专题06 一次函数与反比例函数（宁夏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 一次函数与反比例函数 考点1 一次函数的性质 1．（2021•宁夏）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝kx+b经过哪几个象限． 【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0， ∴k＞0，b＞0， ∴直线y＝kx+b经过第一、二、三象限， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是求出k、b的正负． 2．（2022•宁夏）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 　 　 ． 【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△O'A'B'，根据平移的性质即可得出点B与其对应点间的距离． 【解答】解：当y＝2x﹣3＝3时，x＝3， ∴点E的坐标为（3，3）， ∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE， ∴点A与其对应点间的距离为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的坐标是解题的关键． 3．（2025•宁夏）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　 　 ． 【分析】依据题意，可得关于x，y的方程组的解即为直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的交点A（4，6）的坐标． 【解答】解：由图象知直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2相交于点A（4，6）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力． 考点2 一次函数与方程、不等式的关系 1.（2023•宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为 【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【解答】解：A：由图象得y1随x的增大而增大， 故A正确的； B：由图象得：n＞b， 故B是正确的； C：由图象得：当x＜2时，y1＜y2， 故C是错误的； D：由图象得：的解为：， 故D是正确的； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 考点3 一次函数的综合题 1．（2021•宁夏）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB． （1）求k的值； （2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒． ①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？ 【分析】（1）先由直线y＝kx+3求出它与y轴的交点B的坐标，然后在Rt△AOB中根据sin∠OAB和勾股定理求出AB、OA的长，得到点A的坐标，将其代入y＝kx+3求出k的值； （2）①当点E与点B重合时，OD，在OA上取一点F（，0），连接BF，通过计算证明DE∥BF或与BF重合，说明DE不与OB平行； ②按点E在OB上和点E在AB上分类讨论，求出S关于t的函数关系式，再利用一次函数和二次函数的性质求出S的最大值． 【解答】解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， ∴OB＝3， ∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB， ∴， ∵ABOB3＝5， ∴OA4， ∴A（4，0）， 把A（4，0）代入y＝kx+3得0＝4k+3， 解得k． （2）①不存在，理由如下： 在OA上取一点F（，0），连接BF， 当0＜t时，如图1，OD＝t，OE＝2t， ∵，， ∴， ∵∠DOE＝∠FOB， ∴△ODE∽△OFB， ∴∠ODE＝∠OFB， ∴DE∥BF， 当t时，DE与BF重合， ∴当0＜t时，不存在DE∥OB； 当t＜4时，如图2，AF＝4，AD＝4﹣t，AE＝8﹣2t， ∵，， ∴， 同理可证DE∥BF， ∴此时不存在DE∥OB， 综上所述，不存在DE∥OB． ②当0＜t时，如图1，S△OEDOD•OEt×2t＝t2， ∴S＝t2， ∵a＝1＞0， ∴S随t的增大而增大， ∴当t时，S最大＝（）2； 当t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO， ∴△AGE∽△AOB， ∴， ∴GE•AE（8﹣2t）， ∴S△OEDOD•GEt（8﹣2t）t2t， ∴St2t， ∵St2t（t﹣2）2，且0，2＜4， ∴当t＝2时，S最大， ∵， ∴当t＝2时，S的最大值为， 综上所述，S，当t＝2时，S的最大值为． 【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的性质、动点问题的求解等知识与方法，在解第（2）题和第（3）题时，应按t的取值范围进行分类讨论，此题难度较大，属于考试压轴题． 考点4 一次函数与反比例函数的交点 1.（2021•宁夏）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3），过点C（0，2）的直线l∥x轴，分别交AO、AB于D、E两点．反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与线段AB相交于点M，将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求点M的坐标．（结果保留根号） 【分析】（1）根据成轴对称的点的坐标变化特点求得点H坐标，然后利用待定系数法求函数解析式； （2）结合等腰三角形的性质求得B点坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的函数解析式，然后联立方程组求两函数图象的交点坐标． 【解答】解：（1）∵将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上，且过点C（0，2）的直线l∥x轴， ∴点A与点H关于直线y＝2对称， 又∵点A的坐标为（1，3）， ∴H点坐标为（1，1）， 将H（1，1）代入y中， 1，解得：k＝1， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3）， ∴B点坐标为（2，0）， 设直线AB的函数解析式为y＝mx+n， 把（1，3），（2，0）代入，可得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+6， 联立方程组， 解得：，， ∵点M在线段AB上， ∴M点的横坐标大于1， ∴M点坐标为（，3）． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，理解反比例函数和一次函数的图象上点的坐标特征，掌握等腰三角形的性质，利用数形结合思想解题是关键． 8．（2022•宁夏）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象相交于点A，OB＝1，tan∠OBC＝2，BC：CA＝1：2． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标． 【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC长，过点A作AF⊥x轴于点F，则△ACF∽△BCO，由相似比可得出CF和AF的长，进而可得出点A的坐标，代入反比例函数可得出m的值，进而可得结论； （2）由（1）可得直线AB的解析式．设点D的横坐标为t，由此可表达点D，E的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE的面积，根据二次函数的性质可得结论． 【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F， ∴AF∥y轴， ∴△ACF∽△BCO， ∴BC：AC＝OB：AF＝OC：CF＝1：2． ∵OB＝1，tan∠OBC＝2， ∴OC＝2， ∴AF＝2，CF＝4， ∴OF＝OC+CF＝6， ∴A（6，2）． ∵点A在反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象上， ∴m＝2×6＝12． ∴反比例函数的表达式为：y（x＞0）． （2）由题意可知，B（0，﹣1）， ∴直线AB的解析式为：yx﹣1． 设点D的横坐标为t， 则D（t，t﹣1），E（t，）． ∴EDt+1． ∴△BDE的面积为： （t﹣0）（t+1） t2t+6 （t﹣1）2． ∵0， ∴t＝1时，△BDE的面积的最大值为，此时D（1，）． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，得出△BDE与t函数关系式是解题的关键． 3.（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得IV（为常数），即可得到答案． 【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数）， 由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数）， ∴， ∴IV（为常数）， ∴I与V的函数关系是正比例函数， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念． 考点5 反比例函数系数k的几何意义 （2025•宁夏）函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC＝3BC，则的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【分析】连接OA、OB，由AC＝3BC、AB∥y轴得到S△OAC＝3S△OBC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OAC，继而求出S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【解答】解：如图，连接OA、OB， 由条件可知OC⊥AB， ∴S△OAC＝3S△OBC． 由条件可知， ∴， ∴且k2＜0， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．熟练掌握该知识点是关键． 考点6 反比例函数的综合题 1.（2023•宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式Vπr3，π取3）； （2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【分析】（1）设函数关系式为p，用待定系数法可得，即可得当p＝150时，，从而求出r＝0.2； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【解答】解：（1）设函数关系式为p， 根据图象可得：k＝pV＝120×0.04＝4.8， ∴， ∴当p＝150时，， ∴3r3＝0.032， 解得：r＝0.2， ∵k＝4.8＞0， ∴p随V的增大而减小， ∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2， ∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式． 2．（2024•宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x+1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 … … ﹣1 ﹣2 2 1 … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 　 　 平移 　 　 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 　 　 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 　 　 ，再 　 　 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 　 　 ． 【分析】【动手操作】列表，描点、连线画出函数的图象即可； 【探究发现】结合图象填空即可； 【应用延伸】根据发现的规律填空即可． 【解答】解：【动手操作】 列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 … y … 1 ﹣2 1 … 描点、连线画出函数图象如图示： 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向左平移 1个单位长度得到函数的图象． 