考点18 动力学中的临界极值问题 讲义-2026届高考物理一轮复习重点考点解读与针对性训练

高考重点考点解读与针对性训练 第三章 运动和力的关系 考点18 动力学中的临界极值问题 【考点解读】 1.常见的动力学临界极值问题及其条件 （1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。 （2）相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 （3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。 （4）最终速度（收尾速度）的临界条件：物体所受合外力为零。 2.动力学临界极值问题的三种解法 极限法 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 函数法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 【高考真题】 【典例1】. （2023高考湖南卷）如图，光滑水平地面上有一质量为的小车在水平推力的作用下加速运动。车厢内有质量均为的A、B两小球，两球用轻杆相连，A球靠在光滑左壁上，B球处在车厢水平底面上，且与底面的动摩擦因数为，杆与竖直方向的夹角为，杆与车厢始终保持相对静止假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ） A. 若B球受到的摩擦力为零，则 B. 若推力向左，且，则的最大值为 C. 若推力向左，且，则的最大值为 D. 若推力向右，且，则的范围为 【答案】CD 【解析】对选项A，设在水平向右推力F作用下，整体加速度为a，F=4ma，若B球所受摩擦力为零，对B球，由tanθ=ma/mg，联立解得F=4mgtanθ，A错误； 对选项B，若推力F向左，整体向左加速运动，F=4ma。小球A所受向左合力最大值为FA=mgtanθ。设轻杆中弹力为N，轻杆中弹力的水平分量Nx= FA=mgtanθ，Nx=ma。 对小球B，由于tanθ≤μ，对小球B，受到向左的合力 FB=f- Nx=≤μ2mg- Nx= 2mgtanθ- Nx= mgtanθ 联立解得F≤4mg tanθ，即F的最大值为4mgtanθ，B错误； 对选项C，若推力F向左，小球A所受向左合力最大值为FA=mgtanθ。小球B，受到向左的合力最大值FBmax=f- Nx= 2μmg- mgtanθ，由于，则FBmax=mgtanθ。而FBmax=mamax，整体向左加速运动，Fmax=4mamax。 联立解得Fmax=4mg（2μ-tanθ），C正确； 对选项D， 若推力向右，在水平向右推力F作用下，整体加速度为a，向右，F=4ma。。由于小球A受到左壁向右的弹力，合力可以很大，我们只需讨论小球B即可。当小球B所受的摩擦力向左时，小球B所受向右的合力最小，此时FBmin= Nx-μ（Ny+mg）= mgtanθ- 2μmg，最小加速度aBmin= FBmin/m，所以F≥4mg（tanθ- 2μ）。 当小球B所受的摩擦力向右时，小球B所受向右的合力最大，此时FBmax= Nx+μ（Ny+mg）= mgtanθ+2μmg，最大加速度aBmax= FBmax/m，所以F≤4mg（tanθ+ 2μ）。由此可得F的范围为，D正确。 【典例2】（2022新高考江苏卷第1题）高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度．若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过（　　） A. B. C. D. 【参考答案】B 【命题意图】本题考查静摩擦力、牛顿运动定律及其相关知识点。 【解题思路】 书放在水平桌面上，书相对于桌面不滑动，书受到的是静摩擦力。若书不滑动，由 解得高铁的最大加速度为 即故若书不动，高铁的最大加速度不超过，B正确，ACD错误。 【关键点拨】要注意题述“高铁的最大加速度不超过”。 【典例3】（2022年高考全国理综甲卷第19题）如图，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前（ ） A．P的加速度大小的最大值为 B．Q的加速度大小的最大值为 C．P的位移大小一定大于Q的位移大小 D．P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小 【答案】AD 【命题意图】本题考查受力分析、牛顿运动定律和图像法分析等。 【解题思路】在拉力作用下，PQ做匀速运动，弹簧弹力T=μmg。撤去拉力F瞬间，P受到向后的弹力T和摩擦力μmg，由牛顿第二定律，T+μmg=maP，解得aP=2μg，选项A正确。Q受到向前的弹力T和向后的摩擦力μmg，由牛顿第二定律，T-μmg=maQ，解得aQ=0，选项B错误。撤去拉力F后，P做加速度逐渐减小的减速运动，Q做加速度逐渐增大的减速运动，画出PQ的速度图像，如图。可知P的位移大小一定小于Q的位移大小，P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小，选项C错误D正确。 【思路点拨】通过分析PQ的运动情景，画出速度图像，一目了然，事半功倍。 【典例4】（2022年6月浙江选考）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度l1=4m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为 ，货物可视为质点（取cos24°=0.9，sin24°=0.4）。 第19题图 （1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小； （2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小； （3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度l2。 【命题意图】本题考查牛顿运动定律、匀变速直线运动规律。 【解题思路】 （1）货物在倾斜滑轨上滑行，由牛顿第二定律， mgsin24°-μ mgcos24°=ma1，解得：a1=2m/s2。 （2）由匀变速直线运动规律，v2=2a1l1，解得v=4m/s （3）货物在水平轨道上匀减速运动，v12-v2=2a2l2， 由牛顿第二定律， -μ mg=ma2， 解得：l2=2.7m。 【针对性训练】 1.（2025·广西玉林模拟）如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一根竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一个质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g取10 m/s2。以下结论正确的是（　　） A.变力F的最小值为2 N B.变力F的最小值为6 N C.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s 答案：BC 解析：A、B整体受力产生加速度，则有F＋FNAB－（mA＋mB）g＝（mA＋mB）a，可得F＝（mA＋mB）a＋（mA＋mB）g－FNAB，当FNAB最大时，F最小，即刚开始施力时，FNAB最大且等于A和B的重力之和，则变力Fmin＝（mA＋mB）a＝6 N，A错误，B正确；刚开始，弹簧的压缩量为x1＝＝0.05 m，A、B分离时，其间恰好无作用力，对托盘B，由牛顿第二定律可知kx2－mBg＝mBa，得x2＝0.04 m，物块A在这一过程的位移为Δx＝x1－x2＝0.01 m，由运动学公式可知v2＝2aΔx，代入数据得v＝0.2 m/s，C正确，D错误。 2. 如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离。下列说法正确的是（　　） A.B和A刚分离时，弹簧长度等于原长 B.B和A刚分离时，它们的加速度为g C.弹簧的劲度系数等于 D.在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动 答案 C 解析：　A、B分离前，A、B共同做加速运动，由于F是恒力，而弹簧弹力是变力，故A、B做变加速直线运动。当两物体刚要分离时，FAB＝0，对B，有F－mg＝ma，对A，有kx－mg＝ma，即F＝kx时，A、B分离，a＝0，此时弹簧仍处于压缩状态。设用恒力F拉B前弹簧压缩量为x0，则2mg＝kx0，h＝x0－x，且F＝mg，联立以上各式解得弹簧的劲度系数k＝，综上所述，只有C正确。 3.（2025·湖南岳阳一模）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，则（　　） A.系统静止时，a线所受的拉力大小为12 N B.系统静止时，b线所受的拉力大小为8 N C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D.当系统沿水平方向向右匀加速时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 答案 BC 解析：　小球受力分析如图所示。系统静止时，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fa·cos 37°＝Fb，解得Fa＝10 N，Fb＝8 N，故A错误，B正确；当系统沿竖直方向向上匀加速运动时，当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fm·sin 37°－mg＝ma，水平方向有Fm·cos 37°＝Fb，解得Fb＝12 N＜15 N，此时加速度有最大值a＝5 m/s2，故C正确；系统沿水平方向向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fb－Fa·cos 37°＝ma，解得Fa＝10 N，当Fb＝15 N时，加速度最大为a≈11.67 m/s2，故D错误。 4. 如图所示，A、B两物块叠放在一起静止在水平地面上，A物块的质量mA＝2 kg，B物块的质量mB＝3 kg，A与B接触面间的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，现对A或对B施加一水平外力F，使A、B相对静止一起沿水平地面运动，重力加速度g取10 m/s2，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A.若外力F作用到物块A上，则其最小值为8 N B.若外力F作用到物块A上，则其最大值为10 N C.若外力F作用到物块B上，则其最小值为13 N D.若外力F作用到物块B上，则其最大值为25 N 答案 BD 解析：　当外力F作用到A上，两者相对静止一起运动，A对B的摩擦力达到最大静摩擦力时，F达到最大值，此时，对B，根据牛顿第二定律，有μ1mAg－μ2（mA＋mB） g＝mBa1，代入数据解得a1＝1 m/s2，对整体，F1－μ2（mA＋mB）g＝（mA＋mB）a1，代入数据解得F1＝10 N，故B正确；当外力F作用到B上，两者相对静止一起运动，A对B的摩擦力达到最大静摩擦力时，F达到最大值，对A，根据牛顿第二定律，有μ1mAg＝mAa2，解得a2＝μ1g＝4 m/s2，对A、B整体F2－μ2（mA＋mB）g＝（mA＋mB）a2，代入数据解得F2＝25 N，故D正确；无论F作用于A上还是B上，A、B刚开始相对地面滑动时，其值最小，即最小值Fmin＝μ2（mA＋mB）g＝5 N，故A、C错误。 5 . 在光滑水平地面上放置一足够长的质量为M的木板B，如图甲所示，其上表面粗糙，在木板B上面放置一个质量为m、可视为质点的物块A，现在给A一个水平向左的拉力F，用传感器得到A的加速度随拉力F的变化关系如图乙所示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10m/s2，则（　AD　） A.物块A的质量为m＝1kg B.木板B的质量为M＝3kg C.A与B之间的最大静摩擦力为fmax＝3N D.当A的加速度为2m/s2时，拉力F＝4N 答案 AD 解析　由图乙可知，当拉力小于3 N时，A、B一起做加速运动，有a1＝F，根 据图线可得＝ kg－1，当拉力大于3 N时，A、B相对滑动，对A由牛顿第二定律 有F－μmg＝ma2，整理得a2＝F－μg，由图线可得＝1 kg－1，－μg＝－2 m·s－2， 联立解得m＝1 kg，M＝2 kg，μ＝0.2，A正确，B错误；A、B之间的最大静摩擦力fm ＝μmg＝2 N，C错误；当A的加速度为2 m/s2时，拉力F＝μmg＋ma＝4 N，D正确. 6 . 如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为m的物体A、B（B与弹簧连接，A、B均可视为质点），弹簧的劲度系数为k，初始时物体处于静止状态.现用竖直向上的拉力F作用在A上，使A开始向上做加速度大小为a的匀加速运动，测得A、B的v－t图像如图乙所示，已知重力加速度大小为g，则（　AD　） A.施加力F前，弹簧的形变量为 B.施加力F的瞬间，A、B间的弹力大小为m（g＋a） C.A、B在t1时刻分离，此时弹簧弹力等于B的重力 D.上升过程中，B速度最大时，A、B间的距离为－ 答案 AD 解析　A与B分离的瞬间，A与B的加速度相同，速度也相同，A与B间的弹力 恰好为零.分离后A与B的加速度不同，速度不同.t＝0时刻，即施加力F的瞬 间，弹簧弹力没有突变，弹簧弹力与施加力F前的相同，但A与B间的弹力发生 突变.t1时刻，A与B恰好分离，此时A与B的速度相等、加速度相等，A与B间的 弹力为零.t2时刻，B的v－t图线的切线与t轴平行，切线斜率为零，即加速度为 零.施加力F前，A、B整体受力平衡，则弹簧弹力大小F0＝kx0＝2mg，解得弹簧 的形变量x0＝，A正确.施加力F的瞬间，对B，根据牛顿第二定律有F0－mg －FAB＝ma，解得A、B间的弹力大小FAB＝m(g－a)，B错误.A、B在t1时刻之后 分离，此时A、B具有共同的速度与加速度，且FAB＝0，对B有F1－mg＝ma，解 得此时弹簧弹力大小F1＝m(g＋a)，C错误.t2时刻B的加速度为零，速度最大， 则kx'＝mg，解得此时弹簧的形变量x'＝，B上升的高度h'＝x0－x'＝，A上 升的高度h＝a，此时A、B间的距离Δh＝a－，D正确. 7. [2023山东济南学情检测/多选]如图所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为0.3kg的物块从弹簧上端某高度处自由下落，当弹簧的压缩量为0.1m时物块达到最大速度，此后物块继续向下运动到达最低点.在以上整个运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，物块和弹簧接触瞬间机械能损失不计，不计空气阻力，取g＝10m/s2，下列说法正确的是（　AD　） A.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，物块的速度先增大后减小 B.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，物块的速度一直减小 C.该弹簧的劲度系数为20N/m D.弹簧压缩量为0.2m时，物块的加速度大小为10m/s2 答案 AD 答案 AD 解析　设物块在位置1时速度最大，在位置2时弹簧压缩量为0.2 m，如图，物块接触弹簧到位置1的过程中，弹簧对物块向上的弹力小于物块的重力，设物块的质量为m，则物块的加速度a＝向下且随压缩量x的增大而减小，即物块做加速度减小的加速运动；当弹力等于重力时，加速度为零，此时物块速度最大；在以后的阶段，弹力大于重力，加速度向上，物块做减速运动.则从接触弹簧到压缩至最短的过程中，物块的速度先增大后减小，A正确，B错误.当物块到达位置1时，弹簧的压缩量为x1＝0.1 m，物块达到最大速度，此时必满足mg＝kx1，即该弹簧的劲度系数为k＝＝30 N/m，C错误.当物块位于位置2时弹簧压缩量为x2＝0.2 m，物块的加速度大小为a'＝＝10 m/s2，方向向上，D正确. 8 （2025·陕西商洛模拟）水平地面上有一质量m1＝3 kg的长木板，木板的左端上表面有一质量m2＝2 kg的小物块，如图甲所示，水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图乙所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小，木板的加速度a1随时间t的变化关系如图丙所示。已知木板与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，物块与木板间的动摩擦因数为μ2＝0.8。假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度取g＝10 m/s2，物块始终未从木板上滑落，不计空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A.F1＝16 N B.F2＝20 N C.木板加速度所能达到的最大值为2.5 m/s2 D.在t1～t2时间段内物块做匀加速直线运动 答案：B 解析：木板与地面间的最大静摩擦力f1＝μ1（m1＋m2）g＝0.2×（3＋2）×10 N＝10 N，木板与物块间的最大静摩擦力f2＝μ2m2g＝0.8×2×10 N＝16 N，当拉力F逐渐增大到F1时，由图像可知木板开始运动，此时木板与地面间的静摩擦力达到最大值，根据平衡条件可知此时拉力大小为F1＝10 N，故A错误；当拉力达到F2时，木板相对物块发生相对滑动，根据牛顿第二定律，对木板，有f2－f1＝m1a，对物块，有F2－f2＝m2a，联立解得F2＝20 N，a＝2 m/s2，此时拉力大小为20 N，木板加速度所能达到的最大值为2 m/s2，故B正确，C错误；在t1～t2时间段内物块相对木板静止，物块所受拉力逐渐增大，物块运动的加速度在变大，不做匀加速直线运动，故D错误。 9.（2025·北京通州一模）车厢顶部固定一滑轮，在跨过定滑轮轻绳的两端各系一个物体，质量分别为m1、m2，如图所示。车厢向右运动时，系m1的轻绳与竖直方向夹角为θ，系m2的轻绳保持竖直，m1、m2与车厢保持相对静止。已知m2＞m1，轻绳的质量、滑轮与轻绳的摩擦忽略不计，下列说法正确的是（　　） A.车厢的加速度为0 B.绳子的拉力大小为m1gcos θ C.车厢底板对m2的支持力为g D.车厢底板对m2的摩擦力为m2gtan θ 答案 D 解析：　物体m1与车厢具有相同的加速度，对物体m1分析，受重力和拉力，根据力的合成法则可知F合＝m1gtan θ，拉力为T＝，物体m1的加速度为a＝＝gtan θ，所以车厢的加速度为gtan θ，故A、B错误；物体m2加速度为gtan θ，对物体m2受力分析，受重力、支持力、拉力和摩擦力，支持力为N＝m2g－，摩擦力为f＝m2a＝m2gtan θ，故C错误，D正确。 10.（2025·湖南岳阳一模）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，则（　　） A.系统静止时，a线所受的拉力大小为12 N B.系统静止时，b线所受的拉力大小为8 N C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D.当系统沿水平方向向右匀加速时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 答案 BC 解析：　小球受力分析如图所示。系统静止时，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fa·cos 37°＝Fb，解得Fa＝10 N，Fb＝8 N，故A错误，B正确；当系统沿竖直方向向上匀加速运动时，当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fm·sin 37°－mg＝ma，水平方向有Fm·cos 37°＝Fb，解得Fb＝12 N＜15 N，此时加速度有最大值a＝5 m/s2，故C正确；系统沿水平方向向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fb－Fa·cos 37°＝ma，解得Fa＝10 N，当Fb＝15 N时，加速度最大为a≈11.67 m/s2，故D错误。 11.（2025·湖南娄底二模）如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝6 kg，mB＝4 kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA，FB大小随时间变化的规律分别如图甲、乙所示，则（　　） A.t＝0时，A物体的加速度为2 m/s2 B.t＝1 s时，A、B开始分离 C.t＝0时，A、B之间的相互作用力为3 N D.A、B开始分离时的速度为3 m/s 答案 B 解析：　由FA-t与FB-t图像可得FA＝（8－2t）N，FB＝（2＋2t）N，则t＝0时，可知FA0＝8 N，FB0＝2 N，由于mA＞mB，所以二者不会分开，A、B两物体共同的加速度为a＝＝1 m/s2，设此时A、B之间的相互作用力为F，对B，根据牛顿第二定律可得F＋FB0＝mBa，解得F＝2 N，故A、C错误；当二者之间的相互作用力恰好为零时开始分离，此时的加速度相同，则有＝，即 m/s2＝ m/s2，解得t＝1 s，开始分离时的速度为v＝at＝1 m/s，故B正确，D错误。 12.[2024安徽合肥一中校考/多选]上海科技馆的机器人，琴棋书画、跳舞、射箭、分拣包裹，无所不能，如图所示为机械手抓取、分拣橙子的照片，为便于研究，将机械手简化为只有四根“手指”有作用力的模型，抓取点对称分布在球心上方的同一水平面内，抓取点与球心的连线与该水平面夹角为α，“手指”与橙子间的动摩擦因数为μ，橙子的重力大小为G，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　BC　） A.只要“手指”对橙子的压力足够大，α不论取何值都能将橙子抓起 B.若μ与α的关系满足μ＞tanα，则不一定能将橙子抓起 C.若能抓起橙子，则每根“手指”对橙子压力的最小值为 D.若抓起橙子竖直向上做匀加速运动，则每根“手指”对橙子的压力一定变大 答案 BC 解析　对橙子受力分析，可知竖直方向满足4f cos α－G－4FN sin α＝0，因为静摩 擦力f≤μFN，解得FN≥，所以想要抓起橙子，则每根“手指”对橙子压 力的最小值为，并且夹角α满足μ≥tan α＋时，才能将橙子抓起， 所以μ＞tan α时，不一定能将橙子抓起，故A错误，B、C正确；若抓起橙子竖直向 上做匀加速运动，且恰好达到最大静摩擦力时，满足4μFN cos α－4FN sin α－G＝ ma，可得FN＝，根据牛顿第三定律可知，每根“手指”对橙子的压力 可能不变，故D错误. 13.（2025·山东烟台模拟）如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一幼儿用与水平面成30°角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力F＝6.5 N，玩具的质量m＝1 kg。经过时间t＝2.0 s，玩具移动的距离x＝2 m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下（取g＝10 m/s2）。求： （1）玩具与地面间的动摩擦因数； （2）松开手后，玩具还能滑行多远？ （3）幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面间的夹角为多大时最省力？ 答案：（1）　 （2）1.04 m　 （3）30° 解析：（1）玩具沿水平地面做初速度为0的匀加速直线运动，由位移公式有x＝at2 解得a＝ m/s2 对玩具受力分析，如图所示，则FN＝mg－Fsin 30° 由牛顿第二定律得Fcos 30°－μ（mg－Fsin 30°）＝ma 解得μ＝。 （2）松开手时，玩具的速度v＝at＝2 m/s 松开手后，由牛顿第二定律得μmg＝ma' 解得a'＝ m/s2 由匀变速直线运动的速度与位移公式可得 玩具的位移x'＝＝ m≈1.04 m。 （3）设拉力F与水平方向间的夹角为θ，玩具要在水平面上运动，则Fcos θ－Ff＞0 Ff＝μFN 在竖直方向上，由平衡条件得FN＋Fsin θ＝mg 联立解得F＞ cos θ＋μsin θ＝sin（60°＋θ） 则当θ＝30°时，拉力最小，最省力。 14.（2025·江苏扬州市期中）如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M＝8 kg，重物质量m＝2 kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2。 （1）要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？ （2）若木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，用F＝80 N的水平拉力将木箱由静止向左拉动位移x＝0.5 m时，求重物的速度大小v。 答案：（1）μ≥0.5　 （2） m/s 解析：（1）对重物受力分析，根据平衡条件可得FT＝mg＝20 N 对木箱受力分析，可得Ff＝2FT，又Ff＝μ'Mg 联立解得μ'＝0.5，要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足μ≥0.5。 （2）设木箱的加速度大小为a，则重物加速度大小为2a，对重物受力分析，根据牛顿第二定律可得FT－mg＝2ma 对木箱受力分析，有F－μMg－2FT＝Ma 联立解得a＝0.5 m/s2 当拉动木箱向左匀加速运动的位移为x＝0.5 m时，重物向上的位移为 h＝2x＝1 m，由v2＝2×2a·h 可得此时重物的速度大小为v＝ m/s。 15. 如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g。 （1）求小木块与木板间的动摩擦因数； （2）当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小？求出此最小值。 答案：（1）　 （2）60°　 解析：（1）当θ＝30°时，小木块处于平衡状态，对小木块受力分析，则有mgsin θ＝μFN FN－mgcos θ＝0 联立解得μ＝tan θ＝tan 30°＝。 （2）当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，小木块的加速度为a，由牛顿第二定律得 －mgsin θ－μmgcos θ＝ma 由0－＝2ax得 x＝＝ 其中tan α＝μ，故α＝30° 当α＋θ＝90°时x最小，此时θ＝60° 所以x的最小值为 xmin＝＝。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考重点考点解读与针对性训练 第三章 运动和力的关系 考点18 动力学中的临界极值问题 【考点解读】 1.常见的动力学临界极值问题及其条件 （1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。 （2）相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 （3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。 （4）最终速度（收尾速度）的临界条件：物体所受合外力为零。 2.动力学临界极值问题的三种解法 极限法 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 函数法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 【高考真题】 【典例1】. （2023高考湖南卷）如图，光滑水平地面上有一质量为的小车在水平推力的作用下加速运动。车厢内有质量均为的A、B两小球，两球用轻杆相连，A球靠在光滑左壁上，B球处在车厢水平底面上，且与底面的动摩擦因数为，杆与竖直方向的夹角为，杆与车厢始终保持相对静止假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ） A. 若B球受到的摩擦力为零，则 B. 若推力向左，且，则的最大值为 C. 若推力向左，且，则的最大值为 D. 