最简公分母（如 ），得 。 【例3】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了可化为一元一次方程的分式方程，正确求解是关键； （1）方程两边同乘，即可化为一元一次方程，解方程并检验即可； （2）方程两边同乘，即可化为一元一次方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，并化简得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 所以原方程解为； （2）解：方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：，           经检验是原方程的解， 所以原方程的解为． 【变式3-1】解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，掌握解分式方程的过程是解题的关键，注意根的检验． 根据题意，方程两边同乘以，化简求方程的根，再检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 当时，， 所以方程的解为． 【变式3-2】换元法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了用换元法解分式方程： 设，先把方程变形为，解分式方程求出y的值，再代入所设式子中求出x即可． 【详解】解：设， 原方程可化为， 方程两边同时乘以得， 解得， 经检验都是的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 【变式3-3】解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程两边同乘，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 化简，得， 解得， 检验：时，， ∴不是该分式方程的解， ∴原分式方程无解． 【题型四】应用题中单位不统一 典型错误：行程问题中，速度单位为“km/h”，但时间未换算为“小时”。 案例：设时间为 分钟，未转化为 小时，导致方程错误。 【例4】黄冈首届国际半程马拉松将于5月6日在遗爱湖公园起跑.小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练.两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒 米 【答案】5 【分析】设小林的速度为每秒x米，根据题意求得小雨的速度，再依据已知的等量关系列出分式方程即可解得此题. 【详解】设小林的速度为每秒x米， ∵每隔12分钟小林追上小雨一次， ∴小雨的速度= （米/秒）， 由题意得： ， 解得：x1=5，x2=（不合题意舍去）， 经检验，x=5是原分式方程的解. 故填：5. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，设出小林的速度，根据题意得到小雨的速度是解题的关键，由此即可列出分式方程解答. 【变式4-1】年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【答案】所用时间为分秒，能拿到满分 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该女生的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程求出速度，进而求出跑步时间，并与满分标准比较做出判断，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该女生的平均速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵(秒)分秒分秒， ∴这名女生本次测试能拿到满分， 答：该女生本次测试所用时间为分秒，本次测试能拿到满分． 【变式4-2】甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】80千米/小时、60千米/小时. 【分析】设甲车、乙车的速度分别为x、y千米/小时，根据题意列方程组求解即可. 【详解】设甲车速度x千米/小时， 乙车y千米/小时，根据题意可得， ， 解得x=80千米/小时，y=60千米/小时， 答：第一次甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时. 【点睛】本题考查方程的应用，解题的关键是从题中找出等量关系列出方程组． 学科网（北京）股份有限公1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 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