故答案为：左，1； （2）上述探究方法运用的数学思想是B． 故答案为：B； 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先右平移2个单位长度，再向下平移1个得到函数的图象． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度； （2）函数图象的对称中心的坐标为（2，﹣1）． 故答案为（2，﹣1）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 1．（2022春•宁夏铁东区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D．点C的横坐标为4，点D在线段OA上，且AD＝7． （1）C、D两点的坐标分别为 　 　 ； （2）求直线CD的函数解析式； （3）在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C，A的坐标，结合点D在线段OA上，且AD＝7，即可得出点D的坐标； （2）根据点C，D的坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的函数解析式； （3）存在，设点F的坐标为（m，n），分CD为对角线，AC为对角线及AD为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点F的坐标． 【解答】解：（1）当x＝4时，y＝﹣1×4+8＝4， ∴点C的坐标为（4，4）； 当y＝0时，﹣x+8＝0， 解得：x＝8， ∴点A的坐标为（8，0）． ∵点D在线段OA上，且AD＝7， ∴OD＝8﹣7＝1， ∴点D的坐标为（1，0）． 故答案为：（4，4），（1，0）． （2）设直线CD的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点C（4，4），D（1，0）代入y＝kx+b， 得：，解得：， ∴直线CD的函数解析式为yx． （3）存在，设点F的坐标为（m，n），分三种情况考虑： ①当CD为对角线时，记为点F1， ∵四边形ACF1D为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点F1的坐标为（﹣3，4）； ②当AC为对角线时，记为点F2， ∵四边形AF2CD为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点F2的坐标为（11，4）； ③当AD为对角线时，记为点F3， ∵四边形ACDF3为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点F3的坐标为（5，﹣4）． ∴在坐标平面内存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为（﹣3，4）或（11，4）或（5，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点C，A的坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分CD为对角线，AC为对角线及AD为对角线三种情况，求出点F的坐标． 2．（2025•宁夏利通区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）． （1）求k、m的值； （2）已知点P在直线y＝x（x＞0）上运动，设P点坐标为（n，n），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数（x＞0）的图象于点N． ①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值． （2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系； ②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围． 【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2， ∴m＝3﹣2＝1， ∴A（3，1）， 将A（3，1）代入y， ∴k＝3×1＝3， （2）①当n＝1时，P（1，1）， 令y＝1，代入y＝x﹣2， x﹣2＝1， ∴x＝3， ∴M（3，1）， ∴PM＝2， 令x＝1代入y， ∴y＝3， ∴N（1，3）， ∴PN＝2 ∴PM＝PN， ②P（n，n），n＞0 点P在直线y＝x上， 过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M， M（n+2，n）， ∴PM＝2， ∵PN≥PM， 即PN≥2， ∵PN＝|n|， |n|≥2 ∴0＜n≤1或n≥3． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型． 3．（2025•宁夏兴庆区校级四模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】 （1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为　 　 ，点Q的纵坐标为　 　 ；（用x的代数式表示） 若设PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　 　 （1≤x≤9）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图象： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，发现：当x＝　 　 时，y的最大值为　 　 ． 【迁移应用】连接OP、OQ（请自行完成作图），探究：△PQO的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 【分析】【探索发现】 （1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式； （2）通过描点、连线，观察图象可得答案； 【迁移应用】 根据三角形面积公式得出S△POQx（﹣x+10）x2+5x（x﹣5）2+8，然后由函数的性质求出最大值． 【解答】解：【探索发现】 （1）∵点P的横坐标为x， ∴P（x，﹣x+10），Q（x，）， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+10， 故答案为：﹣x+10，，y＝﹣x+10； （2）描点，连线，画出函数图象： 观察函数图象，当x＝3时，y有最大值为4， 故答案为：3，4； 【迁移应用】 △PQO的面积存在最大值，理由： S△POQx（﹣x+10）x2+5x（x﹣5）2+8， ∵0，1≤x≤9， ∴当x＝5时S△POQ最大，最大值为8， ∴当x＝5时，△PQO的面积最大值为8． 【点评】本题是反比例函数与一次函数综合题以及动点问题的函数图象，主要考查了函数的图象与性质，函数图象的画法等知识，利用数形结合思想是解题的关键． 4．（2025•宁夏一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A，B的坐标分别为（1，4）和（﹣2，n）． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）求△AOB的面积； （4）若点E在反比例函数图象上且∠CAE＝90°，则点E的坐标为 　 　 ． 【分析】（1）把A（1，4）分别代入y＝2x+m和y，解之即可得出结论； （2）把（﹣2，n）代入y＝2x+2得n＝2×（﹣2）+2＝﹣2，所以B（﹣2，﹣2），由数形结合即可得出结论； （3）根据题意和（1）（2）得到点D（0，2），A（1，4），B（﹣2，﹣2），利用三角形面积公式计算即可； （4）由直线ABy＝2x+2与x轴交于点C，求得C（﹣1，0），如图，过点A作AM⊥x轴于点M，得到AC＝2，设点E使得∠CAE＝45°，延长AE交x轴于点F，过点F作FN⊥AC于点N，根据相似三角形的性质得到AM：CM＝FN：CN＝2：1，即FN＝2CN，求得CN，NF，得到CFCN，即F（，0），待定系数法求得直线AF的解析式为y＝﹣3x+7，解方程得到E（，3）；如图，过点A作AG⊥AF与反比函数交于一点E′，求得直线AG的解析式为yx，解方程得到E′（﹣12，）． 【解答】解：（1）把A（1，4）分别代入y＝2x+m和y得，4＝2+m，4， ∴m＝2，k＝4， ∴直线AB的解析式为y＝2x+2，反比例函数的解析式为y； （2）把（﹣2，n）代入y＝2x+2得n＝2×（﹣2）+2＝﹣2， ∴B（﹣2，﹣2）， ∴不等式2x+m的解为x＜﹣2或0＜x＜1； （3）如图，设直线AB交y轴交于点D 当x＝0时，y＝2x+2＝2， ∴D（0，2）， ∵A（1，4），B（﹣2，﹣2）， ∴S△AOB＝S△OBD+S△AOD2×22×1＝3； （4）∵直线ABy＝2x+2与x轴交于点C， ∴C（﹣1，0）， 如图，过点A作AM⊥x轴于点M， ∴AM＝4，CM＝2，∠AMC＝90°， ∴AC＝2， 设点E使得∠CAE＝45°，延长AE交x轴于点F，过点F作FN⊥AC于点N， ∴∠CNF＝∠AMC＝90°， ∵∠ACM＝∠FCN， ∴△ACM∽△FCN， ∴AM：CM＝FN：CN＝2：1，即FN＝2CN， ∵∠CAE＝45°， ∴∠AFN＝∠CAE＝45°， ∴AN＝NF＝2CN， ∵AN+CN＝AC， ∴2CN+CN＝2， ∴CN，NF， ∴CFCN， ∴OF，即F（，0）， 设直线AF的解析式为：y＝k′x+b， ∴， 解得， ∴直线AF的解析式为：y＝﹣3x+7， 令3x+7，解得x＝1（舍）或x， ∴E（，3）； 如图，过点A作AG⊥AF与反比函数交于一点E′， ∴直线AG的解析式为：yx， 令x， 解得x＝1或x＝﹣12， ∴E′（﹣12，）． 综上，符合题意的点E的坐标为E（，3）或（﹣12，）， 故答案为：（，3）或（﹣12，）． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 5．（2025•宁夏中宁县模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝13，则k＝　 　 ． B．只有主视图和俯视图不变 C．只有左视图和俯视图不变 D．都不变 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于A、B两点，得出A，B两点的坐标关于原点对称，过点A作AD⊥CO于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【解答】解：如图： 由题意可得：A，B两点的坐标关于原点对称， ∵，，S△ABC＝13， ∴， ∵AC＝AO， ∴△AOC是等腰三角形， 过点A作AD⊥CO于点D，根据等腰三角形的三线合一可得CD＝OD， ∴， ∴， ∵反比例函数的图形位于二、四象限， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义． 6．（2025•宁夏金凤区模拟）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整： （1）类比反比例函数可知，函数y2的自变量x的取值范围是 　 　 ，这个函数值y的取值范围是 　 　 ． （2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|2|的图象和性质，请根据函数y2的图象，画出函数y＝|2|的图象； （3）结合函数y＝|2|的图象解答下列问题： ①求出方程|2|＝0的根； ②如果方程|2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）根据函数本身的性质，分母不为零可得出x的取值范围；进而可求出y的取值范围； （2）根据函数的平移可知，函数y2可看作反比例函数y的图象向左平移3个单位，再向下移动2个单位得到；函数y＝|2|的图象即y2的图象，x轴下方的图象关于x对称后得到的图象； （3）①由（2）中的函数图象可得出方程|2|＝0的根； ②方程|2|＝a根的个数情况，可看作函数y＝|2|与y＝a的交点的个数问题，由图象可得出结果． 【解答】解：（1）y2的自变量x的取值范围是x≠﹣3，这个函数值y的取值范围是y≠﹣2， 故答案为：x≠﹣3；y≠﹣2． （2）函数y＝|2|的图象，如图所示： （3）①方程|2|＝0该方程的根是x＝3； ②如果方程|2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2． 【点评】本题主要考查函数图象的应用，涉及函数的平移，数形结合思想等内容，熟知函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”由反比例函数得出给出题干中函数图象是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数与反比例函数 考点1 一次函数的性质 1．（2021•宁夏）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2022•宁夏）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 　 　 ． 3．（2025•宁夏）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　 　 ． 考点2 一次函数与方程、不等式的关系 1.（2023•宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为 考点3 一次函数的综合题 1．（2021•宁夏）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB． （1）求k的值； （2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒． ①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？ 考点4 一次函数与反比例函数的交点 1.（2021•宁夏）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3），过点C（0，2）的直线l∥x轴，分别交AO、AB于D、E两点．反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与线段AB相交于点M，将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求点M的坐标．（结果保留根号） 8．（2022•宁夏）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象相交于点A，OB＝1，tan∠OBC＝2，BC：CA＝1：2． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标． 3.（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 考点5 反比例函数系数k的几何意义 （2025•宁夏）函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC＝3BC，则的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 考点6 反比例函数的综合题 1.（2023•宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式Vπr3，π取3）； （2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 2．（2024•宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x+1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 … … ﹣1 ﹣2 2 1 … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 　 　 平移 　 　 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 　 　 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 　 　 ，再 　 　 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 　 　 ． 1．（2022春•宁夏铁东区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D．点C的横坐标为4，点D在线段OA上，且AD＝7． （1）C、D两点的坐标分别为 　 　 ； （2）求直线CD的函数解析式； （3）在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025•利通区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）． （1）求k、m的值； （2）已知点P在直线y＝x（x＞0）上运动，设P点坐标为（n，n），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数（x＞0）的图象于点N． ①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 3．（2025•宁夏兴庆区校级四模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】 （1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为　 　 ，点Q的纵坐标为　 　 ；（用x的代数式表示） 若设PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　 　 （1≤x≤9）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图象： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，发现：当x＝　 　 时，y的最大值为　 　 ． 【迁移应用】连接OP、OQ（请自行完成作图），探究：△PQO的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 4．（2025•宁夏一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A，B的坐标分别为（1，4）和（﹣2，n）． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）求△AOB的面积； （4）若点E在反比例函数图象上且∠CAE＝90°，则点E的坐标为 　 　 ． 5．（2025•中宁县模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝13，则k＝　 　 ． B．只有主视图和俯视图不变 C．只有左视图和俯视图不变 D．都不变 6．（2025•宁夏金凤区模拟）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整： （1）类比反比例函数可知，函数y2的自变量x的取值范围是 　 　 ，这个函数值y的取值范围是 　 　 ． （2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|2|的图象和性质，请根据函数y2的图象，画出函数y＝|2|的图象； （3）结合函数y＝|2|的图象解答下列问题： ①求出方程|2|＝0的根； ②如果方程|2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $