专题04 二次函数与实际问题（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期人教版

专题04 二次函数与实际问题 3大高频考点概览 考点01 抛物线在体育运动中的运用 考点02 商品利润最值问题 考点03 其他问题 地 城 考点01 抛物线在体育运动中的运用 1．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 【答案】/8米 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 2．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 3．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； (3)小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）令得，解方程即可得解； （3）利用待定系数法先求得第二次弹起的抛物线，再求出时对应自变量的值即可求解． 【详解】（1）解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设． 代入，， 解得， ， （2）解：令，则 解得，（舍） ，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为． （3）解：乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为， 设． 代入， ． 解得，（舍） ． 当时，， 解得， 木板到斜坡底端的距离为的长度，当时，小强确保获胜． 4．(24-25九上·广西南宁青秀区凤岭北路中学·期中)如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； (3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 【答案】(1) (2)小丽的判断是正确的，计算过程见解析 (3)张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； （3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案． 【详解】（1）抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； （2）把代入抛物线解析式 得． ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的． （3）当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线解析式； （1）由题可得抛物线的顶点坐标为，经过，再根据抛物线的顶点式可设抛物线为，将代入计算，即可求解； （2）当时，求出球的高度，判断是否超过球门高度米，即可求解； 能根据题意找出顶点坐标，掌握抛物线的顶点式，理解、的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 抛物线的顶点坐标为，经过， 可设抛物线为， 把点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得 当时， ， 球不能射进球门． 6．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)掷实心球是钦州市中考体育科选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，实心球抛出时起点A处的高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据钦州市中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.11m，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)该女生在此项考试中得满分，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是求出函数解析式． （1）根据题意设y关于x的函数表达式为，把代入，求出a即可； （2）根据该同学投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】（1）由题意，得该抛物线的顶点坐标为． ∴设函数表达式为． ∵经过点， ∴． 解得． ∴． ∴y关于x的函数表达式为． （2）该女生在此项考试中得满分． 理由如下： ∵对于二次函数， 当时，有． ∴． 解得，． ∵ ∴该女生在此项考试中得满分． 7．(24-25九上·广西玉林北流·期中)2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 【答案】(1)①见解析；②；；③成功，理由见解析； (2) 【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可； （2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求；    ②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是； 设y与x满足的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴y与x满足的函数解析式为； ③成功，理由如下： 当时，， 解得：或1（舍去）， 即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为， ∴韩旭第一次投篮练习是成功； （2）解：把点代入得： ， 解得：， ∴此时y与x满足的函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∵， ∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． 地 城 考点02 商品利润最值问题 1．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品，并投放市场进行试销．经过调查，发现每天的销售量（件）与销售单价（元）存在一次函数关系． (1)销售单价定为多少时，该厂利润达到8000元． (2)设该产品的销售利润为元，如何定价才能获得最大利润？利润最大是多少元？ 【答案】(1)单价定为30或50元时，该厂利润达到8000元 (2)销售单价定为40元时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为9000元 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）结合题意，根据二次函数图象的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 根据题意得，， 解得， ∴销售单价定为30或50元时，该厂利润达到8000元； （2）解：设销售利润为w元， ， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：销售单价定为40元时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为9000元． 2．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)年月日，第届夏季奥林匹克运动会开幕式在法国巴黎举行．某奥林匹克专卖店推出了吉祥物“弗里热”玩偶．玩偶的进价是元/个，售价为元/个，平均每月售出个．经调查发现，玩偶的售价每降低元，则每月的销售量将增加个． (1)若某月“弗里热”玩偶的销售单价是元，求该月专卖店的销售量为多少个？ (2)设专卖店销售这种玩偶每月可获利元，当销售单价降低多少元时，每月可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)个 (2)当销售单价降低多少元时，每月可获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据“玩偶的售价每降低元，则每月的销售量将增加个”，列出算式，即可求解； （2）设这个月每件玩偶的销售单价降低元，根据题意列出与之间的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】（1）解：根据题意该月专卖店的销售量为：（个）． （2）解：设这个月每件玩偶的销售单价降低元，则售价为元，销售量为个， 根据题意，得：， 整理得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故当销售单价降低多少元时，每月可获得的利润最大，最大利润是元． 3．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？    【答案】（1）   （2），，144元 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 4．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 5．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．    (1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； (2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 【答案】(1) (2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元 【来源】广西南宁市第四十七中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试题 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得 ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为． （2）设销售收入为万元， ①当时，， ，当时，（万元）．             ②当时，， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，（万元）．                 ，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 地 城 考点03 其他问题 1．(24-25九上·广西玉林·期中)如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 【答案】C 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 2．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是(      ) A．第2.5 秒 B．第3秒 C．第3.5 秒 D．第4秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题中已知条件求出函数 的对称轴，四个选项中的时间越接近4小球就越高． 【详解】解：若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等， 小球达到最高度的是秒， 故选：D． 3．(24-25九上·广西南宁青秀区凤岭北路中学·期中)某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出的值. 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①分别求出抛物线和直线的解析式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】(1)①，；②这两个位置之间的距离为 (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点． （1）①将代入即可求解； ②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，， ∴，； ②由①知，，， ∴， ∴最大值， 当时， 则， 解得，， 又∵时，， ∴当时， 则， 解得， ， ∴这两个位置之间的距离； （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ，， 解得，， ∴． 5．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间 运动速度 运动距离 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示与的函数关系，用二次函数近似地表示与的函数关系． (1)请求出与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1)； (2)①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是；②不能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式． （1）由表格中数据运动距离与运动时间是二次函数，设运动距离与运动时间之间的函数解析式为，代入三组数值求解即可； （2）①由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数，设关于的函数解析式，代入两组数值即可求解，把代入（1）中解析式求出，再代入求解即可； ②设黑球与小车的距离为，得即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格中数据可知运动距离与运动时间是二次函数， 设运动距离与运动时间之间的函数解析式为， 把，，代入解析式得 ， 解得， ∴， （2）①由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数， 设关于的函数解析式，把，代入解析式得： ， 解得， ∴， 由题可知：当时，， 解得：，． 当时，； 当时，（舍去）； ∴当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是． ②设黑球与小车的距离为， ， ． ， 抛物线开口向上， 当时，的最小值为6， ， 黑球不能追上小车． 6．(24-25九上·广西柳州铁五中学·期中)数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 【答案】（1）相交；（2）；（3）射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，根的判别式，待定系数法求函数的解析式，正确地理解题意是解题的关键． （1）把与联立方程组得到，根据，于是得到结论； （2）把与联立方程组得到，根据直线与抛物线相离，得到，于是得到结论； （3）设射灯发出的光线与轴交于，得到，设，则，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立得到，利用，求得，得到米． 【详解】解：（1）把与联立方程组， 得， ， 直线与抛物线的位置关系是相交， 故答案为：相交； （2）把与联立方程组， 得， 直线与抛物线相离， ， 解得， 故答案为：； （3）设射灯发出的光线与轴交于， ，， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立得，， 射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， 直线与抛物线相切， ， 解得， 米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 7．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 【答案】任务一：；任务二：． 【分析】任务一：由题意得抛物线的顶点为，然后利用待定系数法求解即可； 任务二：当时，即，解方程求出的值，求出的横坐标即可； 本题考查了二次函数的应用，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 任务二：当时，即， 解得：， ∴的横坐标分别为，， ∴， 答：两灯间的水平距离为． 8．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)根据以下素材，探索完成任务． 如何探测水火箭的轨道设计 素材：在我校第十三届科技节“米水火箭”项目中，某同学制作了一款水火箭（图），为验证水火箭的一些性能，通过测试收集发现水火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足一次函数关系：；飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 … 飞行高度 … 素材：图是参加“米水火箭”项目的同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 问题解决： 任务：确定函数表达式．求出关于的函数表达式． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务：确定弹射口高度．当水火箭落到回收区域内（不包括端点，）时，请直接写出发射台弹射口高度的变化范围________． 【答案】任务：；任务：飞机落地时，飞行的水平距离为；任务：． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 任务：根据表格中的数据，待定系数法求出关于的函数表达式即可； 任务：令，解方程，求出的值即可求解； 任务：设发射台弹射口高度为，表示出此时抛物线的解析式，分别求出落地点和点时，的值，即可求解． 【详解】解：任务：设关于的函数表达式为，将，，代入得： ， 解得：， 故关于的函数表达式为； 任务：当飞机落地时，即， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； 任务3：由和得：， 设发射台弹射口高度为，则此时抛物线的表达式为：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 即， 故答案为：． 9．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可 （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． 【详解】（1）解：∵当时，，代入， 得：， ∴， ∵当时，，代入， 得：， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为； （3）∵桌面的高度为厘米，正方体纸箱的高度为厘米，小球要落入纸箱中，则小球要在时进入纸箱， ∴将代入， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵正方体纸箱的高度为厘米， ∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为：（厘米）， ∴纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围为． 10．(24-25九上·广西玉林·期中)在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．    请解答下列问题： (1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m； (2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离； (3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用： （1）将代入即可求解； （2）将代入即可求解； （3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为，将代入求出a的值，再令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 即该喷枪的出水口到地面的距离为， 故答案为：； （2）解：将代入，得， 即水流的最高点到地面的距离为； （3）解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为， 此时抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ， 当时，， 解得，（负值舍去）， 水流的射程约为． 11．(24-25九上·广西防城港·期中)某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学在研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值0.618，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 (1)请用含有的式子表示灯罩的口径； (2)把灯罩的垂直截面图抽象为如图2中的抛物线，并建立如图所示的平面直角坐标系，依题知，，请写出点的坐标，并求出抛物线的解析式； (3)在（1）和（2）的条件下，求灯罩的高度的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为， (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题意，求出函数表达式是解题的关键． （1）根据“高度为，它的口径等于高的倍”即可求解； （2）根据题意得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意可知灯罩的口径边缘的坐标为，且经过抛物线，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵高度为，它的口径等于高的倍 ∴灯罩的口径为； （2）∵，， ∴点的坐标为， 设抛物线的解析式为，将代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式； （3）∵设计的灯罩的抛物线形状不变， 而高度为，灯罩的口径为， ∴灯罩的口径边缘的坐标为，且经过抛物线， 即：，解得：（舍去），， 即：灯罩的高度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数与实际问题 3大高频考点概览 考点01 抛物线在体育运动中的运用 考点02 商品利润最值问题 考点03 其他问题 地 城 考点01 抛物线在体育运动中的运用 1．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 2．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 3．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； (3)小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 4．(24-25九上·广西南宁青秀区凤岭北路中学·期中)如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； (3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 5．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 6．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)掷实心球是钦州市中考体育科选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，实心球抛出时起点A处的高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据钦州市中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.11m，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 7．(24-25九上·广西玉林北流·期中)2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 地 城 考点02 商品利润最值问题 1．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品，并投放市场进行试销．经过调查，发现每天的销售量（件）与销售单价（元）存在一次函数关系． (1)销售单价定为多少时，该厂利润达到8000元． (2)设该产品的销售利润为元，如何定价才能获得最大利润？利润最大是多少元？ 2．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)年月日，第届夏季奥林匹克运动会开幕式在法国巴黎举行．某奥林匹克专卖店推出了吉祥物“弗里热”玩偶．玩偶的进价是元/个，售价为元/个，平均每月售出个．经调查发现，玩偶的售价每降低元，则每月的销售量将增加个． (1)若某月“弗里热”玩偶的销售单价是元，求该月专卖店的销售量为多少个？ (2)设专卖店销售这种玩偶每月可获利元，当销售单价降低多少元时，每月可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？    4．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 5．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．    (1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； (2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 地 城 考点03 其他问题 1．(24-25九上·广西玉林·期中)如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 2．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是(      ) A．第2.5 秒 B．第3秒 C．第3.5 秒 D．第4秒 3．(24-25九上·广西南宁青秀区凤岭北路中学·期中)某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 4．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①分别求出抛物线和直线的解析式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 5．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间 运动速度 运动距离 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示与的函数关系，用二次函数近似地表示与的函数关系． (1)请求出与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 6．(24-25九上·广西柳州铁五中学·期中)数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 7．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 8．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)根据以下素材，探索完成任务． 如何探测水火箭的轨道设计 素材：在我校第十三届科技节“米水火箭”项目中，某同学制作了一款水火箭（图），为验证水火箭的一些性能，通过测试收集发现水火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足一次函数关系：；飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 … 飞行高度 … 素材：图是参加“米水火箭”项目的同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 问题解决： 任务：确定函数表达式．求出关于的函数表达式． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务：确定弹射口高度．当水火箭落到回收区域内（不包括端点，）时，请直接写出发射台弹射口高度的变化范围________． 9．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 10．(24-25九上·广西玉林·期中)在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．    请解答下列问题： (1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m； (2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离； (3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）． 11．(24-25九上·广西防城港·期中)某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学在研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值0.618，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 (1)请用含有的式子表示灯罩的口径； (2)把灯罩的垂直截面图抽象为如图2中的抛物线，并建立如图所示的平面直角坐标系，依题知，，请写出点的坐标，并求出抛物线的解析式； (3)在（1）和（2）的条件下，求灯罩的高度的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $