专题01 一元二次方程及相关概念（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程及相关概念 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 解一元二次方程 考点03 根的判别式 考点04 根与系数的关系 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 1．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广西防城港·期中)已知方程的二次项是，那么这个方程的一次项是（    ） A． B． C．5 D．3 3．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 4．(24-25九上·广西柳州融水苗族自治县·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广西玉林·期中)若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广西玉林北流·期中)一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 7．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·广西防城港防城区第三中学·月考)若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 9．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 10．(24-25九上·广西钦州浦北县·期中)方程的二次项系数是 ． 地 城 考点02 解一元二次方程 1．(24-25九上·广西钦州浦北县·期中)把化成（其中h，k是常数）形式的结果为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广西河池宜州区·期中)解下列方程： (1) (2) 5．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 6．(24-25九上·广西南宁邕宁区民族中学·期中)解方程：． 7．(24-25九上·广西防城港·期中)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 8．(24-25九上·广西河池宜州区·期中)阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 9．(24-25九上·广西河池巴马县·期中)用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 地 城 考点03 根的判别式 1．(24-25九上·广西钦州浦北县·期中)判断方程的根的情况，正确的是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)已知一元二次方程，则方程的根情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 3．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则 ． 4．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)已知关于的方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 5．(24-25九上·广西防城港·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求这个一元二次方程的根的判别式的值（用含有的式子表示）； (2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根． 6．（广西壮族自治区柳州市铁五中学2024-2025学年九年级上学期期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)若方程有一个根为，求a的值及该方程的另一个根； 地 城 考点04 根与系数的关系 1．(24-25九上·广西南宁青秀区天桃实验学校·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)已知是方程的两根，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25九上·广西河池巴马县·期中)若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)已知是一元二次方程的两根，且 ． 5．(24-25九上·广西南宁青秀区凤岭北路中学·期中)若，是方程的两个根，则的值为 ． 6．(24-25九上·广西防城港·期中)若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为 ． 7．(24-25九上·广西河池凤山县·)已知、是一元二次方程的两根，则 ． 8．(24-25九上·广西河池凤山县·)已知关于的一元二次方程． (1)有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果方程的两根之和等于两根之积，求的值． 9．(24-25九上·广西河池凤山县·)已知关于的一元二次方程有两根，． (1)求的取值范围； (2)若．求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程及相关概念 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 解一元二次方程 考点03 根的判别式 考点04 根与系数的关系 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 1．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答． 【详解】解：A、符合定义，是一元二次方程，本选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； 故选：A． 2．(24-25九上·广西防城港·期中)已知方程的二次项是，那么这个方程的一次项是（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项是， ∴这个方程的一次项是， 故选：B． 3．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 4．(24-25九上·广西柳州融水苗族自治县·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据判断标准进行分析即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、含两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．(24-25九上·广西玉林·期中)若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，用整体的思想是解题的关键．先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】解：由题意得， ． 故选：B． 6．(24-25九上·广西玉林北流·期中)一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 【答案】A 【分析】考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的系数及常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，，． 故选：A． 7．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A． 方程中含有分式，不是整式方程，不符合定义． B． 方程中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合定义． C． 方程中含有两个未知数和，属于二元二次方程，不符合定义． D． 方程是仅含未知数的整式方程，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 故选：D． 8．(24-25九上·广西防城港防城区第三中学·月考)若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，将根代入方程中求解，即可解题． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为1， ， 解得， 故选：B． 9．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 10．(24-25九上·广西钦州浦北县·期中)方程的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项系数是， 故答案为：． 地 城 考点02 解一元二次方程 1．(24-25九上·广西钦州浦北县·期中)把化成（其中h，k是常数）形式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程整理即可求解． 【详解】解：整理得：， 即． 故选：D． 4．(24-25九上·广西河池宜州区·期中)解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴，． （2）解：， ， ， ∴或， ，． 5．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用直接开平方的方法求解即可； （2）利用因式分解的方法求解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， （2）， ， 或， ，． 6．(24-25九上·广西南宁邕宁区民族中学·期中)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴． 7．(24-25九上·广西防城港·期中)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、公式法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 8．(24-25九上·广西河池宜州区·期中)阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得，即可作答． （2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答． （3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 9．(24-25九上·广西河池巴马县·期中)用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 地 城 考点03 根的判别式 1．(24-25九上·广西钦州浦北县·期中)判断方程的根的情况，正确的是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟知不同情况下根的情况（当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根）．先根据根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解： ∵， ∴方程没有实数根． 故选：A． 2．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)已知一元二次方程，则方程的根情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根，满足， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)已知关于的方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，把握根的判别是解答关键． （1）先求出，再根据方程有两个相等的实数根，列出方程求解； （2）将方程的一个根5代入方程中求出，再解方程求解即可． 【详解】（1）解：在中， ，，， ． 方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：方程有一个实数根是5， ， ， ， ， ，， 解得，， 此方程的另一个根是． 5．(24-25九上·广西防城港·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求这个一元二次方程的根的判别式的值（用含有的式子表示）； (2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根． 【答案】(1)这个一元二次方程的根的判别式的值为 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题可知，，，，根据求解即可 （2）由（1）知，，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵， 这里，，， ∴ ， 即：这个一元二次方程的根的判别式的值为； （2）证明：由（1）可知， 这个一元二次方程的根的判别式， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根． 6．（广西壮族自治区柳州市铁五中学2024-2025学年九年级上学期期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)若方程有一个根为，求a的值及该方程的另一个根； 【答案】(1)见解析 (2)a的值为，该方程的另一个根为3 【来源】湖北省黄冈市浠水县第二实验初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的解、解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）先求得，然后根据时，一元二次方程有两个不相等的实数根可得结论； （2）先将根据题意，将代入方程中求得，则方程为，然后解方程即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，将代入方程中，得， 解得， ∴方程为，即， 解得，， 即a的值为，该方程的另一个根为3． 地 城 考点04 根与系数的关系 1．(24-25九上·广西南宁青秀区天桃实验学校·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)已知是方程的两根，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用根与系数的关系作答． 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为： 【详解】解：是方程的两根， ， 故选：C． 3．(24-25九上·广西河池巴马县·期中)若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】为任意数 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况即可确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的取值范围是任意数， 故答案：为任意数． 4．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)已知是一元二次方程的两根，且 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为： 5．(24-25九上·广西南宁青秀区凤岭北路中学·期中)若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·广西防城港·期中)若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的两根为，，据此解答即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得，即则方程的另一个根为 故答案为： 7．(24-25九上·广西河池凤山县·)已知、是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接得出结果即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴； 故答案为：2． 8．(24-25九上·广西河池凤山县·)已知关于的一元二次方程． (1)有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果方程的两根之和等于两根之积，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：且方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 答：的取值范围是． （2）由题知，该方程的两根之和为，两根之积为 方程的两根之和等于两根之积， ， 解得，． 由（1）可知：时方程有实数根， ． 9．(24-25九上·广西河池凤山县·)已知关于的一元二次方程有两根，． (1)求的取值范围； (2)若．求的值． 【答案】(1) (2)1 【来源】湖北省武汉市洪山区杨春湖实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若是一元二次方程()的两根时，，． （1）利用判别式得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，由已知得到，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：由题意知：， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由根与系数关系可知：，， ∵， ∴， 即， 解得：， (舍去)， ∴的值为1． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $