2.1等式性质与不等式性质 第1课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕不等式概念、符号语言转化、实际问题表示、作差比较法及重要不等式展开，从定义与不等号含义导入，通过思考问题、文字符号对照表搭建支架，衔接实际应用题与比较大小推理，形成从概念到应用的学习脉络。 其亮点在于结合赵爽弦图探究不等关系培养数学眼光，用作差法推理比较大小发展数学思维，实际问题符号转化强化数学语言。小结归纳思想方法，学生提升应用与推理能力，教师教学有清晰实例和方法支撑。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式的性质（第1课时） 数学 学习目标 ①理解各个不等符号的含义. ②会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． ③会用比较法(作差法)比较两实数（式）的大小． ④会用作差法证明不等式. 学习重难点 重点： 应用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,比较两实数(式)的大小. 难点： 准确地应用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,应用作差法比较两实数(式)大小过程中的变形. 学校购买了一些气球来布置会场,购买的气球有红、黄、蓝、绿四种颜色,红色多于蓝色,蓝色多于绿色,绿色多于黄色,黄色的两倍多于红色.会议结束后,学校把气球分给了学生,女生每人最多分到两个气球,男生每人分到一个气球,同学们高兴极了! 合作探究　 (1)你能发现什么问题? (2)现实生活中哪些字眼或词语蕴含着相等和不等关系? (3)如何表示这些相等和不等关系? 课堂导入 尝试解决 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1)某路段限速40 km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 课堂探究 解 对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”就是v的大小不能超过40，于是0<v≤40. 对于(2)，由题意,得 对于(3)，设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b>c，a-b<c. 对于(4)，如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE. 课堂探究 1.不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式. [讲授新课] 2.不等式a≤b和a≥b的含义 (1)不等式a≤b读作“a小于或等于b”，其含义是指“a<b，或者a=b”，等价于“a不大于b”，即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. (2)不等式a≥b应读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b，或者a=b”，等价于“a不小于b”，即若a>b与a=b之中有一个正确，则a≥b正确. 思考　5≥3,2≥2,2≤2这三个命题都是真命题吗? 提示　这三个命题都是真命题. 课堂探究 3、不等式与不等关系中常见文字语言与符号语言的转化 文字语言 符号语言 大于，高于，超过 > 小于，低于，少于 < 大于或等于，至少，不低于 ≥ 小于或等于，至多，不超过 ≤ 不等，不一样 ≠ 课堂探究 例1　(1)某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示就是(　　) A.　　　　B.C. D. D (2)某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2 000本.若把提价后每本杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢? 解 提价后销售的总收入为(8-×0.2)x万元, 那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示的不等式为(8-×0.2)x≥20. 课堂探究 【规律总结】用不等式（组）表示不等关系的解题方法： （1）要先读懂题，设出未知量； （2）抓关键词，找到不等关系； （3）用不等式（组）表示不等关系. 注意：在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一要注意不等符号文字语言与符号语言的正确转化，特别注意不等关系中等号是否成立；二要注意单位的统一． 课堂探究 合作探究　 (1)我们知道,数轴上的点与实数一一对应,那么可以利用数轴上点的位置关系来比较其对应实数的大小吗?(2)如何比较两个实数的大小? 因为数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右边时,a>b. 课堂探究 关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数,那么a<b.反过来也对. 这个基本事实可以表示为 a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0. 课堂探究 例2　比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 解 因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0, 所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 课堂探究 变式训练1　比较2(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 解 因为2(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=x2+5x+8=>0, 所以2(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 变式训练2　当x>1时,比较(x+2)(x+3)和2x+4的大小. 解 (x+2)(x+3)-(2x+4)=x2+3x+2=(x+1)·(x+2), 因为x>1, 所以(x+1)(x+2)>0,所以(x+2)(x+3)>2x+4. 课堂探究 例3　下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,该图案是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出相等关系和不等关系吗? 能用等式或不等式表示你找出的相等关系和不等关系,并证明其成立吗? 课堂探究 设图中直角三角形的两条直角边的长为a,b. 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab, 当且仅当a=b时,等号成立. 证明 a2+b2-2ab=(a-b)2. 因为∀a,b∈R,(a-b)2≥0,当且仅当a=b时,等号成立,所以a2+b2-2ab≥0. 因此,由两个实数大小关系的基本事实,得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 课堂探究 1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (2)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(　　) (3)不等式5≥3是正确的.(　　) √ √ √ 2.雷电的温度大约是28 000 ℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.如果太阳表面温度为t ℃,那么t应满足的关系式是　　　　　.  4.5t<28 000 课堂探究 3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形.从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出来(　　) A.(a2+b2)>ab　　　　　B.(a2+b2)<ab C.(a2+b2)≥ab D.(a2+b2)≤ab A 课堂探究 4.若M=a2,N=-a-1,则M,N的大小关系为　　　　　.  M >N 5.若x∈R,试比较3x2+6x与4x2-2x+16的大小. 解 因为(3x2+6x)-(4x2-2x+16)=-x2+8x-16=-(x-4)2≤0, 当且仅当x=4时,等号成立, 所以3x2+6x≤4x2-2x+16. 课堂探究 6.若x∈R,试比较a=与b=的大小关系. 解 因为a-b=≥0,当且仅当x=1时,等号成立. 所以a≥b. 7.已知a=x2+2,b=2x,求证:a>b. 证明 因为a-b=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以a>b,得证. 课堂探究 1、基础知识归纳 （1）不等式的概念及各不等号的含义； （2）用不等式（组）表示不等关系； （3）应用比较两实数大小的基本事实比较数或式的大小. 2、思想方法总结：数形结合思想、作差法 3、误区警示：忽视不等式中等号成立的条件；作差法中变形不彻底. 总结归纳 课堂探究 认真整理本节所讲，梳理知识脉络，完成学案的课后练习案； 预习不等式的性质. 布置作业 谢谢大家 $