专题7立体几何空间角的向量求法专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题7立体几何空间角的向量求法 1.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点E,F分别是A,B,C,D的一个四等分点，且 BE=D5=48,求BE,与DR夹角的余弦值. 4 D F C A E B B 2.如图，在三棱锥A-BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DA=DB=DC=2,E为 BC的中点 A D H B (1)证明：AE⊥BC;(用向量方法证明) (2)求直线AE与DC所成角的余弦值 试卷第1页，共3页 3.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=BD=2,BC=CD=√2，AB⊥BD,点E为AD的 中点 (I)求证：BD⊥CE; (②)若平面ABD⊥平面BCD,求直线AC与平面BCE所成角的正弦值 4.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AB⊥AC,AB=AC=AA,点E,F分别为棱AB, AB,的中点. A B B (1)求证：AF/1平面B,CE; (2)求直线C,E与直线AF的夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 5.如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为BC的中点，将aCDE沿DE翻折至△PDE, 平面PDE⊥平面ABED. E (I1)求证：PD⊥平面PEA; (2)求直线PD与平面PBA所成角的正弦值. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,ABIICD,PC=AB=2CD=2AD=2,PC⊥平 面ABCD E D C (I)求证：平面PAC⊥平面PBC; (2)若E是PB的中点，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值 试卷第1页，共3页 7.如图，在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，侧面ADD,A,和底面ABCD均为菱形，且AD=2, ∠4D=∠D1B-骨E为AD的中点，BC与平面CDE交于点F, D C A 公 B (1)求证：F为B,C,的中点： (2)若平面ADDA,⊥平面ABCD,求二面角B-AA,-D的余弦值 8.在平面四边形ABCD中，∠DAB=150°，AC⊥AD,DA=AB=3,AC=2, 将△DAC沿AC翻折至△PAC,且满足PA⊥BC. D (I)求证：PA⊥平面ABC; (2)求二面角A-PC-B的正弦值 试卷第1页，共3页 9.如图，正四棱锥S-ABCD,SA=2,AB=√2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD. S B (1)求证：AC⊥SD; (2)求异面直线SA与CP所成角的余弦值. 10.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AC=AA,=2,∠BAC=90°，E,F分别为 CC,BC的中点。 A C F (1)求证：A,B⊥B,C; (2)求直线A,B与平面AEF所成角的余弦值. 试卷第1页，共3页 11.如图，在长方体ABCD-A,B,C,D中，AB=AD=2,AA,=2√2，M为棱DD,的中点 A B B (I)证明：AM⊥平面A,CD: (2)求直线BD,与平面A,CD所成角的正弦值 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA=2AD, AB⊥PD,PA⊥AD,E为线段PD的中点 B D (I)证明：直线PB11平面ACE; (2)求直线PC与平面ACE所成角的余弦值 试卷第1页，共3页 13.如图1，在矩形ABCD中，AB=1,AD=3,点E,F分别在边AD,BC上，且 AE=CF=1.将四边形EFCD沿EF翻折至四边形EFPQ,使得QB=√6，如图2所示 0 A 图1 图2 (1)证明：BE⊥平面EFPQ; (2)求直线QB与平面PBF所成角的正弦值 14.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=2AB=3,AD=2DB,点E在AC上，且PE⊥AC CE=PE =2. D B (I)若F为线段PE的中点，求证：直线DF∥平面PBC: (②)若AB⊥平面PAC,求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值 试卷第1页，共3页 15.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=3,BC=DC=1, DE⊥AB于E,沿DE将ADE折起，使得点A到点P的位置，使∠PEB=90°，N,F分 别是棱BC,PB的中点， P D D). E E B (1)证明：EF⊥BC; (②)求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值. 16.在如图所示的几何体中，CD⊥平面ABC,AE/CD,F是BE的中点， AE CD AC BC.AC BC D (I)求证：DF⊥平面ABE; (2)求二面角A-DE-B的正弦值. 试卷第1页，共3页 《专题7立体几何空间角的向量求法》参考答案 1.9 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求解 【详解】设正方体的棱长为1，分别以DA,DC,DD为单位正交基底建立空间直角坐标系 D-3z, ZA A 则110，E00.a0.s0 所以E=-小-.0-0-.听-0好小-@0o-0 16 15 所以cos(BE,DE)= BE·DE 16 15 BE·D17x717 44 15 因此BE,与DF夹角的余弦值是 7 2.(1)证明见解析 36 6 【分析】(1)以点D为坐标原点，DB、DC、DA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直 角坐标系，计算出AEBC=0,即可证得结论成立； (2)利用空间向量法可求得直线AE与DC所成角的余弦值 【详解】(I)在三棱锥A-BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DA=DB=DC=2,E为 BC的中点 以点D为坐标原点，DB、DC、DA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直 角坐标系， 答案第1页，共2页 ZA Di--- x 则A(0,0,2、B(2,0,0)、C(0,2,0、D(0,0,0、E(1,1,0), 所以，AE=(1,1,-2),BC=(-2,2,0),则AE.BC=-2+2=0,故AE⊥BC. (2)DC=(0,2,0,cos(AE,DC)= AE.DC2√6 AE:DC6×26, 所以，直线AE与DC所成角的余弦值为y6 3.(1)证明见详解 as 【分析】(1)取BD中点O,由题意可证OE⊥BD,C0⊥BD,进而可证BD⊥平面C0E, 再由线面垂直的性质定理可证BD⊥CE; (2)建立空间直角坐标系，分别求出直线AC的方向向量与平面BCE的法向量，利用空间 向量求线面角即可 【详解】(1)取BD中点O,连接CO,E0,则0EI1AB, 因为AB⊥BD,所以OE⊥BD, 因为BC=CD,O为BD中点，所以CO⊥BD, 因为OC∩OE=O,OC,OEc平面C0E,所以BD1平面C0E, 又CEc平面COE,所以BD⊥CE. E D B 答案第1页，共2页