15.4等腰三角形讲义2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

15.4等腰三角形 学习目标 1. 理解并掌握等腰三角形的性质定理“等边对等角”。 2. 掌握等腰三角形“三线合一”的性质，并能运用其解决简单问题。 3. 理解并掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”。 4. 掌握等边三角形的性质与判定方法。 5. 理解并运用含30°角的直角三角形的性质。 6. 能够运用等腰三角形的性质和判定进行简单的计算和证明。 7. 会解决与等腰三角形边长相关的计算问题。 知识点讲解 一、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的性质1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 几何语言：在△ABC中，∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C。 2. 等腰三角形的性质2：三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 几何语言： 在△ABC中，AB = AC， ① ∵ AD是顶角∠BAC的平分线， ∴ AD⊥BC，BD = CD。 ② ∵ AD是底边BC上的中线， ∴ AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD。 ③ ∵ AD是底边BC上的高， ∴ AD平分∠BAC，BD = CD。 二、等边三角形的性质 1. 等边三角形的三条边都相等。 2. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 3. 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它也具有等腰三角形的所有性质（如三线合一）。 三、等腰三角形的判定 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 判定定理：等角对等边 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 几何语言：在△ABC中，∵ ∠B = ∠C，∴ AB = AC。 四、等边三角形的判定 1. 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 2. 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 3. 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 五、含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠A = 30°，∴ BC = AB。 例题解析 例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠A = 70°，求∠B和∠C的度数。 例题2：已知一个等边三角形的周长是24cm，求它的边长。 例题3：在△ABC中，AD是底边BC上的高，也是∠BAC的平分线，求证：△ABC是等腰三角形。 例题4：已知等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，求它的周长。 例题5：在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，求斜边AB的长度。 例题6：已知△ABC的三个内角都相等，求证：△ABC是等边三角形。 巩固练习 一、选择题 1. 等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角是 A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 110° 2. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是 A. AB = AC B. ∠B = ∠C C. AB = BC D. ∠A = 50°，∠B = 60° 3. 等边三角形的每个内角都是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，斜边为10cm，那么这个锐角所对的直角边的长是 A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 二、填空题 1. 在等腰三角形中，若顶角为100°，则它的一个底角的度数是________。 2. 等边三角形有________条对称轴。 3. 等腰三角形的对称轴是________（填“顶角平分线”或“底边上的中线”或“底边上的高”或“顶角平分线所在的直线”）。 4. 在△ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的中线，若BC = 6cm，则BD = ________cm。 5. 若一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，则这个三角形是________三角形（填“等腰锐角”、“等腰直角”或“等腰钝角”）。 三、解答题 1. 已知等腰三角形的顶角是底角的2倍，求这个等腰三角形各个内角的度数。 2. 一个等腰三角形的周长是18cm，其中一条边长为4cm，求其他两边的长。 3. 在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求∠A的度数。 4. 已知：在△ABC中，∠A = 60°，AB = AC。求证：△ABC是等边三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.4等腰三角形 学习目标 1. 理解并掌握等腰三角形的性质定理“等边对等角”。 2. 掌握等腰三角形“三线合一”的性质，并能运用其解决简单问题。 3. 理解并掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”。 4. 掌握等边三角形的性质与判定方法。 5. 理解并运用含30°角的直角三角形的性质。 6. 能够运用等腰三角形的性质和判定进行简单的计算和证明。 7. 会解决与等腰三角形边长相关的计算问题。 知识点讲解 一、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的性质1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 几何语言：在△ABC中，∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C。 2. 等腰三角形的性质2：三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 几何语言： 在△ABC中，AB = AC， ① ∵ AD是顶角∠BAC的平分线， ∴ AD⊥BC，BD = CD。 ② ∵ AD是底边BC上的中线， ∴ AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD。 ③ ∵ AD是底边BC上的高， ∴ AD平分∠BAC，BD = CD。 二、等边三角形的性质 1. 等边三角形的三条边都相等。 2. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 3. 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它也具有等腰三角形的所有性质（如三线合一）。 三、等腰三角形的判定 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 判定定理：等角对等边 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 几何语言：在△ABC中，∵ ∠B = ∠C，∴ AB = AC。 四、等边三角形的判定 1. 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 2. 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 3. 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 五、含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠A = 30°，∴ BC = AB。 例题解析 例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠A = 70°，求∠B和∠C的度数。 分析：已知等腰三角形的顶角，根据“等边对等角”的性质，可求出底角的度数。三角形内角和为180°。 解答： ∵ AB = AC （已知） ∴ ∠B = ∠C （等边对等角） ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 70° （已知） ∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110° ∵ ∠B = ∠C ∴ ∠B = ∠C = 110° ÷ 2 = 55° 故∠B和∠C的度数均为55°。 例题2：已知一个等边三角形的周长是24cm，求它的边长。 分析：等边三角形的三条边长度相等，因此边长等于周长除以3。 解答： ∵ 三角形是等边三角形 ∴ 三条边长度相等，设边长为a cm。 ∵ 周长是24cm ∴ 3a = 24 a = 24 ÷ 3 a = 8 故它的边长为8cm。 例题3：在△ABC中，AD是底边BC上的高，也是∠BAC的平分线，求证：△ABC是等腰三角形。 分析：要证明△ABC是等腰三角形，可证明AB = AC。已知AD是高和角平分线，可利用三角形全等证明AB = AC。 解答： ∵ AD是底边BC上的高 ∴ ∠ADB = ∠ADC = 90° ∵ AD是∠BAC的平分线 ∴ ∠BAD = ∠CAD 在△ABD和△ACD中 ∠ADB = ∠ADC （已证） AD = AD （公共边） ∠BAD = ∠CAD （已证） ∴ △ABD ≌ △ACD （ASA） ∴ AB = AC （全等三角形对应边相等） ∴ △ABC是等腰三角形 （等腰三角形定义） 例题4：已知等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，求它的周长。 分析：等腰三角形两腰长度相等，但需注意三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。因此需要分情况讨论，并判断能否构成三角形。 解答： 情况一：当腰长为5cm时，底边长为10cm。 此时三边长分别为5cm，5cm，10cm。 ∵ 5 + 5 = 10 不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 此情况不成立，舍去。 情况二：当腰长为10cm时，底边长为5cm。 此时三边长分别为10cm，10cm，5cm。 ∵ 10 + 5 > 10，10 + 10 > 5 满足三角形三边关系。 ∴ 周长 = 10 + 10 + 5 = 25cm 故该等腰三角形的周长为25cm。 例题5：在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，求斜边AB的长度。 分析：已知直角三角形中一个锐角为30°，它所对的直角边是BC，根据含30°角的直角三角形的性质，BC等于斜边AB的一半。 解答： ∵ 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30° ∴ BC = AB （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） ∵ BC = 4cm ∴ 4 = AB AB = 4 × 2 AB = 8cm 故斜边AB的长度为8cm。 例题6：已知△ABC的三个内角都相等，求证：△ABC是等边三角形。 分析：直接利用等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。 解答： 设∠A = ∠B = ∠C = x ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180° ∴ x + x + x = 180° 3x = 180° x = 60° ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60° ∴ △ABC是等边三角形 （三个角都相等的三角形是等边三角形） 巩固练习 一、选择题 1. 等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角是 A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 110° 2. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是 A. AB = AC B. ∠B = ∠C C. AB = BC D. ∠A = 50°，∠B = 60° 3. 等边三角形的每个内角都是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，斜边为10cm，那么这个锐角所对的直角边的长是 A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 二、填空题 1. 在等腰三角形中，若顶角为100°，则它的一个底角的度数是________。 2. 等边三角形有________条对称轴。 3. 等腰三角形的对称轴是________（填“顶角平分线”或“底边上的中线”或“底边上的高”或“顶角平分线所在的直线”）。 4. 在△ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的中线，若BC = 6cm，则BD = ________cm。 5. 若一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，则这个三角形是________三角形（填“等腰锐角”、“等腰直角”或“等腰钝角”）。 三、解答题 1. 已知等腰三角形的顶角是底角的2倍，求这个等腰三角形各个内角的度数。 2. 一个等腰三角形的周长是18cm，其中一条边长为4cm，求其他两边的长。 3. 在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求∠A的度数。 4. 已知：在△ABC中，∠A = 60°，AB = AC。求证：△ABC是等边三角形。 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：B 解析：等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°。 已知一个底角是70°，则另一个底角也是70°。 顶角 = 180° - 70° - 70° = 40°。 故选B。 2. 答案：D 解析： A. AB = AC，根据定义可判定是等腰三角形。 B. ∠B = ∠C，根据“等角对等边”可判定是等腰三角形。 C. AB = BC，根据定义可判定是等腰三角形。 D. ∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C = 180° - 50° - 60° = 70°，三个角都不相等，不是等腰三角形。 故选D。 3. 答案：C 解析：等边三角形三个内角相等，且内角和为180°，所以每个内角为180° ÷ 3 = 60°。 故选C。 4. 答案：C 解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 斜边为10cm，所以该直角边的长为10 × = 5cm。 故选C。 二、填空题 1. 答案：40° 解析：等腰三角形顶角为100°，则两个底角之和为180° - 100° = 80°。 因为两底角相等，所以一个底角为80° ÷ 2 = 40°。 2. 答案：3 解析：等边三角形有三条对称轴，分别是三条边上的高（或中线、或顶角平分线）所在的直线。 3. 答案：顶角平分线所在的直线 解析：对称轴是直线，而顶角平分线、底边上的中线、底边上的高都是线段。等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在的直线，或底边上的高所在的直线）。 4. 答案：3 解析：∵ AB = AC，AD是底边BC上的中线。 ∴ BD = DC （等腰三角形三线合一，底边上的中线平分底边）。 ∵ BC = 6cm ∴ BD = 6cm ÷ 2 = 3cm。 5. 答案：等腰直角 解析：设三个内角分别为x，x，2x。 则x + x + 2x = 180° 4x = 180° x = 45° 三个内角分别为45°，45°，90°。 所以是等腰直角三角形。 三、解答题 1. 答案：∠A = 90°，∠B = ∠C = 45° 解析：设底角的度数为x，则顶角的度数为2x。 根据三角形内角和定理： x + x + 2x = 180° 4x = 180° x = 45° 顶角的度数为2x = 2 × 45° = 90° 所以这个等腰三角形各个内角的度数分别为90°，45°，45°。 2. 答案：其他两边的长均为7cm 解析：已知等腰三角形周长是18cm，一条边长为4cm。需分情况讨论： 情况一：若4cm为腰长，则底边长为18 - 4 - 4 = 10cm。 此时三边长为4cm，4cm，10cm。 ∵ 4 + 4 = 8 < 10，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）， ∴ 此情况不成立，舍去。 情况二：若4cm为底边长，则腰长为(18 - 4) ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7cm。 此时三边长为7cm，7cm，4cm。 ∵ 7 + 4 > 7，7 + 7 > 4，满足三角形三边关系。 ∴ 其他两边的长均为7cm。 3. 答案：∠A = 36° 解析：设∠A的度数为x。 ∵ AD = BD ∴ ∠ABD = ∠A = x （等边对等角） ∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = x + x = 2x （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和） ∵ BD = BC ∴ ∠BDC = ∠BCD = 2x （等边对等角） ∵ AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB = 2x （等边对等角） 在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180° x + 2x + 2x = 180° 5x = 180° x = 36° 即∠A的度数为36°。 4. 答案：见解析 解析：证明： ∵ AB = AC ∴ △ABC是等腰三角形 （等腰三角形定义） ∠B = ∠C （等边对等角） ∵ ∠A = 60° ∠A + ∠B + ∠C = 180° ∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120° ∵ ∠B = ∠C ∴ ∠B = ∠C = 120° ÷ 2 = 60° ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60° ∴ △ABC是等边三角形 （三个角都相等的三角形是等边三角形） 学科网（北京）股份有限公司 $