若推力向右，且，则的范围为 【典例2】（2022新高考江苏卷第1题）高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度．若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过（　　） A. B. C. D. 【典例3】（2022年高考全国理综甲卷第19题）如图，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前（ ） A．P的加速度大小的最大值为 B．Q的加速度大小的最大值为 C．P的位移大小一定大于Q的位移大小 D．P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小 【典例4】（2022年6月浙江选考）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度l1=4m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为 ，货物可视为质点（取cos24°=0.9，sin24°=0.4）。 第19题图 （1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小； （2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小； （3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度l2。 【针对性训练】 1.（2025·广西玉林模拟）如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一根竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一个质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g取10 m/s2。以下结论正确的是（　　） A.变力F的最小值为2 N B.变力F的最小值为6 N C.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s 2. 如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离。下列说法正确的是（　　） A.B和A刚分离时，弹簧长度等于原长 B.B和A刚分离时，它们的加速度为g C.弹簧的劲度系数等于 D.在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动 3.（2025·湖南岳阳一模）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，则（　　） A.系统静止时，a线所受的拉力大小为12 N B.系统静止时，b线所受的拉力大小为8 N C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D.当系统沿水平方向向右匀加速时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 4. 如图所示，A、B两物块叠放在一起静止在水平地面上，A物块的质量mA＝2 kg，B物块的质量mB＝3 kg，A与B接触面间的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，现对A或对B施加一水平外力F，使A、B相对静止一起沿水平地面运动，重力加速度g取10 m/s2，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A.若外力F作用到物块A上，则其最小值为8 N B.若外力F作用到物块A上，则其最大值为10 N C.若外力F作用到物块B上，则其最小值为13 N D.若外力F作用到物块B上，则其最大值为25 N 5 . 在光滑水平地面上放置一足够长的质量为M的木板B，如图甲所示，其上表面粗糙，在木板B上面放置一个质量为m、可视为质点的物块A，现在给A一个水平向左的拉力F，用传感器得到A的加速度随拉力F的变化关系如图乙所示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10m/s2，则（　　） A.物块A的质量为m＝1kg B.木板B的质量为M＝3kg C.A与B之间的最大静摩擦力为fmax＝3N D.当A的加速度为2m/s2时，拉力F＝4N 6 . 如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为m的物体A、B（B与弹簧连接，A、B均可视为质点），弹簧的劲度系数为k，初始时物体处于静止状态.现用竖直向上的拉力F作用在A上，使A开始向上做加速度大小为a的匀加速运动，测得A、B的v－t图像如图乙所示，已知重力加速度大小为g，则（　　） A.施加力F前，弹簧的形变量为 B.施加力F的瞬间，A、B间的弹力大小为m（g＋a） C.A、B在t1时刻分离，此时弹簧弹力等于B的重力 D.上升过程中，B速度最大时，A、B间的距离为－ 7. [2023山东济南学情检测/多选]如图所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为0.3kg的物块从弹簧上端某高度处自由下落，当弹簧的压缩量为0.1m时物块达到最大速度，此后物块继续向下运动到达最低点.在以上整个运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，物块和弹簧接触瞬间机械能损失不计，不计空气阻力，取g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，物块的速度先增大后减小 B.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，物块的速度一直减小 C.该弹簧的劲度系数为20N/m D.弹簧压缩量为0.2m时，物块的加速度大小为10m/s2 8 （2025·陕西商洛模拟）水平地面上有一质量m1＝3 kg的长木板，木板的左端上表面有一质量m2＝2 kg的小物块，如图甲所示，水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图乙所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小，木板的加速度a1随时间t的变化关系如图丙所示。已知木板与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，物块与木板间的动摩擦因数为μ2＝0.8。假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度取g＝10 m/s2，物块始终未从木板上滑落，不计空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A.F1＝16 N B.F2＝20 N C.木板加速度所能达到的最大值为2.5 m/s2 D.在t1～t2时间段内物块做匀加速直线运动 9.（2025·北京通州一模）车厢顶部固定一滑轮，在跨过定滑轮轻绳的两端各系一个物体，质量分别为m1、m2，如图所示。车厢向右运动时，系m1的轻绳与竖直方向夹角为θ，系m2的轻绳保持竖直，m1、m2与车厢保持相对静止。已知m2＞m1，轻绳的质量、滑轮与轻绳的摩擦忽略不计，下列说法正确的是（　　） A.车厢的加速度为0 B.绳子的拉力大小为m1gcos θ C.车厢底板对m2的支持力为g D.车厢底板对m2的摩擦力为m2gtan θ 10.（2025·湖南岳阳一模）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，则（　　） A.系统静止时，a线所受的拉力大小为12 N B.系统静止时，b线所受的拉力大小为8 N C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D.当系统沿水平方向向右匀加速时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 11.（2025·湖南娄底二模）如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝6 kg，mB＝4 kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA，FB大小随时间变化的规律分别如图甲、乙所示，则（　　） A.t＝0时，A物体的加速度为2 m/s2 B.t＝1 s时，A、B开始分离 C.t＝0时，A、B之间的相互作用力为3 N D.A、B开始分离时的速度为3 m/s 12.[2024安徽合肥一中校考/多选]上海科技馆的机器人，琴棋书画、跳舞、射箭、分拣包裹，无所不能，如图所示为机械手抓取、分拣橙子的照片，为便于研究，将机械手简化为只有四根“手指”有作用力的模型，抓取点对称分布在球心上方的同一水平面内，抓取点与球心的连线与该水平面夹角为α，“手指”与橙子间的动摩擦因数为μ，橙子的重力大小为G，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A.只要“手指”对橙子的压力足够大，α不论取何值都能将橙子抓起 B.若μ与α的关系满足μ＞tanα，则不一定能将橙子抓起 C.若能抓起橙子，则每根“手指”对橙子压力的最小值为 D.若抓起橙子竖直向上做匀加速运动，则每根“手指”对橙子的压力一定变大 13.（2025·山东烟台模拟）如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一幼儿用与水平面成30°角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力F＝6.5 N，玩具的质量m＝1 kg。经过时间t＝2.0 s，玩具移动的距离x＝2 m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下（取g＝10 m/s2）。求： （1）玩具与地面间的动摩擦因数； （2）松开手后，玩具还能滑行多远？ （3）幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面间的夹角为多大时最省力？ 14.（2025·江苏扬州市期中）如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M＝8 kg，重物质量m＝2 kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2。 （1）要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？ （2）若木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，用F＝80 N的水平拉力将木箱由静止向左拉动位移x＝0.5 m时，求重物的速度大小v。 15. 如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g。 （1）求小木块与木板间的动摩擦因数； （2）当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小？求出此最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $